1. Domaine de definition Df. 2. Parite, periodicite. 3. Limites aux bornes (asymptotes). 4. Derivee f', zeros, signe. 5. Tableau de variations. 6. Points particuliers (intersections axes). 7. Representation graphique.
Forme canonique : a(x-alpha)²+beta avec alpha=-b/(2a), beta=f(alpha)=-Delta/(4a).
Sommet (alpha;beta) : minimum si a>0, maximum si a<0. Axe de symetrie x=alpha.
f'(x)=3ax²+2bx+c. Zeros de f' donnent les extremums locaux.
lim[x→±∞]=±∞ si a>0 (comportement en S).
Point d inflexion en alpha=-b/(3a) (f''=0).
Asymptotes verticales : zeros de Q (si P non nul au meme point).
Comportement a l infini : comparer les degres ou effectuer la division.
Derivee : regle du quotient ; signe determine les variations.
D=R\{1}. Division : f=x+1+2/(x-1). Asymptote oblique y=x+1, verticale x=1.
f'=[(x²-2x-1)]/(x-1)². Zeros : x=1±racine(2). Analyse complete ...
Amplitude a, periode 2pi/|b|, dephasage -c/b, valeur moyenne d.
Zeros : bx+c=kpi pour sin; bx+c=pi/2+kpi pour cos.
f'=cos x. Zeros : x=pi/2 (max=1) et x=3pi/2 (min=-1).
f''=-sin x. Points d inflexion : x=0, pi, 2pi.
f(x)=-2x²+8x-6. (1) Forme canonique. (2) Sommet, axe, max. (3) Zeros et signe de f.
(1) -2(x-2)²+2. (2) Sommet (2;2), axe x=2, max=2. (3) Zeros: x=1 et x=3. f>0 sur ]1;3[.
f(x)=(x²-x-2)/(x-3). (1) Domaine. (2) Asymptotes. (3) f', variations.
(1) R\{3}. (2) Division: x²-x-2=(x-3)(x+2)+4. f=x+2+4/(x-3). AO: y=x+2, AV: x=3. (3) f'=(x²-6x+5)/(x-3)²=(x-1)(x-5)/(x-3)². Zeros: x=1 et x=5. Max local en x=1 (f=0), min local en x=5 (f=8).
f(x)=x³-6x²+9x-2. (1) f', zeros. (2) Tableau de variations. (3) Extremums.
(1) f'=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3). Zeros: x=1 et x=3. (2) f' + sur ]-∞;1[, - sur ]1;3[, + sur ]3;+∞[. (3) Max local: f(1)=2. Min local: f(3)=-2.
(1) f', zeros et extremums. (2) Tableau de variations. (3) Points d inflexion (f''=0).
(1) f'=2cos(2x)=0: 2x=pi/2+kpi → x=pi/4 et x=3pi/4 sur [0;pi]. (2) f croit sur [0;pi/4], decroit sur [pi/4;3pi/4], croit sur [3pi/4;pi]. Max=1 en pi/4, min=-1 en 3pi/4. (3) f''=-4sin(2x)=0: 2x=kpi → x=0, pi/2, pi.
fa(x)=x+a/x (a>0) sur ]0;+∞[. (1) fa', zeros. (2) Min de fa. (3) En deduire x+1/x>=2 pour x>0.
(1) fa'=1-a/x²=(x²-a)/x². Zero: x=racine(a). (2) fa decroit sur ]0;racine(a)], croit sur [racine(a);+∞[. Min=fa(racine(a))=2racine(a). (3) a=1: min de f1=2 en x=1. Donc x+1/x>=2 pour x>0, egalite ssi x=1.
10 questions · Correction immediate
Forme canonique de x²-6x+5 :
Sommet de 2(x-1)²+3 :
deg P=deg Q+2 => asymptote a l infini :
Periode de sin(3x) :
Asymptote oblique de (x²+x)/(x+2) par division :
f'(x)=0 sur tout ]a;b[ => f est :
Cubique ax³+bx²+cx+d avec a>0 :
Point d inflexion en a : f''(a)=0 ET :
Asymptote horizontale en y=L :
f(x)=x³-3x a un max local en :
