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1. Formules d'Euler et de Moivre

Fondements

e^(iθ)=cosθ+isinθ. e^(iπ)=−1. Moivre: (cosθ+isinθ)ⁿ=cos(nθ)+isin(nθ).

cosθ=(e^(iθ)+e^(−iθ))/2. sinθ=(e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i).

2. Linéarisation et factorisation

Méthode

cosⁿθ=[(e^(iθ)+e^(−iθ))/2]ⁿ → développer par Newton, regrouper.

cos²θ=(1+cos2θ)/2. sin²θ=(1−cos2θ)/2. cos(3θ)=4cos³θ−3cosθ.

3. Géométrie complexe

Transformations et lieux

Rotation R(Ω,θ): z'=e^(iθ)(z−ω)+ω. Similitude directe: z'=az+b. Centre: Ω=b/(1−a).

Alignement: (zC−zA)/(zB−zA)∈ℝ. Perpendicularité: rapport imaginaire pur.

|z−a|=r cercle. |z−a|=|z−b| médiatrice. |(z−a)/(z−b)|=k Apollonius.

À retenir

  • e^(iθ)=cosθ+isinθ ; Moivre: (cosθ+isinθ)ⁿ=cos(nθ)+isin(nθ)
  • cos²θ=(1+cos2θ)/2 ; cos(3θ)=4cos³θ−3cosθ
  • Similitude: z'=az+b, centre Ω=b/(1−a)
  • Alignement: rapport réel ; ⊥: rapport imaginaire pur
1

Formule d'Euler

● Facile

Calculer e^(iπ/4), e^(i3π/4), e^(iπ). Vérifier |e^(iθ)|=1.

Correction

(√2/2)(1+i). (√2/2)(−1+i). −1. |e^(iθ)|=1 ✓.

2

Linéarisation

● Moyen

Linéariser cos³θ, sin²θcos²θ. Calculer ∫₀^(π/2)cos³θdθ.

Correction

cos³θ=(cos3θ+3cosθ)/4. sin²θcos²θ=(1−cos4θ)/8. ∫=2/3.

3

Similitude

● Moyen

f: z'=(1+i)z+2−i. Rapport, angle, centre. Image de A(1,0).

Correction

k=√2, θ=π/4. Ω=1+2i. f(1)=3.

4

Angles et alignement

● Moyen

A(0), B(4), C(4+3i), D(3i). ABCD rectangle ? (zC−zA)/(zB−zA)=?

Correction

Rectangle ✓ (AB⊥AD). Rapport=1+3i/4 → non alignés.

5

Suite sur le cercle

● Difficile

z_{n+1}=(1+i)/√2·zₙ, z₀=1. |zₙ|, arg(zₙ). Pour quel n : arg(zₙ)=2π ?

Correction

|zₙ|=1. arg(zₙ)=nπ/4. n=8.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Triangle équilatéral ABC : A=0, B=2.

  1. Rotation r=R(A,π/3). Trouver C=r(B).
  2. Vérifier |AB|=|BC|=|CA|=2.
  3. r'=R(B,π/3). Calculer r'(A).
  4. Similitude f:A→B, B→C. Centre et rapport.
  5. C³ par forme algébrique et par Moivre.
  6. MA²+MB²+MC²=12 : nature du lieu.
Correction
  1. C=e^(iπ/3)·2=1+i√3.
  2. |AB|=2, |BC|=|−1+i√3|=2, |CA|=2 ✓.
  3. r'(0)=e^(iπ/3)(−2)+2=1−i√3.
  4. f(z)=az+b. b=2. 2a+2=1+i√3 → a=e^(i2π/3). Centre=barycentre G du triangle.
  5. C=1+i√3. C²=−2+2i√3. C³=−8. Moivre: C=2e^(iπ/3). C³=8e^(iπ)=−8 ✓.
  6. Lieu=cercle centré en G=(1+i√3/3), rayon 2√6/3.

QCM

10 questions

0Score
0/10Repondues
Q1/10

e^(iπ)=

Q2/10

Moivre: (cosθ+isinθ)ⁿ=

Q3/10

cos²θ=

Q4/10

cos(3θ)=

Q5/10

Centre de f(z)=az+b (a≠1):

Q6/10

Alignement A,B,C: (zC−zA)/(zB−zA) est

Q7/10

|e^(iθ)|=

Q8/10

e^(iπ/2)=

Q9/10

Rotation R(Ω,θ): z'=

Q10/10

|z−a|=|z−b| est