Un corps est en mouvement par rapport à un référentiel si sa position varie au cours du temps par rapport à ce référentiel. Le mouvement est toujours relatif : un passager assis est immobile par rapport au train, mais en mouvement par rapport à la route.
Le référentiel est un solide de référence (arbitrairement choisi) auquel on associe une horloge pour dater les événements (référentiel terrestre, géocentrique, héliocentrique...). Le repère est un système d'axes (origine O + base de vecteurs) lié au référentiel, permettant de repérer la position d'un point. La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par le mobile ; elle dépend du référentiel choisi.
Vecteur position : OM(t), qui relie l'origine O du repère au point mobile M à l'instant t.
Vecteur vitesse moyenne entre t₁ et t₂ : v_moy = (OM(t₂)−OM(t₁))/(t₂−t₁) = ΔOM/Δt.
Vecteur vitesse instantanée : v(t) = dOM/dt, limite de la vitesse moyenne quand Δt→0. Il est tangent à la trajectoire, dirigé dans le sens du mouvement.
Vecteur accélération moyenne entre t₁ et t₂ : a_moy = Δv/Δt = (v(t₂)−v(t₁))/(t₂−t₁).
Vecteur accélération instantanée : a(t) = dv/dt = d²OM/dt², caractérise la variation du vecteur vitesse (en norme et/ou en direction).
Trajectoire rectiligne, vitesse constante : a = 0, v = constante.
Équation horaire : x(t) = x0 + v·t
Trajectoire rectiligne, accélération constante (en valeur et en signe). Équations horaires :
a(t) = a = constante
v(t) = v0 + a·t
x(t) = x0 + v0·t + ½·a·t²
Relation indépendante du temps (souvent utile) : v² − v0² = 2a(x − x0)
Le mouvement est uniformément accéléré si a et v sont de même signe, uniformément retardé (décéléré) si a et v sont de signes opposés.
Un mobile part sans vitesse initiale (v0=0, x0=0) avec une accélération constante a=2 m/s². Après t=5 s : v=0+2×5=10 m/s et x=0+0+½×2×5²=25 m.
Pour un point M décrivant un cercle de rayon R, on définit l'abscisse angulaire θ(t), la vitesse angulaire ω = dθ/dt (rad/s) et l'accélération angulaire α = dω/dt (rad/s²).
Relation avec les grandeurs linéaires : vitesse tangentielle v = R·ω. Le vecteur accélération se décompose en deux composantes :
• accélération tangentielle (variation de la norme de v) : a_t = R·α
• accélération normale ou centripète (variation de direction de v, dirigée vers le centre) : a_n = v²/R = R·ω²
ω = constante, a_t = 0. Équation horaire : θ(t) = θ0 + ω·t. Période T = 2π/ω (s), fréquence f = 1/T = ω/2π (Hz). L'accélération se réduit à l'accélération centripète : a = a_n = R·ω², dirigée en permanence vers le centre du cercle.
α = constante ≠ 0. Équations horaires :
ω(t) = ω0 + α·t
θ(t) = θ0 + ω0·t + ½·α·t²
Relation indépendante du temps : ω² − ω0² = 2α(θ − θ0).
Une roue de rayon R=0,5 m tourne à n=300 tr/min, soit 5 tr/s. ω=2π×5=10π≈31,4 rad/s ; T=1/5=0,2 s ; v=Rω≈15,7 m/s ; a_n=Rω²≈493,5 m/s².
Point matériel : corps dont les dimensions sont négligeables devant les distances mises en jeu ; on l'assimile à un point géométrique affecté de toute sa masse.
Système matériel : ensemble de points matériels (ou solide) que l'on choisit d'étudier, délimité par une frontière précise.
Milieu extérieur : tout ce qui n'appartient pas au système étudié et qui est susceptible d'exercer des actions mécaniques sur lui.
Pour un point matériel de masse m et de vitesse v : p = m·v.
Pour un système matériel de masse totale M dont le centre d'inertie G a pour vitesse v_G : P = Σ mi·vi = M·v_G.
Pour un système en rotation autour d'un axe fixe Δ, le moment cinétique par rapport à Δ vaut σ_Δ = J_Δ·ω — c'est l'analogue rotationnel de p=mv.
Le moment d'inertie J_Δ = Σ mi·ri² (ri = distance de mi à l'axe Δ) traduit la répartition des masses autour de l'axe : il joue en rotation le rôle que joue la masse en translation (« inertie de rotation »). Plus les masses sont éloignées de l'axe, plus J_Δ est grand.
Si un corps A exerce sur un corps B une force F_{A→B}, alors B exerce sur A une force F_{B→A} telle que : F_{A→B} = − F_{B→A} (même droite d'action, même norme, sens opposés, simultanées).
Dans un référentiel galiléen, un point matériel isolé (soumis à aucune force) ou pseudo-isolé (ΣF_ext = 0) est soit au repos, soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme.
Cas d'une translation : ΣF_ext = dP/dt. Si la masse est constante : ΣF_ext = m·dv/dt = m·a (2ᵉ loi de Newton).
Cas d'une rotation autour d'un axe fixe Δ (théorème du moment cinétique) : ΣM_Δ(F_ext) = dσ_Δ/dt. Si J_Δ est constant : ΣM_Δ = J_Δ·dω/dt = J_Δ·α (théorème de l'accélération angulaire).
La mécanique classique (newtonienne) décrite ci-dessus n'est valable que pour des vitesses v petites devant la célérité de la lumière dans le vide, c≈3×10⁸ m/s (en pratique v < 0,1c). Au-delà, la masse, l'espace et le temps ne sont plus absolus : il faut recourir à la mécanique relativiste (relativité restreinte d'Einstein), où la quantité de mouvement devient p=γmv avec γ=1/√(1−v²/c²). Tous les mouvements étudiés dans ce chapitre (véhicules, projectiles, satellites) restent dans le domaine classique.
Pour tout système matériel de masse M, le centre d'inertie G se comporte comme un point matériel de masse M sur lequel s'appliquerait la résultante des forces extérieures : ΣF_ext = M·a_G. Ce théorème ramène l'étude du mouvement d'un solide, aussi complexe soit-il, à celle d'un point matériel.
Solide tiré par une force F sur un plan horizontal, soumis à son poids P, la réaction normale N et, s'il y a frottement, une force f=μN opposée au mouvement. En projetant ΣF=Ma_G sur l'axe du mouvement : F − f = M·a, soit a = (F − μN)/M. Sans frottement (μ=0) : a=F/M.
Sur un plan incliné d'un angle α par rapport à l'horizontale, le poids se décompose en une composante P·sinα le long du plan (moteur de la descente) et P·cosα perpendiculaire au plan (compensée par la réaction N). En l'absence de frottement : a = g·sinα. Avec frottement (coefficient μ) lors d'une descente : a = g·(sinα − μ·cosα).
Un projectile est lancé avec une vitesse initiale v0 faisant un angle α avec l'horizontale. Seul le poids agit (frottements négligés) : a_x=0, a_y=−g. En prenant l'origine au point de lancement :
vx(t) = v0·cosα ; vy(t) = v0·sinα − g·t
x(t) = v0·cosα·t ; y(t) = v0·sinα·t − ½·g·t²
En éliminant t, l'équation de la trajectoire est une parabole : y(x) = x·tanα − g·x²/(2·v0²·cos²α)
Grandeurs caractéristiques (retour au niveau de lancement) : temps de vol t_vol = 2·v0·sinα/g ; portée D = v0²·sin(2α)/g ; flèche (hauteur max.) h_max = v0²·sin²α/(2g), atteinte à t=v0·sinα/g soit à x=D/2.
Un satellite de masse m en orbite circulaire de rayon r autour d'un astre de masse M n'est soumis qu'à la force de gravitation, qui joue le rôle de force centripète : G·M·m/r² = m·v²/r, d'où la vitesse orbitale : v = √(GM/r) (indépendante de m). La période de révolution est T = 2π·r/v = 2π·√(r³/GM) (3ᵉ loi de Kepler), avec r = R_astre + altitude.
Une particule de charge q et de masse m pénètre avec une vitesse v0 perpendiculairement aux lignes d'un champ électrique uniforme E (entre les plaques d'un condensateur plan, par exemple). Elle subit une force électrique F = q·E, d'où une accélération constante a = qE/m perpendiculaire à v0 — situation strictement analogue au projectile dans le champ de pesanteur (a joue le rôle de g).
Si v0 est selon x et E selon y : x(t)=v0·t, y(t)=½·(qE/m)·t², et la trajectoire est la parabole électrique : y(x) = qE·x²/(2m·v0²). À la sortie de plaques de longueur L, la déviation vaut y_s = qE·L²/(2m·v0²).
Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe Δ de moment d'inertie J_Δ constant, soumis à des forces extérieures de moment résultant ΣM_Δ : ΣM_Δ = J_Δ·α — c'est l'exacte transposition, en rotation, de la relation ΣF=m·a en translation.
| Grandeur | Translation | Rotation |
|---|---|---|
| Position | x | θ |
| Vitesse | v = dx/dt | ω = dθ/dt |
| Accélération | a = dv/dt | α = dω/dt |
| Inertie | masse m | moment d'inertie J_Δ |
| Action | force F | moment de force M_Δ |
| Quantité de mouvement | p = m·v | moment cinétique σ_Δ = J_Δ·ω |
| Relation fondamentale | ΣF = dP/dt = m·a | ΣM_Δ = dσ_Δ/dt = J_Δ·α |
| Énergie cinétique | ½·m·v² | ½·J_Δ·ω² |
| Travail | W = F·d | W = M_Δ·θ |
Un mobile part sans vitesse initiale (v0=0, x0=0) d'un point O avec une accélération constante a=2 m/s² sur une trajectoire rectiligne. Calculer sa vitesse et la distance parcourue après t=5 s.
v(t)=v0+at=0+2×5=10 m/s. x(t)=x0+v0t+½at²=0+0+½×2×5²=½×2×25=25 m.
Une roue de rayon R=0,5 m tourne uniformément à la fréquence n=300 tr/min. Calculer : (1) la vitesse angulaire ω ; (2) la période T ; (3) la vitesse linéaire v d'un point du bord ; (4) son accélération centripète a_n.
(1) n=300 tr/min=5 tr/s. ω=2πn=2π×5=10π≈31,4 rad/s. (2) T=1/n=1/5=0,2 s (vérif. T=2π/ω=2π/31,4=0,2 s ✓). (3) v=Rω=0,5×31,4=15,7 m/s. (4) a_n=Rω²=0,5×(31,4)²=0,5×986,3≈493,5 m/s² (dirigée vers le centre).
Un solide de masse m=2 kg, initialement au repos, glisse sans frottement sur un plan incliné faisant un angle α=30° avec l'horizontale, sur une longueur L=4 m. On prend g=10 m/s². Calculer : (1) l'accélération a du solide ; (2) sa vitesse v en bas du plan ; (3) la durée t de la descente.
(1) D'après le théorème du centre d'inertie projeté sur le plan (sans frottement) : a=g·sinα=10×0,5=5 m/s² (m n'intervient pas). (2) v²=2aL=2×5×4=40 → v=√40≈6,32 m/s. (3) L=½at² → 4=½×5×t² → t²=1,6 → t≈1,26 s (vérif. v=at=5×1,26=6,3 m/s ✓).
Une poulie assimilée à un disque plein homogène de masse M=4 kg et de rayon R=0,2 m (moment d'inertie J=½MR², axe fixe sans frottement) porte à sa périphérie un fil inextensible et sans masse auquel est suspendue une masse m=1 kg. Le système est lâché sans vitesse initiale. On prend g=10 m/s².
Un ballon de masse m=0,2 kg est lancé depuis le sol avec une vitesse initiale v0=20 m/s faisant un angle α=30° avec l'horizontale. On néglige tout frottement et on prend g=10 m/s².
10 questions · Correction immédiate
Le référentiel est :
Dans un mouvement rectiligne uniformément varié, l'équation horaire de la position est :
Dans un mouvement circulaire uniforme, l'accélération du mobile :
Le vecteur quantité de mouvement d'un système matériel de masse M et de centre d'inertie G animé de la vitesse v_G s'écrit :
Le moment d'inertie J_Δ d'un système en rotation autour d'un axe Δ joue le rôle, en rotation, de :
Le principe des actions mutuelles s'écrit :
Le théorème du moment cinétique (RFD en rotation) s'écrit :
La vitesse d'un satellite en orbite circulaire de rayon r autour d'un astre de masse M est :
Une particule chargée pénétrant perpendiculairement aux lignes d'un champ électrique uniforme décrit une trajectoire :
Dans le tableau de correspondance translation/rotation, la force F est associée en rotation à :
