Ch. 03 Systèmes d'équations — substitution et combinaison — Terminale A Maths

1. Systèmes de deux équations à deux inconnues

Méthodes

Substitution : exprimer une inconnue en fonction de l'autre, substituer.

Combinaison (addition) : multiplier les équations par des coefficients pour éliminer une inconnue.

Solutions : une unique (droites sécantes), aucune (droites parallèles), infinité (droites confondues).

2. Systèmes de trois équations

Méthode du pivot de Gauss

1. Choisir une équation pivot. 2. Éliminer une inconnue dans les deux autres. 3. Résoudre le système 2×2 réduit. 4. Remonter.

Exemple : ax+by+cz=d → éliminer z → système en (x,y) → remonter.

3. Applications

Problèmes courants

• Mélange de produits (% de concentration). • Problèmes de prix/quantités. • Géométrie (intersections de droites, longueurs).

Méthode : lire l'énoncé → poser les inconnues → traduire chaque condition → résoudre → vérifier.

🧠 À retenir

Substitution : exprimer x en fonction de y, substituer
Combinaison : multiplier L₁ et L₂ pour éliminer une inconnue
Gauss : pivot → éliminer → remonter
Toujours vérifier la solution dans toutes les équations

Système 2×2 par substitution

● Facile

Résoudre : 2x+y=7 et x−y=2.

Correction

De E2: x=y+2. Dans E1: 2(y+2)+y=7 → 3y=3 → y=1. x=3. S={(3;1)}.

Système 2×2 par combinaison

● Facile

Résoudre : 3x+2y=8 et 5x−2y=12.

Correction

Addition: 8x=20 → x=5/2. 3×5/2+2y=8 → 2y=8−15/2=1/2 → y=1/4. S={(5/2;1/4)}.

Système 3×3

● Moyen

Résoudre : x+y+z=6, 2x−y+z=3, x+2y−z=4.

Correction

L2−2L1: −3y−z=−9 → 3y+z=9. L3−L1: y−2z=−2. De (3y+z=9) et (y−2z=−2): z=9−3y, y−2(9−3y)=−2 → 7y=16 → y=16/7. z=9−48/7=15/7. x=6−y−z=6−31/7=11/7.

Problème économique

● Moyen

Un marchand vend des oranges (200F) et des mangues (350F). Il a vendu 80 fruits pour 19 500F. Combien d'oranges et de mangues ?

Correction

x+y=80 et 200x+350y=19500. De E1: x=80−y. 200(80−y)+350y=19500 → 16000+150y=19500 → y=23. x=57.

Discussion du système

● Difficile

Système : x+y=a et 2x+2y=b. Selon les valeurs de a et b, discuter le nombre de solutions.

Correction

E2=2×E1 seulement si b=2a. Si b=2a: droites confondues → infinité de solutions. Si b≠2a: contradictions → aucune solution (droites parallèles non confondues).

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Un épicier mélange trois types de café : Arabica (A, 2000F/kg), Robusta (R, 1200F/kg) et Liberica (L, 800F/kg) pour obtenir 10 kg d'un mélange à 1400F/kg.

Système : Poser les inconnues a, r, l (quantités en kg). Écrire les 2 équations (masse totale et coût total).
Degré de liberté : Le système est sous-déterminé (2 équations, 3 inconnues). Exprimer r et l en fonction de a.
Contraintes : a,r,l≥0. Trouver le domaine possible pour a.
Solution particulière : Si a=2 kg, trouver r et l.
Solution entière : Trouver toutes les solutions entières (a,r,l) avec a,r,l entiers.
Optimum : Pour maximiser la quantité d'Arabica (le plus cher), quel mélange choisir ?

Correction

a+r+l=10 et 2000a+1200r+800l=14000.
De E1: r+l=10−a. E2÷400: 5a+3r+2l=35. De E2−2×E1: 3a+r=15 → r=15−3a. l=10−a−r=10−a−15+3a=2a−5.
r≥0: a≤5. l≥0: a≥5/2=2,5. Donc 2,5≤a≤5.
a=2 n'est pas dans le domaine (a≥2,5). Impossible.
a entier: a∈{3,4,5}. a=3: r=6,l=1. a=4: r=3,l=3. a=5: r=0,l=5.
Maximum d'Arabica: a=5 kg, r=0 kg, l=5 kg. Mélange 5 kg Arabica + 5 kg Liberica.

QCM

10 questions · Correction immédiate

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Q1/10

Substitution : exprimer x de 2x+y=5 →

Q2/10

Système sans solution ⟺ droites

Q3/10

Infinité de solutions ⟺ droites

Q4/10

Résoudre x+y=3 et x−y=1 :

Q5/10

Pivot de Gauss : on commence par

Q6/10

Système 3×3 : après pivot on obtient

Q7/10

x+y=80 et 200x+350y=19500. y=

Q8/10

Vérification d'une solution : on doit

Q9/10

3x+2y=8 et 6x+4y=16. Nombre de solutions :

Q10/10

Méthode la plus simple pour 5x+y=7 et y=2x−1 :