La lumière blanche (lumière du Soleil, d'une lampe à incandescence…) est une lumière polychromatique : c'est la superposition d'une infinité de radiations monochromatiques, chacune caractérisée par sa longueur d'onde λ (dans le vide ou l'air), qui s'étend approximativement de 400 nm (violet) à 800 nm (rouge). La dispersion de la lumière est le phénomène par lequel un milieu transparent sépare ces différentes radiations, qui se propagent alors dans des directions différentes.
L'indice de réfraction n d'un milieu transparent (le verre d'un prisme, par exemple) n'est pas le même pour toutes les couleurs : il dépend de la longueur d'onde λ de la radiation qui le traverse, n = n(λ). Pour la plupart des verres, on observe une dispersion normale : n est une fonction décroissante de λ, donc n(violet) > n(rouge).
D'après la loi de Descartes pour la réfraction (n1·sin i1 = n2·sin i2), à angle d'incidence identique, plus n est grand, plus le rayon est dévié en entrant dans le milieu plus réfringent. Lorsqu'un faisceau de lumière blanche traverse un prisme, chaque radiation subit donc une déviation différente : le violet, qui « voit » l'indice le plus grand, est le plus dévié ; le rouge, qui « voit » l'indice le plus petit, est le moins dévié. À la sortie du prisme, les couleurs s'étalent en un spectre continu allant du rouge (le moins dévié) au violet (le plus dévié), en passant par l'orangé, le jaune, le vert, le bleu et l'indigo.
Un prisme d'angle au sommet A = 30° reçoit un rayon de lumière blanche perpendiculairement à sa première face (i1 = 0°, donc r1 = 0° et r2 = A = 30° d'après la relation A = r1+r2). À la sortie de la deuxième face, la loi de Descartes donne sin i2 = n·sin r2.
Pour le rouge (n ≈ 1,51) : sin i2 = 1,51×sin30° = 1,51×0,500 = 0,755 → i2 ≈ 49,0°, soit une déviation D = i2 − r2 ≈ 49,0−30 = 19,0°.
Pour le violet (n ≈ 1,53) : sin i2 = 1,53×0,500 = 0,765 → i2 ≈ 49,9°, soit D ≈ 49,9−30 = 19,9°.
Le violet est donc dévié d'environ 0,9° de plus que le rouge : c'est cet écart, cumulé sur l'ensemble du spectre visible, qui produit l'étalement des couleurs observé à la sortie du prisme.
Une lumière monochromatique est constituée d'une seule radiation, caractérisée par une unique longueur d'onde λ (donc une seule couleur). Une lumière polychromatique est la superposition de plusieurs radiations monochromatiques de longueurs d'onde différentes (la lumière blanche en est le cas extrême, contenant tout le spectre visible).
Conséquence pratique : une lumière monochromatique (lampe à vapeur de sodium, faisceau laser) traversant un prisme est déviée (car n dépend toujours de i pour une longueur d'onde donnée) mais n'est jamais décomposée : elle ressort dans une seule direction, avec la même couleur qu'à l'entrée. Seule une lumière polychromatique peut être dispersée en un spectre de couleurs, puisque la dispersion résulte précisément de la différence de déviation entre les différentes longueurs d'onde qui la composent.
Une lentille mince est un milieu transparent limité par deux dioptres (dont au moins un courbe), d'épaisseur négligeable devant les rayons de courbure des faces. Le centre optique O est le point de la lentille traversé par tout rayon lumineux sans déviation. L'axe optique est la droite perpendiculaire au plan de la lentille passant par O.
On distingue deux types de lentilles minces : les lentilles convergentes (à bords minces, symbole représenté par un segment vertical terminé par deux flèches tournées vers l'extérieur) et les lentilles divergentes (à bords épais, symbole représenté par un segment vertical terminé par deux flèches tournées vers l'intérieur).
| Caractéristique | Lentille convergente | Lentille divergente |
|---|---|---|
| Forme | Bords minces, centre épais | Bords épais, centre mince |
| Faisceau parallèle à l'axe | Converge réellement après la lentille | Semble diverger d'un point avant la lentille |
| Distance focale f' | f' > 0 | f' < 0 |
| Foyers F et F' | Réels | Virtuels |
| Vergence C | C > 0 | C < 0 |
| Image d'un objet réel | Réelle ou virtuelle selon la position de l'objet | Toujours virtuelle, droite, réduite |
Le foyer principal image F' est le point de l'axe optique où converge (lentille convergente) — ou d'où semble provenir (lentille divergente) — tout faisceau de rayons incidents parallèles à l'axe optique.
Le foyer principal objet F est le point de l'axe optique tel que tout rayon issu de F (ou dirigé vers F, pour une divergente) émerge de la lentille parallèlement à l'axe optique.
F et F' sont symétriques par rapport au centre optique O : OF = −OF'. On appelle distance focale image la grandeur algébrique f' = OF' (exprimée en mètres).
La vergence C d'une lentille mesure son pouvoir convergent (ou divergent) : C = 1/f', avec f' en mètres et C en dioptries (δ). Une lentille convergente a une vergence positive (C > 0), une lentille divergente une vergence négative (C < 0). Plus |C| est grande, plus f' est courte et plus la lentille est « puissante ».
Une lentille convergente a une distance focale f' = 25 cm = 0,25 m. Sa vergence vaut C = 1/0,25 = +4,0 δ.
Une lentille divergente a une distance focale f' = −50 cm = −0,50 m. Sa vergence vaut C = 1/(−0,50) = −2,0 δ.
Pour un objet réel AB perpendiculaire à l'axe optique (A sur l'axe), on construit l'image B' de B à l'aide d'au moins deux des trois rayons particuliers issus de B :
1) le rayon incident parallèle à l'axe optique ressort en passant par le foyer image F' ;
2) le rayon incident passant par le centre optique O n'est pas dévié ;
3) le rayon incident passant par le foyer objet F ressort parallèle à l'axe optique.
Le point d'intersection des rayons émergents (ou de leurs prolongements, si l'image est virtuelle) donne B' ; A' est le pied de la perpendiculaire à l'axe issue de B'.
| Position de l'objet réel | Nature de l'image |
|---|---|
| Au-delà de 2F (OA < −2f') | Réelle, renversée, réduite (entre F' et 2F') |
| Exactement en 2F (OA = −2f') | Réelle, renversée, même taille (en 2F') |
| Entre F et 2F (−2f' < OA < −f') | Réelle, renversée, agrandie (au-delà de 2F') |
| Entre O et F (−f' < OA < 0) | Virtuelle, droite, agrandie (principe de la loupe) |
Avec origine au centre optique O, en mesures algébriques le long de l'axe optique (orienté dans le sens de propagation de la lumière) :
Relation de conjugaison : 1/OA' − 1/OA = 1/OF' = 1/f' = C
Grandissement transversal : γ = A'B'/AB = OA'/OA
Un objet réel est toujours situé avant la lentille : OA < 0. Si OA' > 0 : image réelle (formée du côté opposé à l'objet, là où la lumière converge effectivement). Si OA' < 0 : image virtuelle (du même côté que l'objet).
Si γ > 0 : image droite (même sens que l'objet). Si γ < 0 : image renversée.
Si |γ| > 1 : image agrandie. Si |γ| < 1 : image réduite.
Lentille convergente f' = 15 cm. Objet réel AB = 3,0 cm placé à OA = −45 cm.
1/OA' = 1/OA + 1/f' = 1/(−0,45) + 1/0,15 = −2,22 + 6,67 = 4,44 → OA' = 1/4,44 ≈ 0,225 m = 22,5 cm.
γ = OA'/OA = 22,5/(−45) = −0,50. A'B' = γ×AB = −0,50×3,0 = −1,5 cm.
Image réelle (OA'>0), renversée (γ<0), réduite de moitié (|γ|=0,5), formée à 22,5 cm de la lentille — cohérent avec un objet situé au-delà de 2F (2f'=30cm < 45cm).
Pour une lentille divergente, f' < 0 : les foyers F et F' sont virtuels (F' du côté de la lumière incidente, F du côté de la lumière émergente). La construction utilise les mêmes trois rayons particuliers, mais en prolongeant les rayons émergents « en arrière » pour retrouver les foyers virtuels.
Pour tout objet réel (OA < 0) placé devant une lentille divergente (f' < 0), la relation de conjugaison donne 1/OA' = 1/OA + 1/f', somme de deux termes négatifs : donc toujours OA' < 0 (image virtuelle). On montre également que 0 < γ < 1 dans tous les cas : l'image est donc toujours droite et réduite, quelle que soit la position de l'objet réel — contrairement à la lentille convergente, dont la nature de l'image dépend de la position de l'objet.
Lentille divergente f' = −20 cm. Objet réel AB = 3,0 cm à OA = −40 cm.
1/OA' = 1/(−0,40) + 1/(−0,20) = −2,50−5,00 = −7,50 → OA' = 1/(−7,50) ≈ −0,133 m ≈ −13,3 cm.
γ = OA'/OA = −13,3/(−40) ≈ 0,333. A'B' = 0,333×3,0 ≈ 1,0 cm.
Image virtuelle, droite, réduite (3 fois plus petite), formée à 13,3 cm devant la lentille, du même côté que l'objet.
On modélise l'œil par une lentille mince convergente (le cristallin), de vergence variable grâce à l'accommodation (contraction des muscles ciliaires), associée à un écran fixe (la rétine) situé à une distance OA' constante du cristallin. Pour une vision nette, l'image de l'objet observé doit se former exactement sur la rétine.
Œil emmétrope (normal) : au repos, forme une image nette d'un objet à l'infini exactement sur la rétine ; peut accommoder pour voir net jusqu'au punctum proximum (PP, ≈ 25 cm). Le punctum remotum (PR, point le plus éloigné vu net sans accommoder) est à l'infini.
Myopie : œil trop convergent au repos (ou globe oculaire trop long) : le PR est fini (vision floue de loin). Correction par une lentille divergente, qui diminue la vergence totale du système œil + lentille.
Hypermétropie : œil pas assez convergent (ou globe trop court) : l'œil doit accommoder même pour voir loin (fatigue), et le PP est reculé (vision floue de près). Correction par une lentille convergente, qui augmente la vergence totale du système.
La loupe est une lentille convergente de courte distance focale, utilisée en plaçant l'objet AB entre O et F (0 < |OA| < f'). L'image obtenue est virtuelle, droite et agrandie : l'œil, placé juste derrière la loupe, l'observe comme un objet plus gros et/ou plus proche. Si l'objet est placé exactement au foyer F, l'image se forme à l'infini et l'œil l'observe sans accommoder (observation « reposée »).
Appareil photo : l'objectif (lentille convergente) forme, d'un objet réel généralement éloigné (au-delà de 2F), une image réelle, renversée et réduite sur le capteur, situé près de F' (la mise au point ajuste légèrement cette distance selon l'objet).
Microscope (deux lentilles convergentes) : l'objectif (courte focale) donne d'un objet proche (juste au-delà de son foyer objet) une image réelle, renversée, très agrandie (image intermédiaire) ; cette image intermédiaire joue le rôle d'objet pour l'oculaire, utilisé comme une loupe (objet entre O et F de l'oculaire), qui en donne une image virtuelle agrandie observée par l'œil. Le grandissement total est le produit des grandissements de l'objectif et de l'oculaire.
Une lentille mince convergente a une distance focale image f' = 20 cm.
1) Calculer sa vergence C (préciser l'unité).
2) Une seconde lentille a une vergence C2 = −4,0 δ. Est-elle convergente ou divergente ? Calculer sa distance focale f'2.
1) f' = 20 cm = 0,20 m. C = 1/f' = 1/0,20 = +5,0 δ (dioptries). C > 0, ce qui confirme que la lentille est convergente.
2) C2 = −4,0 δ < 0 : la lentille est divergente. f'2 = 1/C2 = 1/(−4,0) = −0,25 m = −25 cm (le foyer F'2 est virtuel, situé du côté de l'objet).
Une lentille mince convergente de vergence C = 5,0 δ forme l'image d'un objet AB = 2,0 cm, perpendiculaire à l'axe optique (A sur l'axe), placé à OA = −30 cm de la lentille.
1) Calculer la distance focale f' et placer F et F' sur l'axe.
2) Décrire la construction de l'image à l'aide de deux rayons particuliers.
3) Calculer OA' et le grandissement γ à l'aide de la relation de conjugaison, puis en déduire A'B'.
4) Préciser la nature, le sens et la taille de l'image obtenue.
1) f' = 1/C = 1/5,0 = 0,20 m = 20 cm = OF' ; donc OF = −20 cm.
2) Le rayon issu de B parallèle à l'axe ressort en passant par F' ; le rayon issu de B passant par O n'est pas dévié. Leur intersection donne B', d'où A' par projection sur l'axe.
3) 1/OA' = 1/OA + 1/f' = 1/(−0,30) + 1/0,20 = −3,33 + 5,00 = 1,67 → OA' = 1/1,67 ≈ 0,60 m = 60 cm.
γ = OA'/OA = 60/(−30) = −2,0. A'B' = γ×AB = −2,0×2,0 = −4,0 cm.
4) Image réelle (OA' > 0), renversée (γ < 0), agrandie deux fois (|γ|=2), de hauteur 4,0 cm, formée à 60 cm de la lentille, du côté opposé à l'objet (cohérent : l'objet est entre F et 2F, l'image est au-delà de 2F', renversée et agrandie).
Une lentille mince divergente a une distance focale f' = −15 cm. Un objet réel AB = 4,0 cm est placé à OA = −45 cm de la lentille.
1) Calculer la vergence C de cette lentille.
2) Calculer OA' à l'aide de la relation de conjugaison.
3) Calculer le grandissement γ puis A'B'.
4) Décrire complètement l'image obtenue (nature, sens, taille, position).
5) Cette conclusion sur la nature de l'image reste-t-elle valable quelle que soit la position de l'objet réel ? Justifier brièvement.
1) C = 1/f' = 1/(−0,15) ≈ −6,67 δ.
2) 1/OA' = 1/OA + 1/f' = 1/(−0,45) + 1/(−0,15) = −2,22 − 6,67 = −8,89 → OA' = 1/(−8,89) ≈ −0,1125 m ≈ −11,3 cm.
3) γ = OA'/OA = (−0,1125)/(−0,45) = 0,25. A'B' = γ×AB = 0,25×4,0 = 1,0 cm.
4) OA' < 0 : image virtuelle, formée du même côté que l'objet, à 11,3 cm devant la lentille. γ > 0 : image droite. |γ| = 0,25 < 1 : image réduite (4 fois plus petite).
5) Oui. Pour toute lentille divergente (f' < 0) et tout objet réel (OA < 0), 1/OA' = 1/OA + 1/f' est la somme de deux termes négatifs, donc toujours négative : OA' < 0 (image toujours virtuelle). On peut également montrer que 0 < γ < 1 dans tous les cas : l'image d'un objet réel à travers une lentille divergente est donc toujours virtuelle, droite et réduite, quelle que soit la position de l'objet.
Une loupe est une lentille convergente de vergence C = 20 δ. On observe un petit objet AB = 5,0 mm en le plaçant à OA = −4,0 cm de la loupe.
1) Calculer la distance focale f' de la loupe. Vérifier que l'objet est bien placé entre O et F.
2) Calculer OA' et γ à l'aide de la relation de conjugaison.
3) Calculer la taille A'B' de l'image et préciser sa nature, son sens et sa position par rapport à la loupe.
4) L'œil de l'observateur, placé juste derrière la loupe, peut-il observer cette image sans accommoder ? Justifier en comparant à la position du punctum proximum d'un œil normal (PP ≈ 25 cm).
1) f' = 1/C = 1/20 = 0,050 m = 5,0 cm = OF'. Comme |OA| = 4,0 cm < f' = 5,0 cm, l'objet est bien situé entre O et F. ✓
2) 1/OA' = 1/OA + 1/f' = 1/(−0,040) + 1/0,050 = −25 + 20 = −5,0 → OA' = 1/(−5,0) = −0,20 m = −20 cm.
γ = OA'/OA = (−0,20)/(−0,040) = 5,0.
3) A'B' = γ×AB = 5,0×5,0 = 25 mm = 2,5 cm. OA' < 0 : image virtuelle ; γ > 0 : image droite ; |γ| = 5,0 : image agrandie 5 fois, formée à 20 cm devant la loupe (même côté que l'objet).
4) L'image virtuelle se forme à 20 cm devant la loupe, donc devant l'œil, à une distance finie légèrement inférieure au PP habituel (25 cm) : l'œil devra accommoder un peu pour la voir nette. Pour une observation totalement reposée (image rejetée à l'infini, sans accommodation), il faudrait placer l'objet exactement au foyer F, soit OA = −f' = −5,0 cm.
On modélise l'œil (œil réduit) par une lentille mince convergente (le cristallin), de vergence variable grâce à l'accommodation, associée à un écran fixe (la rétine) situé à une distance OA' = 2,0 cm du cristallin, quelle que soit l'accommodation.
Un élève est myope : au repos (sans accommoder), la vergence de son cristallin vaut C_myope = 54 δ.
10 questions · Correction immédiate
Un faisceau de lumière blanche traverse un prisme. On observe à la sortie un étalement continu de couleurs, du rouge au violet. Ce phénomène s'appelle :
Cette dispersion s'explique par le fait que, dans le verre du prisme :
Dans le cas d'une dispersion normale, comparée à la lumière rouge, la lumière violette :
Une lumière monochromatique est une lumière :
Le foyer principal image F' d'une lentille convergente est le point où :
La vergence C d'une lentille est reliée à sa distance focale image f' (en mètres) par la relation :
Parmi les trois rayons particuliers utilisés pour construire l'image à travers une lentille mince convergente, lequel n'est pas dévié ?
Pour une lentille divergente, la distance focale image f' est :
La relation de conjugaison de Descartes pour une lentille mince s'écrit (origine au centre optique O) :
Un objet réel est placé entre le centre optique O et le foyer objet F d'une lentille convergente (cas de la loupe). L'image obtenue est :
