Plan : paramétrique M=A+su+tv (u,v non colinéaires) ou cartésienne ax+by+cz+d=0.
Droite : paramétrique M=A+tu ou intersection de deux plans.
Passage paramétrique→cartésien (plan) : n=u∧v.
• D∥P : u·n=0 et A∉P.
• D⊂P : u·n=0 et A∈P.
• D∩P={un point} : u·n≠0.
D₁: A+tu et D₂: B+sv. Les droites peuvent être :
• Confondues : u∥v et B−A∥u.
• Parallèles : u∥v et B−A ∦ u.
• Sécantes : u ∦ v et [u,v,AB]=0 (coplanaires).
• Gauches : u ∦ v et [u,v,AB]≠0 (non coplanaires).
Distance entre deux droites gauches : d=|[u,v,AB]|/(|u∧v|).
Parabole dans xOy : y²=4px ou ax²+bx+c=y (forme générale).
Ellipse : x²/a²+y²/b²=1. Hyperbole : x²/a²−y²/b²=1.
Équation générale d'une conique : Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0.
Nature selon le discriminant B²−4AC : négatif → ellipse ; nul → parabole ; positif → hyperbole.
Sphère : (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R². Ellipsoïde : x²/a²+y²/b²+z²/c²=1.
Cône : x²/a²+y²/b²=z²/c². Paraboloïde : z=x²/a²+y²/b².
Plan passant par P₁(1,0,0), P₂(0,1,0), P₃(0,0,1). Équation cartésienne et distance de M(2,2,2) à ce plan.
u=P₂−P₁=(−1,1,0), v=P₃−P₁=(−1,0,1). n=u∧v=(1,1,1). Plan: (x−1)+y+z=0 → x+y+z=1. d=|2+2+2−1|/√3=5/√3=5√3/3.
D₁: (1+t,t,0) et D₂: (0,s,1+s). (1) Vecteurs directeurs. (2) Droites gauches ou coplanaires ? (3) Distance si gauches.
(1) u=(1,1,0), v=(0,1,1). (2) AB=B−A=(−1,0,1). [u,v,AB]=det[[1,0,−1],[1,1,0],[0,1,1]]=1(1−0)−0+1(1−0)... Det: 1(1·1−0·1)−0(1·1−0·0)+(−1)(1·1−1·0)=1−0−1=0. Coplanaires → sécantes ou parallèles. u∦v → sécantes. (3) Trouver l'intersection.
Identifier la conique: (1) x²−4x+4y²+8y+4=0. (2) x²−y²+2x+4y=0.
(1) (x−2)²+4(y+1)²=0? (x−2)²=−4(y+1)²: impossible sauf si les deux = 0. Point (2,−1). Cas dégénéré. Recalculer: x²−4x+4y²+8y+4=(x−2)²+4(y+1)²−4−4+4=(x−2)²+4(y+1)²−4=0 → (x−2)²/4+(y+1)²=1. Ellipse centre (2,−1), demi-axes 2 et 1. (2) x²+2x−y²+4y=0 → (x+1)²−(y−2)²=4−1+... (x+1)²−1−(y²−4y+4)+4=0 → (x+1)²−(y−2)²=1−4+4... (x+1)²−(y−2)²=1. Hyperbole.
D: (x,y,z)=(2+t,1−t,3t) et P: 2x+y−z=5. (1) D et P parallèles ? (2) Intersection.
(1) u=(1,−1,3), n=(2,1,−1). u·n=2−1−3=−2≠0. Non parallèles. (2) 2(2+t)+(1−t)−3t=5 → 4+2t+1−t−3t=5 → 5−2t=5 → t=0. Point (2,1,0).
Sphère S: x²+y²+z²−2x+4z=0. Plan P: x+y+z=3. (1) Centre et rayon de S. (2) S et P sécants ? (3) Si oui, rayon du cercle d'intersection.
(1) (x−1)²+y²+(z+2)²=1+4=5. Centre C(1,0,−2), R=√5. (2) d(C,P)=|1+0−2−3|/√3=4/√3. d<R ssi 16/3<5 ssi 16<15: faux. d=4/√3≈2,31>√5≈2,24. Pas d'intersection (ou à vérifier: 16/3≈5,33>5). Non sécants.
Droites D₁: (x,y,z)=(1,0,0)+t(1,1,1) et D₂: (x,y,z)=(0,1,0)+s(1,0,−1).
10 questions · Correction immédiate
Droites gauches : [u,v,AB] =
Distance entre deux droites gauches =
Nature de la conique (B²−4AC<0) :
Plan paramétrique M=A+su+tv : vecteur normal =
Sphère (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R² : rayon =
D∥P ⟺
Équation générale Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 est une parabole si B²−4AC=
Deux droites sécantes sont
Paraboloïde z=x²/a²+y²/b². Sections z=constante sont
Plan cartésien 2x+3y−z=4. Un vecteur du plan (⊥ à n) :
