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Accueil/ 1ère/ Série D/ Mathématiques/ Ch. 01
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1. Division euclidienne et Bezout

Theoreme de Bezout

(x-a) divise P(x) si et seulement si P(a)=0. a est alors une racine de P.

Division euclidienne : A = B.Q + R avec deg R < deg B.

Schema de Horner : methode rapide pour evaluer P(a) et diviser par (x-a).

Horner pour P=2x³-5x²+3x-1, a=2
2 -5 3 -1 4 -2 2 2 -1 1 1 <- reste=1 P(x) = (x-2)(2x²-x+1) + 1
Multiplicite et racine double

a est racine double de P si P(a)=0 ET P'(a)=0.

Identites du 3eme degre : a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) ; a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²).

2. Decomposition en elements simples

Methode

Pour F=P/Q : si deg P >= deg Q, diviser d abord. Puis decomposer selon les facteurs de Q.

Facteur (x-a)^n → termes A1/(x-a)+...+An/(x-a)^n. Trouver les Ai en substituant les racines.

F=(2x+1)/(x(x-1)²) = A/x+B/(x-1)+C/(x-1)²

x=0: 1=A. x=1: 3=C. Coeff x²: 0=A+B → B=-1. F=1/x-1/(x-1)+3/(x-1)²

3. Relations de Viete

Formules

Pour x²+bx+c=0 de racines x1,x2 : x1+x2=-b ; x1.x2=c.

x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2 ; (x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2.

A retenir

  • Bezout : P(a)=0 iff (x-a) divise P
  • Racine double : P(a)=0 ET P'(a)=0
  • a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
  • Decomposition ES : substituer les racines pour trouver les coefficients
  • Viete : x1+x2=-b/a ; x1.x2=c/a
1

Division et Bezout

● Facile
  1. Diviser P(x)=x³-6x²+11x-6 par (x-1) et factoriser completement P.
  2. Calculer P(3) pour P(x)=2x⁴-x³+3x-5 par Horner.
Correction
  1. P(1)=0. P=(x-1)(x²-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3).
  2. Horner a=3: 2,5,15,48,139. P(3)=139.
2

Racine double

● Moyen
  1. Montrer que 1 est racine double de P(x)=x³-3x+2 et factoriser.
  2. Decomposer F(x)=(5x-3)/[(x+1)(x-2)] en elements simples.
Correction
  1. P(1)=0, P'=3x²-3, P'(1)=0. P=(x-1)²(x+2).
  2. A/(x+1)+B/(x-2). x=-1: -8=-3A, A=8/3. x=2: 7=3B, B=7/3.
3

Relations de Viete

● Moyen
  1. x1,x2 racines de x²-5x+3=0. Calculer x1²+x2², (x1-x2)².
  2. Trouver m pour que x²-mx+m+3=0 ait une racine double.
Correction
  1. S=5, P=3. x1²+x2²=25-6=19. (x1-x2)²=25-12=13.
  2. Delta=m²-4m-12=0. (m-6)(m+2)=0. m=6 ou m=-2.
4

Fraction et asymptote

● Moyen

F(x)=(2x³-x²+3x-2)/(x²-1). Division euclidienne, asymptote oblique, decomposition ES.

Correction

Division: 2x³-x²+3x-2=(x²-1)(2x-1)+(5x-3). F=2x-1+(5x-3)/(x²-1). Asymptote: y=2x-1. ES: A/(x-1)+B/(x+1). A=1, B=4. F=2x-1+1/(x-1)+4/(x+1).

5

Polynome a parametre

● Difficile

P(x)=x³+px+q avec 1 et -2 comme racines. Trouver la 3eme racine, p et q.

Correction

Somme=0 (coeff x²=0). r=0-1+2=1. P(1)=1+p+q=0. P(-2)=-8-2p+q=0. p=-3, q=2. 3eme racine : r=1.

QCM

10 questions · Correction immediate

0Score
0/10Repondues
Q1/10

Si P(3)=0, alors :

Q2/10

Racine double en a :

Q3/10

a³-b³ :

Q4/10

Reste de P divise par (x-2) :

Q5/10

Viete pour x²-7x+12=0 : x1.x2 :

Q6/10

Decomposition de 1/(x(x+1)) :

Q7/10

Horner pour P=x³-2x+1 en a=1 :

Q8/10

x1+x2 pour x²+5x-3=0 :

Q9/10

F irreductible signifie :

Q10/10

Partie entiere de (x²+1)/(x-1) par :