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Accueil/ Terminale/ Série C/ Mathématiques/ Ch. 04
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1. Isométries du plan

Définition et classification

Une isométrie est une transformation qui conserve les distances : d(f(A),f(B))=d(A,B).

Classification des isométries du plan :

• Directes (conservent l'orientation) : translations, rotations.

• Indirectes (renversent l'orientation) : réflexions (symétries axiales), symétries glissées.

Groupe des isométries

Les isométries forment un groupe pour la composition (associativité, neutre=identité, tout élément est inversible).

Composée de deux réflexions d'axes D₁ et D₂ :

• D₁ ∥ D₂ (distance d) → translation de vecteur 2d·n.

• D₁ ∩ D₂ (angle α) → rotation de centre D₁∩D₂ et d'angle 2α.

2. Affinités

Définition

Une affinité orthogonale d'axe Δ et de rapport k est la transformation qui fixe Δ et envoie tout point M sur M' tel que MM' ⊥ Δ et MM' = k·d(M,Δ) du côté choisi.

k=1 : identité. k=−1 : réflexion d'axe Δ. |k|≠1 : affinité proprement dite.

L'affinité transforme un cercle en ellipse (axe Δ invariant, rapport k).

3. Similitudes

Définition et types

Une similitude de rapport k>0 vérifie d(f(A),f(B))=k·d(A,B).

• Directe : z' = az+b (a∈ℂ\{0}, b∈ℂ). k=|a|, angle=arg(a).

• Indirecte : z' = az̄+b.

Centre Ω de la similitude directe (a≠1) : Ω=b/(1−a). f(Ω)=Ω.

Composée de deux similitudes directes → similitude directe.

🧠 À retenir

  • Isométrie directe : translation ou rotation
  • Isométrie indirecte : réflexion ou symétrie glissée
  • 2 réflexions d'axes ∥ → translation ; d'axes ∩ → rotation
  • Similitude directe : z'=az+b, k=|a|, θ=arg(a)
  • Centre : Ω=b/(1−a)
1

Composition de réflexions

● Moyen

σ₁ = réflexion d'axe x=0 (Oy). σ₂ = réflexion d'axe x=2. Déterminer σ₂∘σ₁ (type et paramètres).

Correction

Axes parallèles, distance d=2. σ₂∘σ₁ = translation de vecteur (4,0) (vers la droite, 2×2=4). Vérification : σ₁(A(1,y))=A'(−1,y). σ₂(A'(−1,y))=A''(5,y). A''−A=(4,0) ✓.

2

Similitude directe

● Moyen

Similitude directe f de centre Ω(1,1) (affixe 1+i), rapport 2, angle π/2. (1) Forme complexe. (2) Image de A(3,0).

Correction

(1) f(z)=a(z−ω)+ω avec a=2e^(iπ/2)=2i, ω=1+i. f(z)=2i(z−1−i)+1+i=2iz−2i−2i²+1+i=2iz+2+1+i−2i=2iz+3−i. (2) z_A=3. f(3)=6i+3−i=3+5i. Image : A'(3,5).

3

Affinité et ellipse

● Moyen

Affinité d'axe Ox, rapport k=2. Image du cercle x²+y²=1.

Correction

L'affinité (x,y)→(x,2y) transforme le cercle. Si x²+y²=1 et (X,Y)=(x,2y) : x=X, y=Y/2. X²+(Y/2)²=1 → X²+Y²/4=1. Ellipse de demi-axes 1 et 2.

4

Groupe des isométries

● Moyen

Soient r = rotation de centre O, angle π/3, et s = réflexion d'axe Ox. (1) r∘s est-elle directe ou indirecte ? (2) Calculer (r∘s)⁶.

Correction

(1) r directe, s indirecte. Composée directe∘indirecte = indirecte. r∘s est indirecte (réflexion ou symétrie glissée). (2) (r∘s)² = r∘s∘r∘s = r∘(s∘r)∘s. s∘r∘s est une rotation de même angle que r mais d'axe symétrique. (r∘s)⁶ = ? : (r∘s)² est une rotation d'angle 2π/3. (r∘s)⁶=((r∘s)²)³= rotation d'angle 2π = identité.

5

Similitude et points fixes

● Difficile

f(z)=(1+i)z+2−i. (1) Rapport et angle. (2) Centre de la similitude. (3) f est-elle une isométrie ?

Correction

(1) a=1+i. k=|a|=√2. θ=arg(1+i)=π/4. (2) Ω=b/(1−a)=(2−i)/(1−(1+i))=(2−i)/(−i)=(2−i)·i/(−i·i)=(2i−i²)/1=1+2i. Centre : (1,2). (3) k=√2≠1, donc ce n'est pas une isométrie.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On considère les isométries du plan : r₁ = réflexion d'axe D₁ : y=x, et r₂ = réflexion d'axe D₂ : y=−x+2.

  1. Expressions complexes : Exprimer r₁ et r₂ en forme complexe (z'=az̄+b).
  2. Composée r₂∘r₁ : Calculer la composée et identifier sa nature (rotation/translation et paramètres).
  3. Angle et centre : L'intersection D₁∩D₂ existe-t-elle ? Quel angle font D₁ et D₂ ? En déduire les paramètres de la rotation.
  4. Ordre : Quelle est la plus petite puissance n telle que (r₂∘r₁)ⁿ = identité ?
  5. Groupe engendré : Lister tous les éléments distincts engendrés par {r₁, r₂, r₂∘r₁}. Quel groupe classique reconnaît-on ?
  6. Similitude : La composée r₁∘r₂ est-elle une rotation ou une similitude ? Justifier.
Correction du problème de synthèse
  1. r₁ (axe y=x) : z'=iz̄·(i)/i... Mieux: réflexion d'axe y=x envoie (x,y)→(y,x), soit z'=z̄·e^(iπ/2)... r₁(z)=iz̄ (car axe y=x, angle π/4). r₂ (axe y=−x+2) : translation puis réflexion. z'=−iz̄+2.
  2. r₂∘r₁(z)=r₂(iz̄)=−i(iz̄)+2=−i²z̄·... Oops: r₂(w)=−iw̄+2. r₂(r₁(z))=r₂(iz̄)=−i·(iz̄)̄+2=−i(−iz)̄... Soigneusement: r₁(z)=iz̄. r₂(w)=−iw̄+2. (r₂∘r₁)(z)=−i·(iz̄)̄+2=−i·(−iZ̄̄)+2... Le conjugué de iz̄ est −iz. Donc (r₂∘r₁)(z)=−i·(−iz)+2=−z+2. C'est z'=−z+2: rotation de centre 1 et d'angle π.
  3. D₁: y=x (angle π/4). D₂: y=−x+2 (angle 3π/4 avec Ox). Angle entre D₁ et D₂: 3π/4−π/4=π/2. Intersection: y=x et y=−x+2 → 2x=2 → x=1, y=1. Centre (1,1). La composée est une rotation de centre (1,1) et d'angle 2×(π/2)=π. ✓
  4. (r₂∘r₁)² = rotation d'angle 2π = identité. Ordre n=2.
  5. Éléments: id, r₁, r₂, r₂∘r₁ (rotation π). C'est le groupe de Klein V₄ (groupe diédral D₂), isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ.
  6. r₁∘r₂ est aussi une rotation (directe). C'est une isométrie directe (rotation), pas une similitude proprement dite (rapport=1).

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

Isométrie directe du plan =

Q2/10

2 réflexions d'axes parallèles (distance d) →

Q3/10

2 réflexions d'axes se coupant d'angle α →

Q4/10

Similitude directe : z'=az+b. Rapport =

Q5/10

Centre Ω d'une similitude directe z'=az+b (a≠1) =

Q6/10

Une réflexion est

Q7/10

Affinité d'axe Ox, rapport k : le cercle unité devient

Q8/10

Similitude indirecte : z'=

Q9/10

Les isométries forment un

Q10/10

f(z)=iz. f est