Un courant est dit continu lorsque son intensité garde un sens et une valeur constants au cours du temps (piles, batteries). Un courant est dit alternatif lorsque son intensité change périodiquement de sens : elle est tantôt positive, tantôt négative. Le cas le plus important en physique et le seul distribué par les réseaux électriques (secteur) est le courant alternatif sinusoïdal.
Un courant alternatif sinusoïdal est un courant dont l'intensité instantanée varie dans le temps selon une loi du type : i(t) = I_m cos(ωt + φ_i). De même, une tension alternative sinusoïdale s'écrit : u(t) = U_m cos(ωt + φ_u).
Caractéristiques d'une grandeur sinusoïdale :
| Grandeur | Symbole | Unité | Relation |
|---|---|---|---|
| Période | T | seconde (s) | durée d'un cycle complet |
| Fréquence | f | hertz (Hz) | f = 1/T |
| Pulsation | ω | rad/s | ω = 2π/T = 2πf |
| Valeur maximale (amplitude) | I_m, U_m | A, V | valeur crête |
| Phase à l'origine | φ | rad | déphasage par rapport à l'origine des temps |
La valeur efficace d'une intensité (ou d'une tension) sinusoïdale est la valeur qui produirait, dans une résistance, le même effet thermique moyen que le courant alternatif considéré. Pour une grandeur sinusoïdale :
I_eff = I_m / √2 et U_eff = U_m / √2
C'est cette valeur efficace qu'indiquent les multimètres (ampèremètres et voltmètres AC) et qui figure sur les appareils domestiques.
La tension du secteur en République du Congo est U_eff = 220 V à la fréquence f = 50 Hz. On en déduit : U_m = U_eff√2 = 220×1,414 ≈ 311 V et ω = 2πf = 2π×50 ≈ 314 rad/s. La tension instantanée s'écrit donc u(t) = 311 cos(314t) V.
En régime sinusoïdal, la loi d'Ohm reliant tension et intensité fait intervenir non plus une simple résistance mais une grandeur appelée impédance Z, et un déphasage φ entre u(t) et i(t). On prend le courant comme référence des phases : i(t) = I_m cos(ωt) et u(t) = U_m cos(ωt + φ), avec U_m = Z·I_m.
Pour un résistor de résistance R, la loi d'Ohm reste valable à chaque instant : u(t) = R·i(t). La tension et l'intensité sont donc en phase (φ = 0) et l'impédance se confond avec la résistance : Z = R.
Une bobine réelle possède une inductance L et une résistance interne r. La relation instantanée est u(t) = r·i(t) + L·di/dt.
En régime sinusoïdal permanent :
Z = √(r² + (Lω)²) et tan φ = Lω / r, avec 0 < φ < π/2
La tension est donc en avance de phase sur l'intensité. Si la bobine est idéale (r = 0), Z = Lω et φ = π/2 (avance maximale).
Pour un condensateur, i(t) = C·du/dt.
Z = 1 / (Cω) et le déphasage de u par rapport à i vaut φ = -π/2.
Autrement dit, l'intensité est en avance de π/2 (un quart de période) sur la tension à ses bornes.
Chaque grandeur sinusoïdale peut être représentée par un vecteur tournant (vecteur de Fresnel) dont la norme est la valeur maximale (ou efficace) et l'angle avec l'axe de référence est la phase. Pour un dipôle traversé par i(t) pris comme référence (vecteur horizontal), on construit :
La tension totale U est la somme vectorielle de ces tensions ; le module du vecteur résultant donne U_m et son angle avec I donne le déphasage global φ.
On associe en série un résistor R, une bobine (idéale, d'inductance L) et un condensateur de capacité C, parcourus par le même courant i(t) = I_m cos(ωt).
L'impédance du circuit RLC série est :
Z = √(R² + (Lω − 1/(Cω))²)
Le déphasage de la tension totale par rapport au courant vérifie :
tan φ = (Lω − 1/(Cω)) / R
Si Lω > 1/(Cω), le circuit est inductif (φ > 0, u en avance sur i). Si Lω < 1/(Cω), le circuit est capacitif (φ < 0, i en avance sur u).
Tableau récapitulatif :
| Dipôle | Impédance Z | Déphasage φ (u par rapport à i) |
|---|---|---|
| Résistor (R) | Z = R | φ = 0 (en phase) |
| Bobine réelle (L, r) | Z = √(r² + (Lω)²) | tan φ = Lω/r, u en avance |
| Condensateur (C) | Z = 1/(Cω) | φ = −π/2, i en avance |
| RLC série | Z = √(R² + (Lω − 1/(Cω))²) | tan φ = (Lω − 1/(Cω))/R |
Il y a résonance d'intensité lorsque, à fréquence variable, l'intensité efficace du circuit RLC série est maximale. Cela se produit lorsque la partie réactive de l'impédance s'annule : Lω_0 = 1/(Cω_0).
La pulsation propre (de résonance) vaut :
ω_0 = 1/√(LC) soit f_0 = 1/(2π√(LC))
À la résonance : Z = Z_min = R ; l'intensité efficace est maximale : I_eff,max = U_eff/R ; et le déphasage est nul (φ = 0) : la tension totale et le courant sont en phase, le circuit se comporte comme un pur résistor.
À la résonance, les tensions U_L et U_C peuvent devenir individuellement très supérieures à la tension d'alimentation U (phénomène de surtension), bien que leur somme algébrique s'annule puisqu'elles sont en opposition de phase.
La puissance instantanée p(t) = u(t)·i(t) varie au cours du temps. La grandeur utile est la puissance moyenne (ou puissance active) consommée par le dipôle.
La puissance moyenne (active) d'un dipôle en régime sinusoïdal est :
P = U_eff · I_eff · cos φ
où cos φ est appelé facteur de puissance du dipôle. Pour un circuit RLC série, cos φ = R/Z.
Cas particuliers : pour un résistor pur, φ = 0 donc cos φ = 1 et P = U_eff·I_eff = R·I_eff² (puissance maximale). Pour une bobine ou un condensateur purs, φ = ±π/2 donc cos φ = 0 et P = 0 : ces dipôles n'absorbent aucune puissance en moyenne (ils échangent seulement de l'énergie réactive avec le générateur).
Une tension alternative sinusoïdale a pour expression, en unités SI : u(t) = 311 cos(314t).
1) Donner la valeur maximale U_m et la pulsation ω.
2) En déduire la fréquence f et la période T.
3) Calculer la valeur efficace U_eff et identifier cette tension.
1) Par identification avec u(t) = U_m cos(ωt) : U_m = 311 V et ω = 314 rad/s.
2) f = ω/(2π) = 314/6,283 ≈ 50 Hz ; T = 1/f = 1/50 = 0,02 s = 20 ms.
3) U_eff = U_m/√2 = 311/1,414 ≈ 220 V. Il s'agit de la tension du secteur (220 V – 50 Hz).
Un résistor de résistance R = 50 Ω est parcouru par un courant sinusoïdal i(t) = 2√2 cos(100πt) (en A).
1) Calculer la fréquence et la période du courant.
2) Calculer l'intensité efficace I_eff.
3) Établir l'expression de u(t) aux bornes du résistor et calculer U_eff.
1) ω = 100π rad/s donc f = ω/(2π) = 50 Hz et T = 1/f = 0,02 s.
2) I_m = 2√2 A, donc I_eff = I_m/√2 = 2√2/√2 = 2 A.
3) Pour un résistor, u et i sont en phase : u(t) = R·i(t) = 50 × 2√2 cos(100πt) = 100√2 cos(100πt) V. Donc U_m = 100√2 ≈ 141,4 V et U_eff = U_m/√2 = 100 V (on vérifie bien U_eff = R·I_eff = 50×2 = 100 V).
Une bobine réelle de résistance r = 20 Ω et d'inductance L = 0,1 H est alimentée par une tension sinusoïdale de valeur efficace U_eff = 48 V et de fréquence f = 50 Hz.
1) Calculer la pulsation ω puis la réactance Lω.
2) Calculer l'impédance Z de la bobine.
3) Calculer l'intensité efficace I_eff qui la traverse.
4) Calculer le déphasage φ de u par rapport à i. Ce déphasage est-il cohérent avec la nature du dipôle ?
1) ω = 2πf = 2π×50 ≈ 314,16 rad/s. Lω = 0,1 × 314,16 ≈ 31,42 Ω.
2) Z = √(r² + (Lω)²) = √(20² + 31,42²) = √(400 + 987,0) = √1387,0 ≈ 37,24 Ω.
3) I_eff = U_eff/Z = 48/37,24 ≈ 1,29 A.
4) tan φ = Lω/r = 31,42/20 = 1,571, donc φ = arctan(1,571) ≈ 57,5° soit environ 1,00 rad. Comme 0 < φ < π/2, la tension est bien en avance sur le courant, ce qui est cohérent avec une bobine (dipôle à caractère inductif).
On associe en série un résistor R = 100 Ω et un condensateur de capacité C = 20 µF. L'ensemble est alimenté sous une tension efficace U_eff = 220 V à la fréquence f = 50 Hz.
1) Calculer la réactance 1/(Cω) du condensateur.
2) Calculer l'impédance Z du circuit.
3) Calculer l'intensité efficace I_eff dans le circuit.
4) Calculer le déphasage φ de u par rapport à i et préciser le caractère (inductif ou capacitif) du circuit. Décrire qualitativement la construction de Fresnel correspondante.
5) Calculer le facteur de puissance cos φ et la puissance moyenne consommée P.
1) ω = 2π×50 ≈ 314,16 rad/s. 1/(Cω) = 1/(20×10⁻⁶ × 314,16) = 1/0,006283 ≈ 159,15 Ω.
2) Z = √(R² + (1/(Cω))²) = √(100² + 159,15²) = √(10000 + 25330) = √35330 ≈ 187,97 Ω (ici Lω = 0 puisqu'il n'y a pas de bobine).
3) I_eff = U_eff/Z = 220/187,97 ≈ 1,17 A.
4) tan φ = (0 − 1/(Cω))/R = −159,15/100 = −1,5915, donc φ ≈ −57,8°. Le déphasage est négatif : le courant est en avance sur la tension, le circuit est de caractère capacitif. Sur la construction de Fresnel, on place I sur l'axe horizontal, U_R colinéaire à I, et U_C perpendiculaire à I et en retard (vers le bas) ; le vecteur somme U = U_R + U_C fait alors l'angle φ négatif avec I.
5) cos φ = R/Z = 100/187,97 ≈ 0,532. P = U_eff·I_eff·cos φ = 220×1,17×0,532 ≈ 137,0 W (on vérifie : P = R·I_eff² = 100×1,17² ≈ 137,0 W).
On réalise un circuit RLC série comprenant : un résistor R = 100 Ω, une bobine idéale d'inductance L = 0,5 H et un condensateur de capacité C = 10 µF, alimenté par un générateur basse fréquence délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace U_eff = 220 V.
10 questions · Correction immédiate
Un courant alternatif sinusoïdal est un courant dont l'intensité :
La relation correcte entre la valeur efficace et la valeur maximale d'une tension sinusoïdale est :
Aux bornes d'un résistor parcouru par un courant sinusoïdal, la tension et le courant :
L'impédance d'une bobine réelle de résistance r et d'inductance L, en régime sinusoïdal de pulsation ω, est :
Aux bornes d'un condensateur idéal :
Dans la construction de Fresnel d'un circuit RLC série, en prenant le courant comme référence, le vecteur représentant U_C est :
L'impédance d'un circuit RLC série s'écrit :
La condition de résonance d'intensité d'un circuit RLC série est :
À la résonance d'intensité d'un circuit RLC série :
La puissance moyenne consommée par un dipôle en régime sinusoïdal s'exprime par :
