La dérivée f'(a) est la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.
f'(a) = lim[h→0] (f(a+h)-f(a))/h (taux de variation instantané).
Tangente à f en a : y = f'(a)·(x-a) + f(a).
f(x)=x². En a=2 : f(2)=4, f'(2)=4. Tangente : y=4(x-2)+4=4x-4.
f'>0 → f croissante. f'<0 → f décroissante. f'(x₀)=0 et changement de signe → extremum.
f(x)=x²-4x. f'=2x-4=0 → x=2. Minimum en x=2 : f(2)=-4.
f(x)=x³-3x+2. (1) f'(x). (2) Signe de f'. (3) Extremums locaux.
(1) f'=3x²-3=3(x-1)(x+1). (2) f'<0 sur ]-1;1[, f'>0 ailleurs. (3) Max local: f(-1)=4. Min local: f(1)=0.
f(x)=-x²+4x-1. (1) Point où la tangente est horizontale. (2) Maximum de f.
(1) f'=-2x+4=0 → x=2. (2) Maximum=f(2)=-4+8-1=3.
Agriculteur : 120 m de clôtures, 3 côtés d'un rectangle (4ème = mur). Largeur x, longueur L=120-2x. (1) Aire A(x). (2) Maximiser par dérivation. (3) Aire maximale.
(1) A(x)=x(120-2x)=120x-2x². (2) A'=120-4x=0 → x=30. (3) A(30)=30×60=1800 m².
10 questions
f'(a) représente :
(x³)' :
Équation de la tangente en a :
f'(x)>0 → f est :
f(x)=x²-6x. f'(x)=0 en :
Tangente à f(x)=x² en a=3 : pente :
f'(x₀)=0 et f' change de - à + : f a en x₀ :
(3x²-5)' :
Tangente à f(x)=2x+1 (droite) :
f(x)=-x²+2x+3. Maximum :
