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1. Definitions et proprietes generales

Suite et monotonie

Suite (un) : fonction de N vers R. Explicite : un=f(n). Recurrence : u(n+1)=g(un) avec u0 donne.

Croissante : u(n+1)>=un (ou u(n+1)-un>=0). Decroissante : u(n+1)<=un.

Bornee : m<=un<=M pour tout n.

2. Suites arithmetiques

Formules

u(n+1)=un+r (r : raison). Terme general : un=u0+n.r (ou u1+(n-1)r).

Somme de u1 a un : Sn=n(u1+un)/2.

En particulier : 1+2+...+n=n(n+1)/2.

3. Suites geometriques

Formules

u(n+1)=q.un (q : raison). Terme general : un=u0.qⁿ (ou u1.q^(n-1)).

Somme de u1 a un (q≠1) : Sn=u1.(1-qⁿ)/(1-q).

Cas particulier : 1+q+q²+...+q^(n-1)=(1-qⁿ)/(1-q).

4. Convergence

Limite d une suite

lim[n→+∞] un=L si un se rapproche arbitrairement de L.

Suite geometrique qⁿ : |q|<1 => qⁿ→0 ; q=1 => qⁿ=1 ; |q|>1 => |qⁿ|→+∞.

Theoreme : toute suite monotone bornee est convergente.

Limite par recurrence

Si un→L et u(n+1)=f(un), alors L=f(L) (resoudre l equation point fixe).

Suite equivalente a une progression arithmetique ou geometrique

Si u(n+1)-un=r (constante) : suite arithmetique.

Si u(n+1)/un=q (constante, q≠0) : suite geometrique.

Si un→L fini, la suite est bornee et la recherche du point fixe donne L.

A retenir

  • Arithmetique : un=u0+n.r ; Sn=n(u1+un)/2
  • Geometrique : un=u0.qⁿ ; Sn=u1(1-qⁿ)/(1-q)
  • |q|<1 => qⁿ→0 ; monotone bornee => convergente
  • Point fixe : si un→L et u(n+1)=f(un) alors L=f(L)
  • 1+2+...+n=n(n+1)/2
1

Identification et terme general

● Facile

Pour chaque suite : type, raison, terme general :

  1. 3, 7, 11, 15, ...
  2. 2, 6, 18, 54, ...
  3. u0=5, u(n+1)=un-3
  4. u1=4, q=1/2
Correction
  1. Arithmetique r=4. un=3+4n.
  2. Geometrique q=3. un=2.3ⁿ.
  3. Arithmetique r=-3. un=5-3n.
  4. Geometrique. un=4.(1/2)^(n-1)=2^(3-n).
2

Calcul de termes et sommes

● Moyen
  1. Arith. u1=4, r=3. Calculer u10 et S10=u1+...+u10.
  2. Geom. u1=2, q=1/2. Calculer u5 et S5.
  3. Calculer 2+4+6+...+100.
Correction
  1. u10=4+9×3=31. S10=10×(4+31)/2=175.
  2. u5=2×(1/2)⁴=1/8. S5=2×(1-(1/2)⁵)/(1-1/2)=2×(31/32)/(1/2)=31/8.
  3. Suite arithm. 2k, k=1 a 50. S=2×(50×51/2)=2550.
3

Convergence de suites geometriques

● Moyen

Pour chaque suite, etudier la convergence et donner la limite si elle existe :

  1. un=(0,9)ⁿ
  2. un=3×(1,05)ⁿ
  3. un=(-1/2)ⁿ
  4. un=2×(-1)ⁿ
Correction
  1. |q|=0,9<1 => convergente vers 0.
  2. q=1,05>1 => diverge vers +∞.
  3. |q|=1/2<1 => convergente vers 0.
  4. q=-1 => oscille, divergente.
4

Suite par recurrence

● Moyen

u0=0, u(n+1)=un/2+1. (1) Calculer u1,u2,u3,u4. (2) Conjecturer la limite. (3) Montrer que vn=un-2 est geometrique. (4) Deduire un et lim.

Correction

(1) u1=1, u2=3/2, u3=7/4, u4=15/8. Semble tendre vers 2. (2) L=L/2+1 => L=2. (3) vn=un-2. v(n+1)=u(n+1)-2=un/2+1-2=(un-2)/2=vn/2. Geometrique q=1/2, v0=-2. (4) vn=-2×(1/2)ⁿ→0. Donc un=2+vn→2.

5

Application - interets composes

● Difficile

Capital C0=100000 F place a 4% d interets composes. Chaque annee, on retire 3000 F.

  1. Montrer que Cn+1=1,04Cn-3000.
  2. Poser vn=Cn-a. Trouver a pour que vn soit geometrique.
  3. Exprimer Cn et determiner si le capital s epuise.
Correction

(1) Interets puis retrait: Cn+1=1,04Cn-3000. (2) vn+1=1,04vn-3000+a-a. Pour geom: -3000+(1-1,04)a=0 => -0,04a=-3000 => a=75000. vn+1=1,04vn. (3) vn=v0×1,04ⁿ. v0=C0-75000=25000. Cn=25000×1,04ⁿ+75000. 1,04ⁿ→+∞ donc Cn→+∞: le capital ne s epuise pas.

QCM

10 questions · Correction immediate

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0/10Repondues
Q1/10

Suite arithmetique : u(n+1)=un+r. Si r>0 :

Q2/10

Terme general arithmetique u1=3, r=2 :

Q3/10

Suite geometrique u1=5, q=2 : u4 :

Q4/10

Somme 1+2+...+n :

Q5/10

|q|<1 => qⁿ tends vers :

Q6/10

Toute suite monotone bornee est :

Q7/10

Point fixe : si un→L et u(n+1)=f(un) :

Q8/10

Suite geom. u1=2, q=-1 :

Q9/10

Somme geom. u1+...+un avec q=1/2, u1=1 :

Q10/10

u0=1, u(n+1)=2un. Suite et limite :