Si g(x)≤f(x)≤h(x) et lim g=lim h=L → lim f=L. Si f(x)≥g(x) et lim g=+∞ → lim f=+∞.
Croissances comparées : lim[x→+∞] (ln x)/xᵅ=0, lim xⁿ/eˣ=0, lim xᵅeˣ=0 pour x→−∞.
Équivalents fondamentaux : eˣ−1∼x, ln(1+x)∼x, sin x∼x, (1−cos x)∼x²/2 au voisinage de 0.
• Toute suite monotone et bornée converge.
• Suites adjacentes : (aₙ) croissante, (bₙ) décroissante, bₙ−aₙ→0 → même limite.
• Critère de Cauchy (admis) : (uₙ) converge ⟺ ∀ε>0, ∃N : n,m>N ⟹ |uₙ−uₘ|<ε.
• Suite récurrente u_{n+1}=f(uₙ) qui converge vers L → L=f(L) (point fixe).
TVI complet : f continue sur [a;b], k entre f(a) et f(b) → ∃c∈[a;b] : f(c)=k. Si f strictement monotone : c unique.
Théorème des valeurs extrêmes : f continue sur [a;b] → bornée et atteint ses bornes.
Prolongement par continuité : si lim[x→a] f(x)=L finie, on peut poser f(a)=L.
Théorème du point fixe : f continue sur [a;b] avec f([a;b])⊆[a;b] → ∃ point fixe.
Montrer que aₙ=Σ_{k=1}^n 1/k²−1/n et bₙ=Σ_{k=1}^n 1/k²+1/n sont adjacentes, et qu'elles convergent vers la même limite.
bₙ−aₙ=2/n→0 ✓. aₙ croissante : a_{n+1}−aₙ=1/(n+1)²−1/(n+1)+1/n>0 pour n grand ✓. bₙ décroissante. Par le théorème, les deux convergent vers la même limite (qui est π²/6−1≈0,645).
f(x)=x³+2x−5. (1) Prouver une racine unique dans ℝ. (2) L'encadrer à 0,1 près.
(1) f'=3x²+2>0 : f strictement croissante → au plus une racine. f(1)=−2<0, f(2)=7>0 → TVI → une racine dans ]1;2[. Unique car strictement croissante. (2) f(1,3)=2,197+2,6−5=−0,203<0. f(1,4)=2,744+2,8−5=0,544>0. Racine dans ]1,3;1,4[.
f(x)=(x+2)/3 sur [0;1]. (1) Vérifier f([0;1])⊆[0;1]. (2) Trouver le point fixe. (3) Suite uₙ₊₁=f(uₙ), u₀=0. Convergence et limite.
(1) f(0)=2/3∈[0;1], f(1)=1∈[0;1], f croissante → f([0;1])=[2/3;1]⊆[0;1] ✓. (2) x=(x+2)/3 → 3x=x+2 → x=1. Pt fixe x=1. (3) Contraction : |f(x)−f(y)|=|x−y|/3<|x−y| → converge vers 1.
uₙ=1+1/2+...+1/n−ln n. (1) Montrer uₙ>0. (2) (uₙ) est décroissante. (3) (uₙ) converge (constante d'Euler γ≈0,5772).
(1) Par récurrence ou ln(1+1/k)<1/k : Σln(1+1/k)=ln(n+1)<Σ1/k → ln(n+1)<Σ1/k. uₙ>ln(n+1)−ln n−... Méthode: 1/k>ln(k+1)−ln k (car ln est concave). Σ_{k=1}^n 1/k>ln(n+1)>ln n. Donc uₙ=Σ1/k−ln n>0 ✓. (2) u_{n+1}−uₙ=1/(n+1)−ln(n+1)+ln n=1/(n+1)−ln(1+1/n). Or ln(1+x)>x/(1+x) pour x>0 → ln(1+1/n)>1/(n+1). Donc u_{n+1}−uₙ<0 : décroissante. (3) Décroissante et minorée par 0 → converge.
Soit f(x)=x−⌊x⌋ (partie fractionnaire) et Sₙ=Σ_{k=1}^n f(√k).
10 questions · Correction immédiate
Gendarmes : g≤f≤h, lim g=lim h=L → lim f=
eˣ−1∼x en 0 signifie lim (eˣ−1)/x=
TVI + stricte monotonie →
Suites adjacentes (aₙ) croiss., (bₙ) décr., bₙ−aₙ→0 →
Suite monotone et bornée →
lim[x→+∞] xⁿ/eˣ=
Théorème du point fixe : f continue, f([a;b])⊆[a;b] →
lim[x→0] sin x/x=
ln(1+x)∼x en 0 signifie
f continue sur [a;b] → f atteint
