e^(iθ)=cosθ+isinθ. e^(iπ)=−1. Moivre: (cosθ+isinθ)ⁿ=cos(nθ)+isin(nθ).
cosθ=(e^(iθ)+e^(−iθ))/2. sinθ=(e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i).
cosⁿθ=[(e^(iθ)+e^(−iθ))/2]ⁿ → développer par Newton, regrouper.
cos²θ=(1+cos2θ)/2. sin²θ=(1−cos2θ)/2. cos(3θ)=4cos³θ−3cosθ.
Rotation R(Ω,θ): z'=e^(iθ)(z−ω)+ω. Similitude directe: z'=az+b. Centre: Ω=b/(1−a).
Alignement: (zC−zA)/(zB−zA)∈ℝ. Perpendicularité: rapport imaginaire pur.
|z−a|=r cercle. |z−a|=|z−b| médiatrice. |(z−a)/(z−b)|=k Apollonius.
Calculer e^(iπ/4), e^(i3π/4), e^(iπ). Vérifier |e^(iθ)|=1.
(√2/2)(1+i). (√2/2)(−1+i). −1. |e^(iθ)|=1 ✓.
Linéariser cos³θ, sin²θcos²θ. Calculer ∫₀^(π/2)cos³θdθ.
cos³θ=(cos3θ+3cosθ)/4. sin²θcos²θ=(1−cos4θ)/8. ∫=2/3.
f: z'=(1+i)z+2−i. Rapport, angle, centre. Image de A(1,0).
k=√2, θ=π/4. Ω=1+2i. f(1)=3.
A(0), B(4), C(4+3i), D(3i). ABCD rectangle ? (zC−zA)/(zB−zA)=?
Rectangle ✓ (AB⊥AD). Rapport=1+3i/4 → non alignés.
z_{n+1}=(1+i)/√2·zₙ, z₀=1. |zₙ|, arg(zₙ). Pour quel n : arg(zₙ)=2π ?
|zₙ|=1. arg(zₙ)=nπ/4. n=8.
Triangle équilatéral ABC : A=0, B=2.
10 questions
e^(iπ)=
Moivre: (cosθ+isinθ)ⁿ=
cos²θ=
cos(3θ)=
Centre de f(z)=az+b (a≠1):
Alignement A,B,C: (zC−zA)/(zB−zA) est
|e^(iθ)|=
e^(iπ/2)=
Rotation R(Ω,θ): z'=
|z−a|=|z−b| est
Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants, en passant par leur forme trigonométrique ou exponentielle.
1/2−i√3/2 = e^(−iπ/3), donc z = e^(−iπ) = −1.
1+i = √2·e^(iπ/4), donc (1+i)² = 2e^(iπ/2) = 2i.
1−i = √2·e^(−iπ/4), donc (1−i)⁴ = 4e^(−iπ) = −4.
Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants.
(−1−i)i = 1−i = √2·e^(−iπ/4).
√3+i = 2e^(iπ/6) et −1+i√3 = 2e^(i2π/3), donc le produit vaut 4e^(i5π/6).
5−5i = 5√2·e^(−iπ/4), donc le quotient vaut (√2/2)·e^(−iπ/2) = −i√2/2.
1. Déterminer le module, un argument, la partie réelle et la partie imaginaire des racines 4-ièmes de −i.
2. Calculer la somme et le produit de ces racines.
−i = e^(−iπ/2). Les 4 racines : zₖ = e^(i(−π/8+kπ/2)), k = 0,1,2,3, toutes de module 1.
Arguments : −π/8, 3π/8, 7π/8, 11π/8. Par exemple z₀ = cos(π/8) − i·sin(π/8) = √(2+√2)/2 − i·√(2−√2)/2.
Somme des racines = 0 (pas de terme en z³ dans z⁴+i=0). Produit des racines = i.
Déterminer les nombres complexes vérifiant 2z³ = 8i, et les écrire sous forme algébrique.
z³ = 4i = 4e^(iπ/2). |z| = ∛4, arguments : π/6+2kπ/3, k=0,1,2.
z₀ = ∛4·e^(iπ/6) = ∛4(√3/2+i/2) ; z₁ = ∛4·e^(i5π/6) = ∛4(−√3/2+i/2) ; z₂ = ∛4·e^(i3π/2) = −i∛4.
Soit f la transformation d'écriture complexe z' = −4z + 10 − 5i. Déterminer sa nature et ses éléments caractéristiques.
a = −4 (réel, |a|≠1) : f est une homothétie de rapport k = −4.
Centre Ω = b/(1−a) = (10−5i)/5 = 2−i.
Soit z un nombre complexe tel que z + 1/z = 2cosθ. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : zⁿ + 1/zⁿ = 2cos(nθ).
z vérifie z² − 2cosθ·z + 1 = 0, de discriminant −4sin²θ ⩽ 0, donc z = e^(iθ) ou z = e^(−iθ).
Dans les deux cas, zⁿ = e^(±inθ) et 1/zⁿ = e^(∓inθ), donc zⁿ+1/zⁿ = e^(inθ)+e^(−inθ) = 2cos(nθ).
Soit j = cos(2π/3) + i·sin(2π/3).
j = e^(i2π/3) vérifie j³=1 et j≠1, donc (j−1)(1+j+j²) = j³−1 = 0, d'où 1+j+j² = 0.
Ainsi u = 1+j = −j². Or j = −1/2+i√3/2, donc u = 1/2+i√3/2 = e^(iπ/3).
Donc uⁿ = e^(inπ/3) = cos(nπ/3) + i·sin(nπ/3).
Soit a un nombre complexe non nul et j = e^(i2π/3). Démontrer que les points A(a), B(ja) et C(j²a) sont les sommets d'un triangle équilatéral de sens direct.
|B−A| = |a||j−1|, |C−B| = |a||j²−j| = |a||j−1| (|j|=1), |A−C| = |a||1−j²| = |a||j−1| (car j² = j̄). Les 3 côtés sont égaux : triangle équilatéral.
B = jA et C = jB : la rotation d'angle 2π/3 de centre O envoie A sur B sur C, ce qui prouve le sens direct. Centre de gravité = a(1+j+j²)/3 = 0 = O.
Déterminer le module et un argument du nombre complexe (1−e^(iπ/3))/(1+e^(iπ/3)).
Pour tout θ : 1−e^(iθ) = −2i·sin(θ/2)·e^(iθ/2) et 1+e^(iθ) = 2cos(θ/2)·e^(iθ/2), donc le quotient vaut −i·tan(θ/2).
Avec θ = π/3 : (1−e^(iπ/3))/(1+e^(iπ/3)) = −i·tan(π/6) = −i√3/3.
Module = tan(π/6) = √3/3 ; argument = −π/2 [2π].
Soit f la transformation d'écriture complexe z' = e^(−iπ/4)z + 1 + √2 − i. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
a = e^(−iπ/4), |a| = 1 et a ≠ 1 : f est une rotation d'angle −π/4.
Centre Ω = b/(1−a) avec b = 1+√2−i. Le calcul donne Ω = −(2+√2)i.
Vérification : Ω(1−e^(−iπ/4)) = (1+√2)−i, ce qui redonne bien b.
Soit (zₙ) la suite définie dans ℂ par z₀ = 1+i et, pour tout n ∈ ℕ, z_(n+1) = −(1/2)zₙ.
|z_(n+1)| = (1/2)|zₙ| : (|zₙ|) est géométrique de premier terme |z₀| = √2 et de raison 1/2, donc |zₙ| = √2/2ⁿ.
arg(z_(n+1)) = arg(zₙ)+π [2π] (car −1/2 est réel négatif), donc arg(zₙ) = π/4+nπ [2π].
zₙ = z₀×(−1/2)ⁿ = (1+i)(−1/2)ⁿ, puisque la relation z_(n+1)=(−1/2)zₙ définit directement une suite géométrique de raison −1/2.
Soit A(1+2i), B(2+i) et C(2+√3+(1+√3)i).
(C−B)/(A−B) : C−B = √3+√3i = √3(1+i), A−B = −1+i. Or (1+i)/(−1+i) = −i, donc (C−B)/(A−B) = −√3i, imaginaire pur ⟹ angle droit en B.
(C−A)/(B−A) = 1+√3i (calcul direct), de module 2 et d'argument π/3 : angle BAC = π/3.
D = 2B−A = 2(2+i)−(1+2i) = 3.
On calcule |AC| = 2√2 (=2|AB|), |AD| = |3−1−2i| = |2−2i| = 2√2, |DC| = |(2+√3−3)+(1+√3)i| = √8 = 2√2. Les trois côtés sont égaux : ADC est équilatéral.
Soit A(−1+i), B(−1−i), C(2i) et D(2−2i).
(C−A)/(D−A) = (1+i)/(3−3i) = i/3, imaginaire pur : ACD est rectangle en A (avec AD = 3AC).
(C−B)/(D−B) = (1+3i)/(3−i) = i, de module 1 et imaginaire pur : BCD est rectangle isocèle en B.
A et B étant conjugués, le centre Ω est réel : Ω = h. L'égalité |A−h|² = |C−h|² donne h = 1. On vérifie |A−1|² = |B−1|² = |C−1|² = |D−1|² = 5. Les 4 points sont donc sur le cercle de centre Ω(1) et de rayon √5.
1. a) Résoudre dans ℂ l'équation z²−4z+8=0 ; écrire les solutions sous formes algébrique et trigonométrique.
b) Placer les images A et B des solutions (A ayant une partie imaginaire négative). Quelle est la nature du triangle OAB ?
2. Soit f l'application qui à M(z) associe M'(z') telle que z' = e^(iπ/3)z.
a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
b) Déterminer, sous forme trigonométrique puis algébrique, l'affixe de A', image de A par f. En déduire cos(π/12) et sin(π/12).
1. Δ = 16−32 = −16 = (4i)². z = 2±2i, soit A = 2−2i = 2√2·e^(−iπ/4) et B = 2+2i = 2√2·e^(iπ/4).
|OA| = |OB| = 2√2 et B/A = (1+i)/(1−i) = i (imaginaire pur, module 1) : OAB est rectangle isocèle en O.
2. a = e^(iπ/3), |a| = 1, a ≠ 1, b = 0 : f est la rotation de centre O et d'angle π/3.
A' = e^(iπ/3)×2√2·e^(−iπ/4) = 2√2·e^(iπ/12) (forme trigonométrique).
Forme algébrique : A' = e^(iπ/3)(2−2i) = (1+√3)+i(√3−1).
Par identification : cos(π/12) = (1+√3)/(2√2) = (√6+√2)/4 et sin(π/12) = (√3−1)/(2√2) = (√6−√2)/4.
Soit l'équation (E) : z⁵ = 1.
1. Les solutions sont zₖ = e^(i2kπ/5), k=0,1,2,3,4 : ce sont les sommets d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité.
2. La somme des racines de z⁵−1=0 est nulle (pas de terme en z⁴). En regroupant les racines conjuguées : 1+2cos(2π/5)+2cos(4π/5) = 0, d'où cos(2π/5)+cos(4π/5) = −1/2.
3. Avec cos(4π/5) = 2cos²(2π/5)−1 et X = cos(2π/5) : X+2X²−1 = −1/2, soit 4X²+2X−1 = 0. Δ=20, X = (−1±√5)/4. Comme cos(2π/5)>0, on a cos(2π/5) = (√5−1)/4.
4. Si z₀≠−1 est solution de (E'), alors [(z₀−1)/(z₀+1)]⁵=1, donc |(z₀−1)/(z₀+1)|⁵=1 d'où |(z₀−1)/(z₀+1)|=1 (module réel positif) : z₀ est équidistant de 1 et −1, donc z₀ est imaginaire pur.
En posant (z−1)/(z+1) = e^(i2kπ/5), k=1,2,3,4 (k=0 impossible), on obtient z = i·cot(kπ/5) : les 4 solutions sont i·cot(π/5), i·cot(2π/5), i·cot(3π/5), i·cot(4π/5), toutes imaginaires pures.
