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1. Plan oriente et angles

Definitions

Plan oriente par le sens trigonometrique (anti-horaire). Angle oriente (u,v) modulo 2pi.

(u,v)=-(v,u) ; (u,v)+(v,w)=(u,w) (Chasles angulaire).

theta0pi/6pi/4pi/3pi/2pi cos1racine(3)/2racine(2)/21/20-1 sin01/2racine(2)/2racine(3)/210

2. Formules fondamentales

Relations et angles associes

cos²x+sin²x=1 ; tan x=sin x/cos x ; 1+tan²x=1/cos²x.

cos(-x)=cos x ; sin(-x)=-sin x. cos(pi-x)=-cos x ; sin(pi-x)=sin x.

cos(pi/2-x)=sin x ; sin(pi/2-x)=cos x.

Formules d addition

cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b  •  cos(a-b)=cos a cos b + sin a sin b

sin(a+b)=sin a cos b + cos a sin b  •  sin(a-b)=sin a cos b - cos a sin b

Formules de duplication et linearisation

cos(2a)=cos²a-sin²a=2cos²a-1=1-2sin²a ; sin(2a)=2sin a cos a.

cos²a=(1+cos 2a)/2 ; sin²a=(1-cos 2a)/2 (linearisation).

3. Transformations

Somme en produit

sin p + sin q = 2sin((p+q)/2).cos((p-q)/2).

sin p - sin q = 2cos((p+q)/2).sin((p-q)/2).

cos p + cos q = 2cos((p+q)/2).cos((p-q)/2).

cos p - cos q = -2sin((p+q)/2).sin((p-q)/2).

Forme R.cos(x-phi)

a.cos x + b.sin x = R.cos(x-phi) avec R=racine(a²+b²) et tan phi=b/a.

Max de f = R, atteint quand x-phi=0 (x=phi). Min = -R en x=phi+pi.

A retenir

  • cos²+sin²=1 ; cos(-x)=cos x ; sin(-x)=-sin x
  • cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b ; sin(a+b)=sin a cos b + cos a sin b
  • cos 2a=2cos²a-1=1-2sin²a ; sin 2a=2sin a cos a
  • sin p+sin q=2sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)
  • R.cos(x-phi) avec R=racine(a²+b²), tan phi=b/a
1

Valeurs exactes

● Facile
  1. cos(7pi/6), sin(5pi/4), tan(2pi/3).
  2. sin t=4/5, t∈]pi/2;pi[. Calculer cos t et tan t.
Correction
  1. cos(7pi/6)=cos(pi+pi/6)=-racine(3)/2. sin(5pi/4)=-racine(2)/2. tan(2pi/3)=-racine(3).
  2. cos²=9/25. 2eme quadrant: cos t=-3/5. tan t=-4/3.
2

Formules d addition

● Moyen
  1. Calculer sin(pi/12) en utilisant sin(pi/3-pi/4).
  2. Demontrer cos(a+b)cos(a-b)=cos²a-sin²b.
Correction
  1. sin(pi/3)cos(pi/4)-cos(pi/3)sin(pi/4)=(racine(6)-racine(2))/4.
  2. (cos a cos b-sin a sin b)(cos a cos b+sin a sin b)=cos²a cos²b-sin²a sin²b=cos²a(1-sin²b)-sin²b(1-cos²a)=cos²a-sin²b. ✅
3

Duplication

● Moyen
  1. sin t=3/5, t∈]0;pi/2[. Calculer sin(2t) et cos(2t).
  2. Resoudre sin(2x)=sin x sur [0;2pi].
  3. Lineariser sin²x cos x.
Correction
  1. cos t=4/5. sin 2t=24/25. cos 2t=7/25.
  2. 2sin x cos x-sin x=0 → sin x(2cos x-1)=0. S={0;pi/3;pi;5pi/3}.
  3. sin²x=(1-cos 2x)/2. sin²x cos x=cos x(1-cos 2x)/2=(cos x-cos x cos 2x)/2. cos x cos 2x=(cos 3x+cos x)/2. Donc sin²x cos x=(cos x-(cos 3x+cos x)/2)/2=(cos x-cos 3x)/4.
4

Somme en produit

● Moyen
  1. Transformer cos(3x)+cos(x) en produit.
  2. Resoudre sin(5x)-sin(3x)=0 dans R.
Correction
  1. 2cos(2x)cos(x).
  2. 2cos(4x)sin(x)=0. cos(4x)=0: x=pi/8+kpi/4. sin x=0: x=kpi. S={kpi}∪{pi/8+kpi/4}, k∈Z.
5

Forme R.cos(x-phi)

● Difficile

f(x)=racine(3)cos x+sin x. (1) Ecrire f=R.cos(x-phi). (2) Max, min et leurs positions sur [0;2pi]. (3) Resoudre f(x)=1 sur [0;2pi].

Correction

(1) R=2, tan phi=1/racine(3) → phi=pi/6. f=2cos(x-pi/6). (2) Max=2 en x=pi/6. Min=-2 en x=7pi/6. (3) cos(x-pi/6)=1/2. x-pi/6=±pi/3. x=pi/2 ou x=-pi/6+2pi=11pi/6. S={pi/2;11pi/6}.

QCM

10 questions

0Score
0/10Repondues
Q1/10

cos(2pi/3) vaut :

Q2/10

sin(a+b) est egal a :

Q3/10

sin(2a) est egal a :

Q4/10

cos(2a) peut s ecrire :

Q5/10

sin t=1/2 et t∈]pi/2;pi[ → cos t :

Q6/10

sin p+sin q est egal a :

Q7/10

R pour a cos x+b sin x=R cos(x-phi) :

Q8/10

cos(pi/4+pi/4) vaut :

Q9/10

cos(-theta) est egal a :

Q10/10

Linearisation de cos²x :