lim[x→a] f(x) = L signifie que f(x) se rapproche de L quand x se rapproche de a.
On calcule en remplaçant x par a — sauf quand cela donne une forme indéterminée (0/0, ∞/∞).
• lim[x→+∞] xⁿ = +∞ (n>0) ; lim[x→+∞] 1/xⁿ = 0.
• Polynôme en ±∞ : terme de plus haut degré.
• Fraction rationnelle en ±∞ : diviser par la plus haute puissance.
lim[x→2] (x²-4)/(x-2) = lim (x+2)(x-2)/(x-2) = lim (x+2) = 4. (Forme 0/0 levée.)
lim[x→+∞] (3x²-x)/(x²+1) = lim 3x²/x² = 3. (Diviser par x².)
f est continue en a si sa courbe ne présente pas de "saut" en a, c'est-à-dire si lim[x→a] f(x) = f(a).
Graphiquement : on peut tracer la courbe sans lever le crayon.
Tout polynôme est continu sur ℝ. Toute fraction rationnelle est continue sur son domaine.
Si f est continue sur [a;b] et si f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors il existe au moins un c∈]a;b[ tel que f(c)=0.
Application pratique : méthode de dichotomie pour approcher une racine.
f est dérivable en a si la courbe admet une tangente non verticale au point (a ; f(a)).
Si la courbe présente un "coin" (ex : |x| en 0), f n'est pas dérivable en ce point.
Dérivable en a ⟹ continue en a (la réciproque est fausse).
lim[h→0] (f(a+h)-f(a))/h = f'(a). Si ce taux de variation n'admet pas de limite, f n'est pas dérivable en a.
f(x)=(x²-1)/(x-1) si x≠1 et f(1)=k.
f(x)=|x|. (1) Calculer (f(0+h)-f(0))/h pour h>0 et pour h<0. (2) La limite existe-t-elle ? f est-elle dérivable en 0 ?
L'équation x³-2x-1=0 a-t-elle des solutions ?
10 questions
lim[x→2] (x²-4)/(x-2) :
lim[x→+∞] (5x²+3)/(2x²-1) :
f continue en a signifie :
TVI s'applique quand :
lim[x→+∞] 1/x² :
Dérivable en a implique :
f(x)=|x| est-elle dérivable en 0 ?
lim[x→+∞] (3x-1)/(x²+1) :
f(1)=-2 et f(3)=4, f continue → :
lim[x→3⁺] 1/(x-3) :
