Ch. 11 Géométrie analytique dans l'espace — avancée — Terminale C Mathématiques

1. Droites et plans — représentations avancées

Représentations

Plan : paramétrique M=A+su+tv (u,v non colinéaires) ou cartésienne ax+by+cz+d=0.

Droite : paramétrique M=A+tu ou intersection de deux plans.

Passage paramétrique→cartésien (plan) : n=u∧v.

Positions relatives (droite et plan)

• D∥P : u·n=0 et A∉P.

• D⊂P : u·n=0 et A∈P.

• D∩P={un point} : u·n≠0.

2. Positions relatives de deux droites

Classification

D₁: A+tu et D₂: B+sv. Les droites peuvent être :

• Confondues : u∥v et B−A∥u.

• Parallèles : u∥v et B−A ∦ u.

• Sécantes : u ∦ v et [u,v,AB]=0 (coplanaires).

• Gauches : u ∦ v et [u,v,AB]≠0 (non coplanaires).

Distance entre deux droites gauches : d=|[u,v,AB]|/(|u∧v|).

3. Coniques dans l'espace

Équations cartésiennes des coniques

Parabole dans xOy : y²=4px ou ax²+bx+c=y (forme générale).

Ellipse : x²/a²+y²/b²=1. Hyperbole : x²/a²−y²/b²=1.

Équation générale d'une conique : Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0.

Nature selon le discriminant B²−4AC : négatif → ellipse ; nul → parabole ; positif → hyperbole.

4. Surfaces quadratiques

Exemples

Sphère : (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R². Ellipsoïde : x²/a²+y²/b²+z²/c²=1.

Cône : x²/a²+y²/b²=z²/c². Paraboloïde : z=x²/a²+y²/b².

🧠 À retenir

Plan par A, directions u,v : n=u∧v → cartésienne
Droites gauches : [u,v,AB]≠0 ; distance=|[u,v,AB]|/|u∧v|
Discriminant B²−4AC : négatif→ellipse, nul→parabole, positif→hyperbole
Sphère : (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R²

Plan par 3 points

● Facile

Plan passant par P₁(1,0,0), P₂(0,1,0), P₃(0,0,1). Équation cartésienne et distance de M(2,2,2) à ce plan.

Correction

u=P₂−P₁=(−1,1,0), v=P₃−P₁=(−1,0,1). n=u∧v=(1,1,1). Plan: (x−1)+y+z=0 → x+y+z=1. d=|2+2+2−1|/√3=5/√3=5√3/3.

Droites gauches

● Moyen

D₁: (1+t,t,0) et D₂: (0,s,1+s). (1) Vecteurs directeurs. (2) Droites gauches ou coplanaires ? (3) Distance si gauches.

Correction

(1) u=(1,1,0), v=(0,1,1). (2) AB=B−A=(−1,0,1). [u,v,AB]=det[[1,0,−1],[1,1,0],[0,1,1]]=1(1−0)−0+1(1−0)... Det: 1(1·1−0·1)−0(1·1−0·0)+(−1)(1·1−1·0)=1−0−1=0. Coplanaires → sécantes ou parallèles. u∦v → sécantes. (3) Trouver l'intersection.

Nature d'une conique

● Moyen

Identifier la conique: (1) x²−4x+4y²+8y+4=0. (2) x²−y²+2x+4y=0.

Correction

(1) (x−2)²+4(y+1)²=0? (x−2)²=−4(y+1)²: impossible sauf si les deux = 0. Point (2,−1). Cas dégénéré. Recalculer: x²−4x+4y²+8y+4=(x−2)²+4(y+1)²−4−4+4=(x−2)²+4(y+1)²−4=0 → (x−2)²/4+(y+1)²=1. Ellipse centre (2,−1), demi-axes 2 et 1. (2) x²+2x−y²+4y=0 → (x+1)²−(y−2)²=4−1+... (x+1)²−1−(y²−4y+4)+4=0 → (x+1)²−(y−2)²=1−4+4... (x+1)²−(y−2)²=1. Hyperbole.

Intersection droite-plan

● Moyen

D: (x,y,z)=(2+t,1−t,3t) et P: 2x+y−z=5. (1) D et P parallèles ? (2) Intersection.

Correction

(1) u=(1,−1,3), n=(2,1,−1). u·n=2−1−3=−2≠0. Non parallèles. (2) 2(2+t)+(1−t)−3t=5 → 4+2t+1−t−3t=5 → 5−2t=5 → t=0. Point (2,1,0).

Sphère et plan

● Difficile

Sphère S: x²+y²+z²−2x+4z=0. Plan P: x+y+z=3. (1) Centre et rayon de S. (2) S et P sécants ? (3) Si oui, rayon du cercle d'intersection.

Correction

(1) (x−1)²+y²+(z+2)²=1+4=5. Centre C(1,0,−2), R=√5. (2) d(C,P)=|1+0−2−3|/√3=4/√3. d<R ssi 16/3<5 ssi 16<15: faux. d=4/√3≈2,31>√5≈2,24. Pas d'intersection (ou à vérifier: 16/3≈5,33>5). Non sécants.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Droites D₁: (x,y,z)=(1,0,0)+t(1,1,1) et D₂: (x,y,z)=(0,1,0)+s(1,0,−1).

Vecteurs directeurs : u=(1,1,1) et v=(1,0,−1). Calculer u∧v.
Coplanarité : Calculer [u,v,AB] avec A=(1,0,0) et B=(0,1,0). Les droites sont-elles gauches ?
Distance : Si gauches, calculer la distance entre D₁ et D₂.
Plan contenant D₁ : Trouver le plan P₁ contenant D₁ et de vecteur normal u∧v.
Plan contenant D₂ : De même, P₂ contenant D₂.
Distance entre P₁ et P₂ : Vérifier que d(P₁,P₂)=distance entre D₁ et D₂.

Correction du problème de synthèse

u∧v=det[[i,j,k],[1,1,1],[1,0,−1]]=(−1−0)i−(−1−1)j+(0−1)k=(−1,2,−1).
AB=B−A=(−1,1,0). [u,v,AB]=(u∧v)·AB=(−1)(−1)+(2)(1)+(−1)(0)=1+2=3≠0. Droites gauches.
|u∧v|=√(1+4+1)=√6. Distance=|3|/√6=3/√6=√6/2≈1,22.
u∧v=(−1,2,−1). Plan par A(1,0,0): −(x−1)+2y−z=0 → −x+2y−z=−1.
Plan par B(0,1,0): −x+2(y−1)−z=0 → −x+2y−z=2.
d(P₁,P₂)=|−1−2|/√(1+4+1)=3/√6=√6/2 ✓ = distance entre les droites.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Q1/10

Droites gauches : [u,v,AB] =

Q2/10

Distance entre deux droites gauches =

Q3/10

Nature de la conique (B²−4AC<0) :

Q4/10

Plan paramétrique M=A+su+tv : vecteur normal =

Q5/10

Sphère (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R² : rayon =

Q6/10

D∥P ⟺

Q7/10

Équation générale Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 est une parabole si B²−4AC=

Q8/10

Deux droites sécantes sont

Q9/10

Paraboloïde z=x²/a²+y²/b². Sections z=constante sont

Q10/10

Plan cartésien 2x+3y−z=4. Un vecteur du plan (⊥ à n) :

Plan défini par point et normale

● Facile

Le plan P passe par le point A(1,2,−1) et admet pour vecteur normal n(2,−1,3). (1) Donner une équation cartésienne de P. (2) Le point B(3,0,2) appartient-il à P ?

Correction

(1) Équation : 2(x−1)−(y−2)+3(z+1)=0 → 2x−y+3z+3=0. (2) B(3,0,2) : 2(3)−0+3(2)+3=6+6+3=15≠0. B∉P.

Droite définie par deux points

● Facile

Soit A(0,1,2) et B(3,−1,5). (1) Donner une représentation paramétrique de la droite (AB). (2) En éliminant le paramètre, donner un système de deux équations cartésiennes de (AB).

Correction

(1) u=AB=B−A=(3,−2,3). Représentation : x=3t, y=1−2t, z=2+3t (t∈ℝ). (2) De x=3t on tire t=x/3, d'où y=1−2x/3 → 2x+3y−3=0 ; et z=2+3(x/3)=2+x → x−z+2=0. Système : {2x+3y−3=0 ; x−z+2=0}.

Distance d'un point à un plan

● Moyen

Calculer la distance du point M(1,2,3) au plan P : 2x−y+2z−4=0.

Correction

d(M,P)=|2(1)−2+2(3)−4|/√(4+1+4)=|2−2+6−4|/3=2/3.

Distance d'un point à une droite

● Moyen

Soit la droite D passant par A(0,0,0) de vecteur directeur u(1,1,1), et le point M(2,1,0). Calculer la distance de M à D (on rappelle d(M,D)=|AM∧u|/|u|).

Correction

AM=(2,1,0). AM∧u=(1×1−0×1, 0×1−2×1, 2×1−1×1)=(1,−2,1). |AM∧u|=√(1+4+1)=√6. |u|=√3. d=√6/√3=√2.

Intersection de deux plans

● Moyen

Déterminer une représentation paramétrique de la droite d'intersection des plans P₁: x+y+z=3 et P₂: x−y+z=1.

Correction

Vecteur directeur : u=n₁∧n₂ avec n₁=(1,1,1), n₂=(1,−1,1). u=(1×1−1×(−1), 1×1−1×1, 1×(−1)−1×1)=(2,0,−2), soit (1,0,−1). Point commun : posons z=0 → x+y=3 et x−y=1 → x=2, y=1, point (2,1,0). Représentation paramétrique : x=2+t, y=1, z=−t (t∈ℝ).

Plans parallèles et distance

● Moyen

Soit P₁: x+2y−z=3 et P₂: x+2y−z=8. (1) Montrer que P₁ et P₂ sont parallèles. (2) Calculer la distance entre P₁ et P₂.

Correction

(1) n₁=n₂=(1,2,−1) : P₁ et P₂ ont même vecteur normal et sont distincts (3≠8), donc P₁∥P₂. (2) A(3,0,0)∈P₁ (3+0−0=3). d(A,P₂)=|3+0−0−8|/√(1+4+1)=5/√6=5√6/6.

Plans perpendiculaires : droite d'intersection

● Moyen

Soit P₁: x−y+2z=1 et P₂: x+y=5. (1) Montrer que P₁ et P₂ sont perpendiculaires. (2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection D.

Correction

(1) n₁=(1,−1,2), n₂=(1,1,0). n₁·n₂=1−1+0=0, donc n₁⊥n₂ : P₁ et P₂ sont perpendiculaires. (2) u=n₁∧n₂=((−1)×0−2×1, 2×1−1×0, 1×1−(−1)×1)=(−2,2,2), soit (−1,1,1). Point commun : y=0 dans P₂ → x=5 ; dans P₁ → 5−0+2z=1 → z=−2 ; point (5,0,−2). D : x=5−t, y=t, z=−2+t (t∈ℝ).

Projections orthogonales sur un plan et sur une droite

● Difficile

On donne le plan P : x−2y+z=1, la droite D : x=3+λ, y=−1−2λ, z=2+λ (λ∈ℝ) et le point A(2,−3,1).

Montrer que D est orthogonale à P, et déterminer les coordonnées du point I=D∩P.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal A₁ de A sur P.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal A₂ de A sur D.
Vérifier que le quadrilatère AA₁IA₂ est un rectangle.

Correction

Vecteur directeur de D : u=(1,−2,1). Vecteur normal de P : n=(1,−2,1). u=n, donc D⊥P. En reportant dans P : (3+λ)−2(−1−2λ)+(2+λ)=1 → 3+λ+2+4λ+2+λ=1 → 6λ+7=1 → λ=−1. D'où I=(2,1,1).
n·A=1×2+(−2)×(−3)+1×1=9. |n|²=6. A₁=A−[(n·A−1)/|n|²]·n=(2,−3,1)−(8/6)(1,−2,1)=(2/3,−1/3,−1/3).
Point de base de D (λ=0) : P₀(3,−1,2). P₀A=A−P₀=(−1,−2,−1). t=(P₀A·u)/|u|²=[(−1)(1)+(−2)(−2)+(−1)(1)]/6=2/6=1/3. A₂=P₀+t·u=(3+1/3, −1−2/3, 2+1/3)=(10/3,−5/3,7/3).
AA₁=(2/3−2,−1/3+3,−1/3−1)=(−4/3,8/3,−4/3). AA₂=(10/3−2,−5/3+3,7/3−1)=(4/3,4/3,4/3). A₁I=(2−2/3,1+1/3,1+1/3)=(4/3,4/3,4/3)=AA₂. A₂I=(2−10/3,1+5/3,1−7/3)=(−4/3,8/3,−4/3)=AA₁. AA₁IA₂ est donc un parallélogramme. De plus AA₁·AA₂=(−4/3)(4/3)+(8/3)(4/3)+(−4/3)(4/3)=(−16+32−16)/9=0, donc AA₁⊥AA₂ : c'est un rectangle.

Projeté orthogonal d'un point sur une droite

● Difficile

Soit la droite D passant par A(1,0,−1), de vecteur directeur u(1,2,2), et le point M(4,0,2). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de M sur D, puis calculer la distance MH.

Correction

AM=M−A=(3,0,3). t=(AM·u)/|u|²=(3×1+0×2+3×2)/(1+4+4)=9/9=1. H=A+u=(1+1,0+2,−1+2)=(2,2,1). MH=H−M=(−2,2,−1). Vérification : MH·u=−2+4−2=0 (MH⊥D, cohérent). Distance : MH=√(4+4+1)=3.

Perpendiculaire commune à deux droites gauches

● Difficile

Soit D₁ passant par A(1,0,0) de vecteur directeur u(1,0,1), et D₂ passant par B(0,2,0) de vecteur directeur v(0,1,1).

Vérifier que D₁ et D₂ sont gauches.
Déterminer les points H₁∈D₁ et H₂∈D₂ tels que (H₁H₂) soit perpendiculaire à D₁ et à D₂ (perpendiculaire commune).
Calculer H₁H₂ et vérifier que cette longueur est égale à la distance entre D₁ et D₂ donnée par la formule du cours.

Correction

AB=B−A=(−1,2,0). u∧v=(0×1−1×1, 1×0−1×1, 1×1−0×0)=(−1,−1,1). [u,v,AB]=(u∧v)·AB=(−1)(−1)+(−1)(2)+(1)(0)=1−2=−1≠0 : D₁ et D₂ sont gauches.
H₁=A+t·u, H₂=B+s·v. H₁H₂=AB+s·v−t·u=(−1−t, 2+s, s−t). Conditions H₁H₂·u=0 et H₁H₂·v=0 donnent : −1−t+s−t=0 → s−2t=1 ; et 2+s+s−t=0 → 2s−t=−2. En résolvant : s=1+2t, puis 2(1+2t)−t=−2 → 3t=−4 → t=−4/3, s=−5/3. H₁=(1,0,0)+(−4/3)(1,0,1)=(−1/3,0,−4/3). H₂=(0,2,0)+(−5/3)(0,1,1)=(0,1/3,−5/3).
H₁H₂=(0−(−1/3), 1/3−0, −5/3−(−4/3))=(1/3,1/3,−1/3), donc H₁H₂=√(1/9+1/9+1/9)=√3/3. Par la formule du cours : |u∧v|=√3, d=|[u,v,AB]|/|u∧v|=1/√3=√3/3. Les deux résultats coïncident. ✓

Pyramide : volume et plan de symétrie

● Difficile

SABCD est une pyramide de sommets A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0) et S(1,1,3).

Donner une équation cartésienne du plan de base (ABC).
Calculer l'aire du carré ABCD, puis le volume de la pyramide SABCD (la hauteur est la distance de S au plan (ABC)).
Déterminer une équation cartésienne du plan (SAB).
Montrer que le plan P : x=y est un plan de symétrie du solide SABCD (on vérifiera que A, C, S∈P, et que B et D sont symétriques par rapport à P).

Correction

A, B, C ont tous pour cote 0 : le plan (ABC) est le plan z=0.
Aire(ABCD)=2×2=4. Distance de S(1,1,3) au plan z=0 : h=3. Volume=(1/3)×4×3=4.
AB=(2,0,0), AS=(1,1,3). n=AB∧AS=(0×3−0×1, 0×1−2×3, 2×1−0×1)=(0,−6,2), soit (0,−3,1). Plan par A(0,0,0) : −3y+z=0.
A(0,0,0) : 0=0∈P. C(2,2,0) : 2=2∈P. S(1,1,3) : 1=1∈P. Le symétrique de B(2,0,0) par rapport au plan x=y (qui échange les coordonnées x et y) est (0,2,0)=D. B et D sont donc symétriques par rapport à P : P est un plan de symétrie du solide SABCD.

Section d'un cube par le plan médiateur d'une diagonale

● Difficile

ABCDEFGH est un cube d'arête 2, avec A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), E(0,0,2), F(2,0,2), G(2,2,2), H(0,2,2).

Déterminer les coordonnées du milieu K de la diagonale [AG], puis une équation du plan P médiateur de [AG] (plan orthogonal à (AG) passant par K).
Vérifier que les milieux des arêtes [BC], [CD], [DH], [HE], [EF] et [FB] appartiennent tous au plan P.
Calculer la distance entre les milieux de [BC] et de [CD], et en déduire que la section du cube par P est un hexagone régulier.

Correction

K=milieu[AG]=(1,1,1). AG=(2,2,2) dirige la normale, soit n=(1,1,1). Plan P : (x−1)+(y−1)+(z−1)=0 → x+y+z=3.
Milieu[BC]=(2,1,0) : 2+1+0=3 ✓. Milieu[CD]=(1,2,0) : 3 ✓. Milieu[DH]=(0,2,1) : 3 ✓. Milieu[HE]=(0,1,2) : 3 ✓. Milieu[EF]=(1,0,2) : 3 ✓. Milieu[FB]=(2,0,1) : 3 ✓. Les six milieux appartiennent à P.
Distance entre (2,1,0) et (1,2,0) : √((2−1)²+(1−2)²+0²)=√2. Par symétrie du cube, les six côtés de la section valent √2 : c'est un hexagone régulier de côté √2.

Famille de plans et droite fixe

● Difficile

Pour tout réel m, on considère le plan P_m : mx+(m−1)y+z=2m+1.

Écrire l'équation de P_m sous la forme π₁+m·π₂=0, où π₁ et π₂ sont deux plans fixes indépendants de m. En déduire que tous les plans P_m contiennent une droite fixe D, que l'on déterminera.
Existe-t-il une valeur de m pour laquelle P_m est parallèle au plan Q : x+y+z=1 ? Justifier.
Déterminer m pour que P_m soit perpendiculaire au plan R : x+2y−z=0.

Correction

mx+(m−1)y+z−2m−1=m(x+y−2)+(−y+z−1)=0. Donc π₁ : −y+z−1=0 et π₂ : x+y−2=0, avec P_m : π₁+m·π₂=0. Tout point de π₁∩π₂ vérifie P_m pour tout m. Pour y=0 : π₂ → x=2, π₁ → z=1, d'où le point (2,0,1). Vecteur directeur u=n₁∧n₂ avec n₁=(0,−1,1), n₂=(1,1,0) : u=((−1)×0−1×1, 1×1−0×0, 0×1−(−1)×1)=(−1,1,1). D : (2,0,1)+t(−1,1,1).
Normale de P_m : n_m=(m,m−1,1). Normale de Q : (1,1,1). Colinéarité exigerait m=m−1=1, soit m=1 et m=2 à la fois : impossible. Aucun plan de la famille n'est parallèle à Q.
Normale de R : (1,2,−1). n_m·(1,2,−1)=0 ⟺ m+2(m−1)−1=0 ⟺ 3m−3=0 ⟺ m=1. Pour m=1 : P₁ : x+z=3, et (1,0,1)·(1,2,−1)=1+0−1=0 : perpendiculaire à R confirmée.

Volume d'un tétraèdre : deux méthodes

● Difficile

Soit le tétraèdre ABCD avec A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3), D(1,1,1).

Calculer le volume de ABCD à l'aide du produit mixte : V=(1/6)|[AB,AC,AD]|.
Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
Calculer l'aire du triangle ABC (aire=(1/2)|AB∧AC|), puis la distance de D au plan (ABC).
Retrouver le volume de ABCD par la formule V=(1/3)×Aire(ABC)×distance(D,(ABC)), et vérifier la cohérence avec la question 1.

Correction

AB=(−1,2,0), AC=(−1,0,3), AD=(0,1,1). AC∧AD=(0×1−3×1, 3×0−(−1)×1, (−1)×1−0×0)=(−3,1,−1). [AB,AC,AD]=AB·(AC∧AD)=(−1)(−3)+2(1)+0(−1)=5. V=5/6.
n=AB∧AC=(2×3−0×0, 0×(−1)−(−1)×3, (−1)×0−2×(−1))=(6,3,2). Plan par A(1,0,0) : 6(x−1)+3y+2z=0 → 6x+3y+2z=6.
Aire(ABC)=(1/2)|n|=(1/2)√(36+9+4)=7/2. Distance de D(1,1,1) : |6+3+2−6|/√49=5/7.
V=(1/3)×(7/2)×(5/7)=5/6, ce qui coïncide avec la question 1. ✓

Plans bissecteurs de deux plans

● Difficile

Soit P₁ : x+y+z=3 et P₂ : x−y+z=1.

Déterminer les équations des deux plans bissecteurs de P₁ et P₂ (ensemble des points équidistants de P₁ et de P₂).
Montrer que ces deux plans bissecteurs sont perpendiculaires entre eux.
Montrer que la droite d'intersection D de P₁ et P₂ est contenue dans chacun des deux plans bissecteurs.

Correction

P₁ et P₂ ont des normales de même norme √3, donc M équidistant ⟺ |x+y+z−3|=|x−y+z−1|. Cas 1 : x+y+z−3=x−y+z−1 ⟺ y=1 (plan Q₁). Cas 2 : x+y+z−3=−(x−y+z−1) ⟺ x+z=2 (plan Q₂).
Normale de Q₁ : (0,1,0). Normale de Q₂ : (1,0,1). Produit scalaire : 0. Les plans bissecteurs sont donc perpendiculaires.
Les points de D vérifient x+y+z=3 et x−y+z=1. En additionnant : x+z=2 (équation de Q₂). En soustrayant : y=1 (équation de Q₁). Donc D⊂Q₁ et D⊂Q₂, ce qui est cohérent car D=P₁∩P₂=Q₁∩Q₂.