f(x)=ax²+bx+c (a≠0). Discriminant : Δ=b²-4ac.
• Δ>0 : deux racines x₁,₂=(-b±√Δ)/(2a).
• Δ=0 : racine double x₀=-b/(2a).
• Δ<0 : pas de racine réelle.
Forme canonique : f(x)=a(x-α)²+β avec α=-b/(2a), β=f(α).
x₁+x₂ = -b/a • x₁×x₂ = c/a
f(x) < 0 sur ]x₁;x₂[ • f(x) > 0 sur ]-∞;x₁[∪]x₂;+∞[.
Si Δ<0 : f garde le signe de a partout (jamais nulle).
f(x)=x²-5x+6=(x-2)(x-3). f<0 sur ]2;3[. f>0 en dehors.
• Équation ax²+bx+c=0 : calculer Δ, appliquer la formule.
• Inéquation : trouver les racines, dresser le tableau de signes, lire la solution.
x²-3x-4≤0. Δ=25. x₁=-1, x₂=4. Solution : [-1;4].
f(x)=-2x²+8x-3. (1) Forme canonique. (2) Coordonnées du sommet et maximum.
(1) α=2, β=f(2)=-8+16-3=5. f=-2(x-2)²+5. (2) Sommet (2;5). Maximum=5 (a<0).
x₁ et x₂ sont racines de x²-6x+k=0. (1) x₁+x₂ et x₁×x₂. (2) Calculer x₁²+x₂². (3) Valeur de k pour une racine double.
(1) x₁+x₂=6, x₁×x₂=k. (2) x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=36-2k. (3) Δ=36-4k=0 → k=9.
Rectangle de périmètre 28 cm. Largeur l, longueur L=14-l. (1) Aire A(l). (2) Maximum de l'aire. (3) Pour quelle valeur de l A(l)=45 cm² ?
(1) A(l)=l(14-l)=-l²+14l. (2) α=7. A(7)=49 cm². (3) -l²+14l=45 → l²-14l+45=0. Δ=196-180=16. l=5 ou l=9. (Le rectangle est 5×9.)
10 questions
Δ>0 signifie :
Racines de x²-5x+6=0 :
Sommet de a(x-α)²+β :
Signe de x²-4 sur ]-2;2[ :
Viète pour 2x²-5x+3=0 : x₁+x₂ :
x²-x-6≤0, racines -2 et 3. Solution :
Δ=0 → :
Maximum de f(x)=-3x²+12x-9 :
Résoudre x²+2x+1>0 :
Si x₁=3 et x₂=5 : polynôme :
