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Terminale C · Mathématiques · 10 Sujets type BAC corrigés · Basés sur les annales 2009–2020
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10 Sujets Type BAC Corrigés

Mathématiques · Terminale C · Basés sur les annales officielles 2009–2020
Structure officielle : Exercice 1 + Exercice 2 + Problème en 3 parties

20 points / sujet Exercice 1 — 5 pts Exercice 2 — 4 pts Problème — 11 pts Corrigés détaillés

📋 Table des matières — 10 sujets

S.01Suites $U_n=-2\cdot2^n+3\cdot3^n$ · Prob. · Rotations · EllipseS.02Arithmétique $13x-7y=1$ · Intégrales $I_n$ · Similitudes · ParaboleS.03Complexes d'ordre 3 · Régression · Éq.diff. $y''+4y=0$ · AnalyseS.04Suites $U_n=3\cdot2^n-1$ (mod7) · Complexes · Rotations · HyperboleS.05Intégrales $J_n=\int_0^{\pi/2}x^n\sin x$ · Binomiale · Similitudes · $x-1-\ln x$S.06PGCD de $5^n+3\cdot2^n$ · Stats double entrée · Translations · ParaboleS.07Bicarrée · Suites $K_n=\int_0^1\frac{t^n}{1+t}$ · Rotations · EllipseS.08Suites $3^n-1$ (mod7) · V.A. continue · Éq.diff. · $xe^{-x}$S.09Racines de $z^3=-i$ · Régression · Homothéties · HyperboleS.10Inverse mod 17 · Intégrales $L_n=(\ln t)^n$ · Similitudes · $\ln(x^2+1)$
1

Sujet Type BAC — N°1

Suites récurrentes (mod 5) · Probabilités · Rotations · Ellipse

Ex.1 : 5 ptsEx.2 : 4 ptsPb : 11 pts
Suites récurrentes d'ordre 2Congruences mod 5V.A. discrèteRotationsSimilitude directeEllipse
Ex.1 — 5 pts
Ex.2 — 4 pts
Problème — 11 pts
Exercice 15 points

On considère la suite définie par $U_0=1$, $U_1=5$ et $\forall n\in\mathbb{N}:\; U_{n+2}-5U_{n+1}+6U_n=0$.

  1. 1a. Déterminer les suites géométriques $(a_n)$ et $(b_n)$ de la solution générale.
  2. b. Montrer que $U_n=\alpha\cdot 2^n+\beta\cdot 3^n$ est dans $(S)$.
  3. 2a. Déterminer $\alpha$ et $\beta$ vérifiant les conditions initiales.
  4. b. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}:\; U_n\equiv 2^n\pmod{5}$.
  5. c. En déduire le reste de $U_{2024}$ par 5.
  6. 3Soit $S_n=U_0+\cdots+U_n$. Calculer $S_n$ puis le reste de $S_{99}$ par 5.

Corrigé — Exercice 1

5 points
1a.Équation caractéristique : $r^2-5r+6=0 \Rightarrow (r-2)(r-3)=0$. Suites : $a_n=2^n$ et $b_n=3^n$.
1b.Vérification directe : $\alpha 2^{n+2}-5\alpha 2^{n+1}+6\alpha 2^n=\alpha 2^n(4-10+6)=0$ ✓. Idem pour $3^n$.
2a.Système : $\alpha+\beta=1$, $2\alpha+3\beta=5$. Soustraction : $\beta=3$, $\alpha=-2$.
$U_n=-2\cdot 2^n+3\cdot 3^n$
2b.$3^n\bmod5$ est périodique de période 4 : 3,4,2,1,... $2^n\bmod5$ : 2,4,3,1,... $U_n\equiv -2\cdot 2^n\equiv 3\cdot 2^n\pmod5$ (car $-2\equiv3\pmod5$). Donc $U_n\equiv 3\cdot 2^n\pmod5$.
2c.$2024=4\times506$, donc $2^{2024}\equiv1\pmod5$. $U_{2024}\equiv 3\cdot1=3\pmod5$.
Reste = 3
3.$S_n=(-2)(2^{n+1}-1)+3\cdot\frac{3^{n+1}-1}{2}=\frac{3^{n+2}-3}{2}-2^{n+2}+2$. Pour $n=99$: $3^{100}\bmod5$: $100=4\times25$, $3^{100}\equiv1\pmod5$. $2^{100}\equiv1\pmod5$. $S_{99}\equiv\frac{9-3}{2}-4+2=3-4+2=1\pmod5$.
Reste de $S_{99}$ par 5 = 1
Exercice 24 points

Une urne contient 3 boules rouges (numérotées 1,2,3) et 2 boules blanches (numérotées 1,2). On tire simultanément 2 boules. $X$ = somme des numéros.

  1. 1Lister les tirages possibles et les valeurs de $X$.
  2. 2Dresser la loi de probabilité de $X$.
  3. 3Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.
  4. 4Calculer $P(X\geq4)$.

Corrigé — Exercice 2

4 points
1.$\binom{5}{2}=10$ tirages. Sommes : (R1,R2)=3 ; (R1,R3)=4 ; (R1,B1)=2 ; (R1,B2)=3 ; (R2,R3)=5 ; (R2,B1)=3 ; (R2,B2)=4 ; (R3,B1)=4 ; (R3,B2)=5 ; (B1,B2)=3.
2.$P(X=2)=\tfrac{1}{10}$, $P(X=3)=\tfrac{4}{10}$, $P(X=4)=\tfrac{3}{10}$, $P(X=5)=\tfrac{2}{10}$.
3.$E(X)=\tfrac{2+12+12+10}{10}=\tfrac{36}{10}=3{,}6$. $E(X^2)=\tfrac{4+36+48+50}{10}=13{,}8$. $V(X)=13{,}8-12{,}96=0{,}84$. $\sigma(X)\approx0{,}917$.
4.$P(X\geq4)=\tfrac{3+2}{10}=\tfrac{1}{2}$.
Problème11 points

Plan orienté. Triangle équilatéral $ABC$ de sens direct, côté $a=4$ cm, centre de gravité $G$. $I$ = milieu de $[BC]$.

Partie A — Rotations et similitude
  1. 1Faire une figure soignée.
  2. 2Montrer qu'il existe une rotation $r_1$ de centre $A$ transformant $B$ en $C$. Préciser l'angle $\theta_1$.
  3. 3Montrer qu'il existe une rotation $r_2$ de centre $C$ transformant $A$ en $B$. Préciser $\theta_2$.
  4. 4Montrer que $f=r_1\circ r_2$ est une translation. Préciser son vecteur en choisissant les angles appropriés.
  5. 5Caractériser la similitude directe $S$ envoyant $B\to A$ et $C\to G$.
Partie B — Écriture complexe

Repère $(A;\vec{u},\vec{v})$ avec $\vec{u}=\overrightarrow{AB}/|AB|$.

  1. 6Donner les affixes de $A,B,C,G,I$.
  2. 7Écrire la forme complexe de $S$ : $z'=az+b$.
Partie C — Ellipse

Ellipse $(\mathcal{E})$ de foyers $B$ et $C$, de grand axe $2a'=8$ (de sorte que $A\in(\mathcal{E})$).

  1. 8Vérifier que $A\in(\mathcal{E})$.
  2. 9Calculer $b'$ et $e$. Construire $(\mathcal{E})$.
  3. 10Donner l'équation de $(\mathcal{E})$ dans le repère de centre $\Omega=I$ d'axes parallèles aux axes de symétrie de $(\mathcal{E})$.

Corrigé — Problème

11 points
A-1.$ABC$ équilatéral de sens direct, côté $a=4$, centre de gravité $G$, $I$ milieu de $[BC]$.
A B C I G

Triangle équilatéral ABC (sens direct), G centre de gravité, I milieu de [BC]

A-2.$ABC$ équilatéral, $AB=AC=4$, $\widehat{BAC}=60°$. Rotation $r_1$ de centre $A$ d'angle $+60°$ envoie $B\to C$.
$r_1$ : centre $A$, angle $60°$
A-3.Rotation $r_2$ de centre $C$ d'angle $+60°$ envoie $A\to B$ (car $CA=CB=4$ et $\widehat{ACB}=60°$).
$r_2$ : centre $C$, angle $60°$
A-4.La composée $r_1\circ r_2$ (angles $60°+60°=120°$) est une rotation, pas une translation. Pour obtenir une translation, on choisit plutôt $r_2'$, la rotation de centre $C$ et d'angle $-60°$ (qui envoie $B$ sur $A$) : la somme des angles $60°+(-60°)=0°$ donne alors une translation pour $f=r_1\circ r_2'$.
$f=r_1\circ r_2'$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{CA}$
A-5.$S(B\to A, C\to G)$. $AG=\frac{2}{3}\times\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{4\sqrt3}{3}$. Rapport $k=\frac{AG}{BA}$... En considérant $|AB|=4$ et $|AG|=\frac{4\sqrt3}{3}$ : rapport $=\frac{\sqrt3}{3}=\frac{1}{\sqrt3}$. Angle $\widehat{(AB,AG)}=30°$.
$S$ : rapport $\frac{1}{\sqrt3}$, angle $30°$
B-6.$z_A=0$, $z_B=4$, $z_C=2+2i\sqrt3$, $z_G=2+\frac{2i\sqrt3}{3}$, $z_I=3+i\sqrt3$.
B-7.$z'=az+b$. $S(B)=A$ : $4a+b=0$. $S(C)=G$ : calcul donnant $a=\frac{1}{\sqrt3}e^{i\pi/6}$, $b=-4a$.
$z'=\frac{1}{\sqrt3}e^{i\pi/6}(z-4)$
C-8.$|AB|+|AC|=4+4=8=2a'$ ✓. $A$ est sur $(\mathcal{E})$.
C-9.$c=|BC|/2=2$. $a'=4$. $b'^2=16-4=12$, $b'=2\sqrt3$. $e=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
Demi-grand axe $4$, demi-petit axe $2\sqrt3\approx3{,}46$
C-10.Centre $\Omega=I=(3,\sqrt3)$ dans le repère $(A;u,v)$. Axe focal : droite $(BC)$. Éq. dans (I;X,Y) : $\frac{X^2}{16}+\frac{Y^2}{12}=1$.
Ω=I B C −4 4 A

Ellipse (E) de foyers B, C, passant par A — demi-grand axe 4, demi-petit axe 2√3, dans le repère propre de centre Ω=I

2

Sujet Type BAC — N°2

Arithmétique-congruences · Suites d'intégrales $I_n$ · Similitudes · Parabole

Ex.1 : 5 ptsEx.2 : 4 ptsPb : 11 pts
Équation diophantienneAlgorithme d'EuclideSuites $I_n=\int_0^1 x^ne^x\,dx$Similitude directeParabole
Ex.1 — 5 pts
Ex.2 — 4 pts
Problème — 11 pts
Exercice 15 points

On considère l'équation $(E): 13x-7y=1$, d'inconnues entières $x,y\in\mathbb{Z}$.

  1. 1a. Calculer $\pgcd(13,7)$ par l'algorithme d'Euclide.
  2. b. En déduire que $(E)$ admet des solutions dans $\mathbb{Z}$. Trouver $(x_0,y_0)$.
  3. 2Montrer que $(E)$ est équivalente à $13x\equiv1\pmod7$. Résoudre dans $\mathbb{Z}$.
  4. 3Déterminer la solution avec $0\leq x\leq6$. En déduire l'inverse de 13 mod 7.
  5. 4Résoudre $13x\equiv3\pmod7$ et $13x\equiv0\pmod7$.
  6. 5Trouver toutes les solutions entières de $(E)$ telles que $x+y>0$.

Corrigé — Exercice 1

5 points
1a.$13=7\times1+6$; $7=6\times1+1$; $6=1\times6$. $\pgcd=1$.
1b.Remontée : $1=7-6=7-(13-7)=2\times7-13$. $(x_0,y_0)=(-1,-2)$. Ensemble : $x=-1+7k,\;y=-2+13k$.
2.$0\leq x\leq6$ : $k=1$, $x=6,y=11$. $13\times6=78=77+1\equiv1\pmod7$ ✓.
Inverse de 13 mod 7 = 6
3.$13x\equiv3\pmod7$ : $x\equiv3\times6=18\equiv4\pmod7$. $13x\equiv0\pmod7$ : $x\equiv0\pmod7$.
4.$x+y>0$ : $(-1+7k)+(-2+13k)>0\Rightarrow20k>3\Rightarrow k\geq1$. Solutions : $(6+7k,11+13k)$ pour $k\geq0$.
Exercice 24 points

Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n e^x\,dx$.

  1. 1Calculer $I_0$ et $I_1$.
  2. 2Par IPP, établir : $I_n=e-n\,I_{n-1}$.
  3. 3Calculer $I_2$ et $I_3$.
  4. 4Montrer que $0\leq I_n\leq\dfrac{e}{n+1}$. En déduire $\lim_{n\to\infty}I_n$.

Corrigé — Exercice 2

4 points
1.$I_0=[e^x]_0^1=e-1$. IPP $I_1$: $u=x,v'=e^x$ → $I_1=[xe^x]_0^1-I_0=e-(e-1)=1$.
$I_0=e-1,\;I_1=1$
2.IPP: $u=x^n,v'=e^x$ → $I_n=[x^ne^x]_0^1-nI_{n-1}=e-nI_{n-1}$ ✓.
$I_n=e-nI_{n-1}$
3.$I_2=e-2\times1=e-2\approx0{,}718$. $I_3=e-3(e-2)=6-2e\approx0{,}564$.
4.Sur $[0,1]$: $1\leq e^x\leq e$ et $0\leq x^n\leq1$, donc $0\leq I_n\leq e\int_0^1x^n\,dx=\dfrac{e}{n+1}\to0$.
$\lim_{n\to\infty}I_n=0$
Problème11 points

ABCD carré de sens direct, côté 4, centre O. $I$ milieu de $[AB]$, $J$ milieu de $[BC]$.

Partie A — Similitude directe
  1. 1Faire une figure. Calculer $|IJ|$.
  2. 2Montrer qu'il existe une similitude directe $S$ envoyant $A\to B$ et $I\to J$. Trouver rapport, angle, centre $\Omega$.
  3. 3Construire $E=S(C)$.
  4. 4Montrer que $E$ appartient à la diagonale $[BD]$.
Partie B — Complexes
  1. 5Repère $(A;\vec{u},\vec{v})$ avec $\vec{u}=\overrightarrow{AB}/4$. Affixes de $A,B,C,D,O,I,J$.
  2. 6Forme complexe de $S$ : $z'=az+b$. Calculer $a$, $b$. Affixe de $\Omega$.
Partie C — Parabole

$(\mathcal{P})$ = parabole de foyer $F=C=(4,4)$ et directrice $(d)$ : droite $(AB)$ d'équation $y=0$.

  1. 7Calculer le paramètre $p$. Déterminer le sommet $S_0$.
  2. 8Donner l'équation de $(\mathcal{P})$. Vérifier que $D$ est sur $(\mathcal{P})$.
  3. 9Tracer l'arc de $(\mathcal{P})$ depuis le sommet jusqu'aux points d'intersection avec la droite $(DC)$.
  4. 10Calculer l'aire délimitée par $(\mathcal{P})$ et la droite $y=4$.

Corrigé — Problème

11 points
A-1.$A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),I(2,0),J(4,2)$. $|IJ|=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$.
A B C D O I J

Carré ABCD, I milieu de [AB], J milieu de [BC] — |IJ| = 2√2

A-2.$S$ envoie $A\to B$ et $I\to J$ ; par la formule à deux points $a=\dfrac{z_J-z_B}{z_I-z_A}=\dfrac{(4+2i)-4}{2-0}=i$, puis $b=z_B-a\,z_A=4$. Module $|a|=1$ : $S$ est une isométrie (rotation). Angle $=\arg(a)=90°$. Centre : $z_\Omega=\dfrac{b}{1-a}=\dfrac{4}{1-i}=\dfrac{4(1+i)}{2}=2+2i$.
$S$ = rotation de centre $O(2,2)$, angle $90°$ ; $z'=iz+4$
A-3.$S(C)=iC+4=i(4+4i)+4=4i-4+4=4i=D$.
$E=D=(0,4)$
A-4.$E=S(C)=D$, et $D$ est par définition une extrémité de la diagonale $[BD]$ : $E$ appartient donc (trivialement) à $[BD]$ ✓.
B-6.$a=i$, $b=4$. Centre $\Omega : z=\frac{4}{1-i}=\frac{4(1+i)}{2}=2+2i$.
$\Omega=O=(2,2)$
C-7.Foyer $F=C=(4,4)$, directrice $(d): y=0$. Distance de $F$ à $(d)$ : $4$ ; le paramètre (distance foyer-directrice) vaut $p=4$. Le sommet $S_0$, milieu du segment joignant $F$ à son projeté sur $(d)$, est $S_0=(4,2)$.
$p=4$ ; $S_0=(4,2)$
C-8.L'axe de $(\mathcal{P})$ est la verticale $x=4$, ouverte vers le haut (le foyer est au-dessus de la directrice). Un point $M(x,y)$ appartient à $(\mathcal P)$ ssi $MF=$ distance à $(d)$ : $\sqrt{(x-4)^2+(y-4)^2}=y$, soit en élevant au carré et en simplifiant $(x-4)^2=8(y-2)$.
Vérification pour $D(0,4)$ : $(0-4)^2=16$ et $8(4-2)=16$. Les deux membres sont égaux : $D\in(\mathcal P)$.
$(\mathcal{P}): (x-4)^2=8(y-2)$ ; $D\in(\mathcal P)$
C-9.La droite $(DC)$ a pour équation $y=4$ (D et C ont même ordonnée). Elle coupe $(\mathcal P)$ où $(x-4)^2=8(4-2)=16$, soit $x=0$ ou $x=8$ : les points d'intersection sont $D(0,4)$ lui-même et son symétrique $D'(8,4)$ par rapport à l'axe $x=4$.
y=0 y=4 (D,C) S₀(4;2) F=C(4;4) D(0;4) D'(8;4)

Arc de (P) du sommet S₀(4;2) jusqu'à D et D', intersections avec la droite (DC): y=4

C-10.Sur $[0,8]$, $(\mathcal P)$ s'écrit $y=2+\dfrac{(x-4)^2}{8}$. L'aire entre $(\mathcal P)$ et la droite $y=4$ vaut, en posant $u=x-4$ : $$\mathcal{A}=\int_0^8\left[4-\left(2+\frac{(x-4)^2}{8}\right)\right]dx=\int_{-4}^{4}\left(2-\frac{u^2}{8}\right)du=\left[2u-\frac{u^3}{24}\right]_{-4}^{4}=\frac{32}{3}$$
Aire $=\dfrac{32}{3}\ \text{u}^2\approx10{,}67\ \text{u}^2$
3

Sujet Type BAC — N°3

Complexes d'ordre 3 · Statistiques régression · Éq. diff. $y''+4y=0$ · Analyse

Ex.1 : 5 ptsEx.2 : 4 ptsPb : 11 pts
Équation complexe d'ordre 3Forme trigonométriqueRégression linéaireÉquation différentielleVariations · Branches infiniesCalcul d'aire
Ex.1 — 5 pts
Ex.2 — 4 pts
Problème — 11 pts
Exercice 15 points

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E): z^3-(2+i)z^2+(1+2i)z-i=0$.

  1. 1Vérifier que $z_1=i$ est solution de $(E)$.
  2. 2Factoriser $(E)$ par $(z-i)$ et résoudre complètement $(E)$.
  3. 3Écrire chaque solution sous forme trigonométrique $r(\cos\theta+i\sin\theta)$.
  4. 4Placer les images A, B, C dans le plan complexe. Quelle est la nature du triangle ABC ?

Corrigé — Exercice 1

5 points
1.$i^3-(2+i)(-1)+(1+2i)(i)-i=-i+2+i+i-2+i-i=0$ ✓. $z_1=i$ est solution.
2.Division par $(z-i)$: $z^3-(2+i)z^2+(1+2i)z-i=(z-i)(z^2-2z+1)=(z-i)(z-1)^2$. Solutions : $z_1=i$, $z_2=z_3=1$ (racine double).
$z_1=i,\;z_2=1$ (mult.2)
3.$z_1=i=e^{i\pi/2}$. $z_2=1=e^{i\cdot0}$.
4.A=$(0,1)$, B=C=$(1,0)$. Triangle dégénéré (B et C confondus) → segment $[AB]$. $|AB|=\sqrt{1+1}=\sqrt2$.
Exercice 24 points
Trimestre $x_i$123456
CA (mill. FCFA)4258718596110
  1. 1Calculer $\bar{x}$ et $\bar{y}$.
  2. 2Calculer Cov$(x,y)$, $V(x)$ et le coefficient de corrélation $r$.
  3. 3Donner l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$.
  4. 4Estimer le CA au 8ème trimestre.

Corrigé — Exercice 2

4 points
1.$\bar{x}=3{,}5$. $\bar{y}=462/6=77$.
G = (3,5 ; 77)
2.$\sum x_iy_i=42+116+213+340+480+660=1851$. Cov$=1851/6-3{,}5\times77=308{,}5-269{,}5=39$. $V(x)=(1+4+9+16+25+36)/6-12{,}25=91/6-12{,}25\approx2{,}917$. $V(y)=(42^2+58^2+71^2+85^2+96^2+110^2)/6-77^2=(1764+3364+5041+7225+9216+12100)/6-5929=38710/6-5929\approx6451{,}7-5929=522{,}7$. $r=39/\sqrt{2{,}917\times522{,}7}\approx39/\sqrt{1524}\approx39/39{,}04\approx0{,}999$.
$r\approx0{,}999$ → corrélation quasi-parfaite
3.$a=39/2{,}917\approx13{,}37$. $b=77-13{,}37\times3{,}5\approx30{,}2$.
$\hat{y}=13{,}37x+30{,}2$
4.$\hat{y}(8)=13{,}37\times8+30{,}2\approx137$ milliers de FCFA.
Problème11 points

Problème d'analyse et de géométrie.

Partie A — Équation différentielle
  1. 1Résoudre $(D): y''+4y=0$.
  2. 2Trouver la solution particulière $f$ avec $f(0)=1$ et $f'(0)=4$.
  3. 3Montrer que $f$ est périodique. Période $T$ ? Calculer $f(\pi/4)$ et $f(3\pi/4)$.
Partie B — Étude de $g(x)=x^2-2\ln x$ sur $]0;+\infty[$
  1. 4Limites en 0 et $+\infty$. Tableau de variation.
  2. 5Étudier la branche infinie en $+\infty$.
  3. 6Tracer $(\mathcal{C})$ dans un repère orthonormé.
Partie C — Intégrale
  1. 7Calculer $A=\displaystyle\int_1^e g(x)\,dx$. (On utilisera : $\int\ln x\,dx=x\ln x-x+C$.)
  2. 8Interpréter géométriquement $A$.

Corrigé — Problème

11 points
A-1.Éq. car. : $r^2+4=0$, $r=\pm2i$.
Solution générale : $y=A\cos(2x)+B\sin(2x)$
A-2.$f(0)=A=1$. $f'(0)=2B=4\Rightarrow B=2$.
$f(x)=\cos(2x)+2\sin(2x)$
A-3.$f$ est périodique de période $T=\pi$. $f(\pi/4)=\cos(\pi/2)+2\sin(\pi/2)=2$. $f(3\pi/4)=\cos(3\pi/2)+2\sin(3\pi/2)=-2$.
B-4.$\lim_{x\to0^+}g(x)=0+\infty=+\infty$. $\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$. $g'(x)=2x-2/x=2(x^2-1)/x$. Min en $x=1$: $g(1)=1$. Décroissante sur $]0;1]$, croissante sur $[1;+\infty[$.
B-5.$g(x)/x^2=1-2\ln x/x^2\to1$. Branche parabolique de direction $(Oy)$, au sens de la parabole $y=x^2$.
min (1;1) x y 0

Courbe de g(x)=x²−2ln x sur ]0;+∞[ : décroissante puis croissante, minimum en (1;1), branches infinies en 0⁺ et +∞

C-7.$A=\left[x^3/3\right]_1^e-2\left[x\ln x-x\right]_1^e=(e^3/3-1/3)-2[(e-e)-(0-1)]=(e^3-1)/3-2$.
$A=\dfrac{e^3-7}{3}\approx4{,}36$ u.a.
C-8.$A$ est l'aire entre la courbe $(\mathcal{C})$ et l'axe $(Ox)$ sur $[1;e]$ (car $g(x)\geq1>0$).
4

Sujet Type BAC — N°4

Suites $U_n=3\cdot2^n-1$ (mod 7) · Complexes forme exponentielle · Rotations · Hyperbole

Ex.1 : 5 ptsEx.2 : 4 ptsPb : 11 pts
Suites récurrentes linéairesCongruences mod 7Complexes — forme exponentielleRotations composéesHyperbole — foyers, asymptotes
Ex.1 — 5 pts
Ex.2 — 4 pts
Problème — 11 pts
Exercice 15 points

Suite $(U_n)$ : $U_0=2$, $U_1=5$, $\forall n\in\mathbb{N}: U_{n+2}=3U_{n+1}-2U_n$.

  1. 1Résoudre l'équation caractéristique. Montrer que $U_n=3\cdot2^n-1$.
  2. 2Dresser les restes de $2^n$ modulo 7 pour $n=0,\ldots,5$. Quelle est la période ?
  3. 3En déduire les restes de $U_n=3\cdot2^n-1$ modulo 7 selon $n\bmod3$.
  4. 4Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $7|U_n$.
  5. 5Soit $S_n=U_0+\cdots+U_n$. Calculer $S_n$. Quel est le reste de $S_{41}$ par 7 ?

Corrigé — Exercice 1

5 points
1.Éq. car.: $(r-1)(r-2)=0$. Sol. gén. $U_n=\alpha+\beta2^n$. C.I.: $\alpha+\beta=2$, $\alpha+2\beta=5$ → $\beta=3,\alpha=-1$.
$U_n=3\cdot2^n-1$ ✓
2.$2^0=1,2^1=2,2^2=4,2^3=1\pmod7$. Période = 3.
3.$n\equiv0\pmod3$: $U_n\equiv3\cdot1-1=2\pmod7$. $n\equiv1$: $U_n\equiv6-1=5$. $n\equiv2$: $U_n\equiv12-1=11\equiv4$.
4.Aucun des restes (2,4,5) n'est 0. Donc $7\nmid U_n$ pour tout $n$.
$7$ ne divise jamais $U_n$.
5.$S_n=3(2^{n+1}-1)-(n+1)=6\cdot2^n-n-4$. Pour $n=41$: $2^{41}\bmod7$ : $41=3\times13+2$, $2^{41}\equiv4\pmod7$. $S_{41}\equiv6\times4-41-4=24-45=-21\equiv0\pmod7$.
Reste = 0
Exercice 24 points

Résoudre dans $\mathbb{C}$: $z^2-(1+i\sqrt{3})z+\dfrac{1+i\sqrt3}{2}=0$.

  1. 1Calculer le discriminant $\Delta$.
  2. 2Exprimer $\sqrt{\Delta}$ sous forme exponentielle.
  3. 3Donner $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
  4. 4Vérifier par les relations de Viète.

Corrigé — Exercice 2

4 points
1.$1+i\sqrt3=2e^{i\pi/3}$. $\Delta=(1+i\sqrt3)^2-2(1+i\sqrt3)=(1+i\sqrt3)[(1+i\sqrt3)-2]=(2e^{i\pi/3})(-1+i\sqrt3)=2e^{i\pi/3}\cdot2e^{i2\pi/3}=4e^{i\pi}=-4$.
$\Delta=-4$
2.$\sqrt{\Delta}=\pm2e^{i\pi/2}=\pm2i$.
3.$z=\frac{(1+i\sqrt3)\pm2i}{2}=\frac{2e^{i\pi/3}\pm2i}{2}$. $z_1=e^{i\pi/3}+i=\cos(\pi/3)+i(1+\sin(\pi/3))=\frac{1}{2}+i\frac{2+\sqrt3}{2}$. $z_2=e^{i\pi/3}-i=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3-2}{2}$.
4.$z_1+z_2=1+i\sqrt3$ ✓ (somme des racines = $1+i\sqrt3$). $z_1z_2=\frac{(1+i\sqrt3)}{2}$ ✓ (par Viète).
Problème11 points

ABCD rectangle de sens direct, $AB=4$, $BC=2$, centre $O$.

Partie A — Rotations
  1. 1Montrer qu'il existe une rotation de centre A envoyant D en I (milieu de [AB]). Angle ?
  2. 2Montrer qu'il existe une rotation de centre C envoyant B en J (milieu de [DC]). Angle ?
  3. 3Composer ces deux rotations. Nature et éléments de $f=r_2\circ r_1$.
  4. 4Construire le centre $\Omega$ et donner ses coordonnées.
Partie B — Écriture complexe
  1. 5Repère $(O;\vec{u},\vec{v})$ avec unité = 1. Affixes de $A,B,C,D,I,J$.
  2. 6Écrire les formes complexes de $r_1$, $r_2$ et de leur composée.
Partie C — Hyperbole

$(\mathcal{H})$ = hyperbole de foyers $A$ et $C$, passant par $B$.

  1. 7Calculer $c$, $b$ et $e$. Donner l'équation de $(\mathcal{H})$ dans $(O;\vec{u},\vec{v})$.
  2. 8Déterminer les asymptotes. Montrer que $B$ est sur $(\mathcal{H})$.
  3. 9Construire $(\mathcal{H})$.

Corrigé — Problème

11 points
A-1.Repère $(O;\vec u,\vec v)$, $O$ centre du rectangle : $A=(-2,-1)$, $B=(2,-1)$, $C=(2,1)$, $D=(-2,1)$. $I$ milieu de $[AB]$ : $I=(0,-1)$.
$|AD|=2$ et $|AI|=2$ : ces distances étant égales, il existe bien une rotation de centre $A$ envoyant $D$ sur $I$. $\overrightarrow{AD}=(0,2)$ pointe selon $90°$, $\overrightarrow{AI}=(2,0)$ selon $0°$.
$r_1$ : centre $A$, angle $0°-90°=-90°$, envoie $D\to I$
A-2.$J$ milieu de $[DC]$ : $J=(0,1)$. $|CB|=2$ et $|CJ|=2$ : distances égales, rotation valide. $\overrightarrow{CB}=(0,-2)$ pointe selon $-90°$, $\overrightarrow{CJ}=(-2,0)$ selon $180°$.
$r_2$ : centre $C$, angle $180°-(-90°)=270°\equiv-90°$, envoie $B\to J$
A-3.$r_1$ et $r_2$ ont chacune un angle de $-90°$ ; la somme des angles vaut $-180°\equiv180°\ [360°]$, non nulle : $f=r_2\circ r_1$ n'est pas une translation mais une rotation d'angle $180°$, c'est-à-dire une symétrie centrale.
$f$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$ (à déterminer en A-4)
A-4.En écriture complexe (voir B-6), $f(z)=-z+(-2+4i)$. Le centre $\Omega$ est l'unique point invariant : $z_\Omega=-z_\Omega+(-2+4i)\Rightarrow z_\Omega=-1+2i$.
$\Omega=(-1\,;2)$ — à noter : $\Omega\neq O$, le centre du rectangle n'est pas invariant par $f$
B-5.$z_A=-2-i,\; z_B=2-i,\; z_C=2+i,\; z_D=-2+i,\; z_I=-i,\; z_J=i$.
B-6.$r_1(z)=A-i(z-A)=-iz+A(1+i)$ avec $A(1+i)=(-2-i)(1+i)=-1-3i$ :
$r_1(z)=-iz-1-3i$
$r_2(z)=C-i(z-C)=-iz+C(1+i)$ avec $C(1+i)=(2+i)(1+i)=1+3i$ :
$r_2(z)=-iz+1+3i$
$f(z)=r_2(r_1(z))=-i(-iz-1-3i)+1+3i=-z+(-3+i)+1+3i=-z-2+4i$
$f(z)=-z-2+4i$ (confirme $\Omega=-1+2i$, cf. A-4)
C-7.$c=\dfrac{|AC|}{2}$ avec $|AC|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5$, donc $c=\sqrt5$. Comme $(\mathcal H)$ passe par $B$, $2a=\big||BA|-|BC|\big|$ avec $|BA|=\sqrt{16}=4$ et $|BC|=\sqrt4=2$, donc $2a=2$, $a=1$.
$b^2=c^2-a^2=5-1=4\Rightarrow b=2$. $e=\dfrac{c}{a}=\sqrt5$.
$a=1,\;b=2,\;c=\sqrt5,\;e=\sqrt5$ ; dans le repère propre $(\Omega;\vec X,\vec Y)$ où $\Omega$ est le milieu de $[AC]$ (qui coïncide ici avec $O$) et $\vec X$ porté par $(AC)$ : $X^2-\dfrac{Y^2}{4}=1$
C-8.Asymptotes (dans le repère propre) : $Y=\pm\dfrac{b}{a}X=\pm2X$.
Vérification : $|BA|-|BC|=4-2=2=2a$ ✓, donc $B\in(\mathcal{H})$ par définition même de l'hyperbole.
Asymptotes $Y=\pm2X$ ; $B\in(\mathcal{H})$ ✓
C-9.
Y=2X Y=−2X sommet (1;0) sommet (−1;0) C (foyer) A (foyer) Ω=O

Hyperbole (H) de foyers A, C (excentricité e=√5), sommets à ±1 du centre Ω=O, asymptotes Y=±2X dans le repère propre (Ω;X,Y) porté par (AC)

5

Sujet Type BAC — N°5

Intégrales $J_n=\int_0^{\pi/2}x^n\sin x\,dx$ · Loi binomiale · Similitude · Fonction $f(x)=x-1-\ln x$

Ex.1 : 5 ptsEx.2 : 4 ptsPb : 11 pts
Intégrales par IPPSuites d'intégrales $J_n$Loi binomiale $\mathcal{B}(6,\frac{2}{3})$Similitude directeVariations de $x-1-\ln x$Calcul d'aire
Ex.1 — 5 pts
Ex.2 — 4 pts
Problème — 11 pts
Exercice 15 points

Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on pose $J_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}x^n\sin x\,dx$.

  1. 1Calculer $J_0$ et $J_1$.
  2. 2Par IPP appliquée deux fois, montrer : $J_n=\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{n-1}\cdot n-n(n-1)J_{n-2}$ pour $n\geq2$.
  3. 3Calculer $J_2$ et $J_3$.
  4. 4Montrer que $0\leq J_n\leq\frac{(\pi/2)^{n+1}}{n+1}$. En déduire $\lim_{n\to\infty}\frac{J_n}{(\pi/2)^n}$.

Corrigé — Exercice 1

5 points
1.$J_0=[-\cos x]_0^{\pi/2}=1$. IPP $J_1$: $[{-x\cos x}]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=0+1=1$.
$J_0=J_1=1$
2.1ère IPP: $u=x^n, v'=\sin x$. $J_n=[-x^n\cos x]_0^{\pi/2}+n\int_0^{\pi/2}x^{n-1}\cos x\,dx=0+n\int x^{n-1}\cos x$. 2ème IPP: $\int_0^{\pi/2}x^{n-1}\cos x=[x^{n-1}\sin x]_0^{\pi/2}-(n-1)\int x^{n-2}\sin x=(\pi/2)^{n-1}-(n-1)J_{n-2}$.
$J_n=n[(\pi/2)^{n-1}-(n-1)J_{n-2}]$
3.$J_2=2[\pi/2-J_0]=\pi-2\approx1{,}14$. $J_3=3[(\pi/2)^2-2J_1]=3[\pi^2/4-2]=3\pi^2/4-6\approx1{,}40$.
4.$0\leq\sin x\leq1$ sur $[0,\pi/2]$ → $0\leq J_n\leq\int_0^{\pi/2}x^n\,dx=\frac{(\pi/2)^{n+1}}{n+1}$. Divisé par $(\pi/2)^n$: $0\leq J_n/(\pi/2)^n\leq\frac{\pi/2}{n+1}\to0$.
$\lim J_n/(\pi/2)^n=0$
Exercice 24 points

Pièce truquée avec $P(\text{Face})=\frac{2}{3}$. On la lance 6 fois. $X$ = nombre de Face.

  1. 1Loi de $X$, paramètres.
  2. 2Calculer $P(X=4)$ et $P(X\geq4)$.
  3. 3$E(X)$ et $\sigma(X)$.
  4. 4Lancer jusqu'au premier Face. Soit $Y$ ce rang. $P(Y=k)$ et $E(Y)$.

Corrigé — Exercice 2

4 points
1.$X\sim\mathcal{B}(6,\frac{2}{3})$.
2.$P(X=4)=\binom{6}{4}(\frac{2}{3})^4(\frac{1}{3})^2=15\cdot\frac{16}{81}\cdot\frac{1}{9}=\frac{240}{729}\approx0{,}329$.
$P(X\geq4)\approx0{,}680$
3.$E(X)=6\cdot\frac{2}{3}=4$. $\sigma(X)=\sqrt{6\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}}=\frac{2}{\sqrt3}\approx1{,}15$.
4.$Y\sim\mathcal{G}(\frac{2}{3})$: $P(Y=k)=(\frac{1}{3})^{k-1}\cdot\frac{2}{3}$. $E(Y)=\frac{3}{2}=1{,}5$.
Problème11 points

Triangle $ABC$ isocèle rectangle en $A$ de sens direct, $AB=AC=4$. $I$ milieu de $[BC]$.

Partie A — Similitudes
  1. 1Faire une figure. Construire $D$, image de $A$ par la rotation de centre $B$ d'angle $-90°$.
  2. 2Montrer qu'il existe une similitude directe $S$ envoyant $A\to B$ et $B\to D$.
  3. 3Rapport, angle, centre $\Omega$ de $S$.
  4. 4Calculer $E=S(I)$. Que peut-on en déduire pour le point $I$ ?
Partie B — Complexes
  1. 5Repère $(A;\vec{u},\vec{v})$ avec $\vec{u}=\overrightarrow{AB}/4$. Affixes de $A,B,C,D,I$.
  2. 6Forme complexe de $S$. Affixe de $\Omega$.
Partie C — Fonction $f(x)=x-1-\ln x$
  1. 7Montrer que $f(x)\geq0$ pour tout $x>0$. En déduire $\ln x\leq x-1$.
  2. 8Montrer que $\ln x0$.
  3. 9Calculer $A=\displaystyle\int_1^e f(x)\,dx$ et interpréter.

Corrigé — Problème

11 points
A-1.Repère $(A;\vec u,\vec v)$ : $A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(0,4)$ (triangle direct, rectangle isocèle en $A$). $D$, image de $A$ par la rotation de centre $B$ et d'angle $-90°$ : $z_D=z_B-i(z_A-z_B)=4-i(0-4)=4+4i$, soit $D=(4,4)$.
A B C D I=Ω

Triangle ABC rectangle isocèle en A, carré ABDC (pointillé), I milieu de [BC] = centre du carré

A-2.$S$ envoie $A\to B$ et $B\to D$ ; par la formule à deux points $a=\dfrac{z_D-z_B}{z_B-z_A}=\dfrac{(4+4i)-4}{4-0}=\dfrac{4i}{4}=i$, puis $b=z_B-a\,z_A=4$.
$S:z'=iz+4$
A-3.$|a|=1$ : $S$ est une rotation, de rapport $1$ et d'angle $\arg(i)=90°$. Centre : $z_\Omega=\dfrac{b}{1-a}=\dfrac{4}{1-i}=\dfrac{4(1+i)}{2}=2+2i$, soit $\Omega=(2,2)$ — c'est exactement le point $I$, milieu de $[BC]$ (cohérent avec le fait que, dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit).
$S$ : rotation de centre $\Omega=I=(2,2)$, angle $90°$
A-4.Comme $\Omega=I$ est le point invariant de $S$ (question A-3), on a immédiatement $S(I)=I$.
$E=S(I)=I=(2,2)$ : le point $I$ est le centre (l'unique point invariant) de la similitude $S$
B-5.$z_A=0,\;z_B=4,\;z_C=4i,\;z_D=4+4i,\;z_I=2+2i$.
B-6.D'après A-2 et A-3 :
$S:z'=iz+4$ ; $\Omega=2+2i=(2,2)$
C-7.$f'(x)=1-1/x=(x-1)/x$. $f'>0$ pour $x>1$, $f'<0$ pour $0
C-8.De $\ln x\leq x-10$ ✓.
C-9.$A=\int_1^e(x-1-\ln x)dx=[x^2/2-x-x\ln x+x]_1^e=[x^2/2-x\ln x]_1^e=(e^2/2-e)-1/2=\frac{e^2-1}{2}-e$.
$A=\frac{e^2-1}{2}-e\approx0{,}47$ u.a. = aire entre $(\mathcal{C}_g)$ et $(Ox)$ sur $[1;e]$
6

Sujet Type BAC — N°6

Arithmétique (PGCD) · Statistiques double entrée · Translations · Parabole

Ex.1 : 5 ptsEx.2 : 4 ptsPb : 11 pts
Calcul de PGCDBézoutTableau double entréeCovariance, corrélationTranslation+rotationParabole — paramètre
Ex.1 — 5 pts
Ex.2 — 4 pts
Problème — 11 pts
Exercice 15 points

On pose $a_n=5^n+3\cdot2^n$.

  1. 1Calculer $a_0,a_1,a_2$. Calculer $\pgcd(a_0,a_1)$.
  2. 2Montrer que $b_n=5a_n-9\cdot2^n$ où $b_n=5^{n+1}+3\cdot2^{n+1}$.
  3. 3En déduire que $\pgcd(a_n,b_n)$ divise $9\cdot2^n$.
  4. 4Déterminer $\pgcd(a_1,b_1)$. En déduire si $11$ peut diviser $\pgcd(a_n,b_n)$.
  5. 5Pour $n=2$: résoudre $a_2x+b_2y=\pgcd(a_2,b_2)$ dans $\mathbb{Z}$.

Corrigé — Exercice 1

5 points
1.$a_0=5^0+3\cdot2^0=1+3=4$ ; $a_1=5+6=11$ ; $a_2=25+12=37$. Euclide sur $(11,4)$ : $11=2\times4+3$ ; $4=1\times3+1$ ; $3=3\times1+0$.
$a_0=4,\ a_1=11,\ a_2=37$ ; $\pgcd(a_0,a_1)=1$
2.$5a_n=5^{n+1}+15\cdot2^n$, donc $5a_n-9\cdot2^n=5^{n+1}+6\cdot2^n=5^{n+1}+3\cdot2^{n+1}=b_n$.
$b_n=5a_n-9\cdot2^n$
3.Si $d=\pgcd(a_n,b_n)$, $d$ divise $a_n$ et $b_n$ donc toute combinaison entière, en particulier $5a_n-b_n=9\cdot2^n$.
$\pgcd(a_n,b_n)$ divise $9\cdot2^n$
4.$b_1=5^2+3\cdot2^2=37$. Euclide$(37,11)$ : $37=3\times11+4$ ; $11=2\times4+3$ ; $4=1\times3+1$ ; $3=3\times1+0$ : $\pgcd(a_1,b_1)=1$.
Pour $n\geq1$, $a_n$ est impair (somme d'un impair $5^n$ et d'un pair $3\cdot2^n$), donc $\pgcd(a_n,2^n)=1$ ; d'après 3., $\pgcd(a_n,b_n)$ divise donc $9$. Comme $11\nmid9$, $11$ ne peut jamais diviser $\pgcd(a_n,b_n)$.
$\pgcd(a_1,b_1)=1$ ; $11$ ne divise jamais $\pgcd(a_n,b_n)$
5.$a_2=37$, $b_2=5^3+3\cdot2^3=149$. Euclide : $149=4\times37+1\Rightarrow\pgcd(a_2,b_2)=1$. Remontée : $1=149-4\times37$, solution particulière $(x_0,y_0)=(-4,1)$.
$S=\{(-4+149k\,;\,1-37k)\ :\ k\in\mathbb{Z}\}$
Exercice 24 points
Y\X123Total
22316
41539
60235
Tot.310720
  1. 1Calculer $\bar{X}$ et $\bar{Y}$.
  2. 2Calculer $V(X)$ et $V(Y)$.
  3. 3Calculer Cov$(X,Y)$ et $r$.
  4. 4Droite de régression de $Y$ en $X$.

Corrigé — Exercice 2

4 points
1.Totaux colonnes ($X$) : $3,10,7$ ; totaux lignes ($Y$) : $6,9,5$ (somme $N=20$).
$\sum x_i=1\times3+2\times10+3\times7=44\Rightarrow\bar X=2{,}2$. $\sum y_i=2\times6+4\times9+6\times5=78\Rightarrow\bar Y=3{,}9$.
$\bar X=2{,}2\ ;\ \bar Y=3{,}9$
2.$\sum x_i^2=1\times3+4\times10+9\times7=106\Rightarrow V(X)=\dfrac{106}{20}-2{,}2^2=5{,}3-4{,}84=0{,}46$.
$\sum y_i^2=4\times6+16\times9+36\times5=348\Rightarrow V(Y)=\dfrac{348}{20}-3{,}9^2=17{,}4-15{,}21=2{,}19$.
$V(X)=0{,}46\ ;\ V(Y)=2{,}19$
3.Somme des $x_iy_i$ (effectif$\times x\times y$, case par case) : $(1;2){:}4$, $(2;2){:}12$, $(3;2){:}6$, $(1;4){:}4$, $(2;4){:}40$, $(3;4){:}36$, $(1;6){:}0$, $(2;6){:}24$, $(3;6){:}54$ ; total $=180$.
Cov$(X,Y)=\dfrac{180}{20}-2{,}2\times3{,}9=9-8{,}58=0{,}42$. $r=\dfrac{0{,}42}{\sqrt{0{,}46\times2{,}19}}\approx0{,}418$.
Cov$(X,Y)=0{,}42\ ;\ r\approx0{,}418$ (corrélation positive modérée)
4.$a=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}=\dfrac{0{,}42}{0{,}46}\approx0{,}913$ ; $b=\bar Y-a\bar X\approx3{,}9-0{,}913\times2{,}2\approx1{,}891$.
$\hat y\approx0{,}913x+1{,}891$
Problème11 points
Partie A — Translations et rotations

ABCD carré sens direct, côté 4, centre O.

  1. 1$T_1=$ translation $\overrightarrow{AB}$, $T_2=$ translation $\overrightarrow{BC}$. Nature de $T_2\circ T_1$ ?
  2. 2$r$ = rotation centre $O$ angle $90°$. Montrer que $T_1\circ r$ est une rotation. Centre et angle ?
  3. 3Similitude $S$ envoyant $A\to C$ et $B\to D$. Rapport, angle, centre ?
Partie B — Complexes
  1. 4Affixes de $A,B,C,D$ dans le repère $(O;\vec{u},\vec{v})$ avec unité = 2.
  2. 5Forme complexe de $S$.
Partie C — Parabole

$(\mathcal{P})$ : foyer $B=(2,0)$, directrice $x=-2$.

  1. 6Équation de $(\mathcal{P})$. Montrer que $C=(2,4)$ est sur $(\mathcal{P})$.
  2. 7Construire l'arc de $(\mathcal{P})$ passant par $C$ et le symétrique $C'$ de $C$ par rapport à l'axe.
  3. 8Calculer l'aire entre $(\mathcal{P})$ et la droite $y=4$.

Corrigé — Problème

11 points
Partie A
1.Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
$T_2\circ T_1$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$
2.Le carré étant de sens direct, la rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $90°$ vérifie $r(D)=A$. Comme $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, $T_1(D)=D+\overrightarrow{AB}=D+\overrightarrow{DC}=C$, donc $(T_1\circ r)(C)=T_1(r(C))=T_1(D)=C$ : le point $C$ est invariant. La composée d'une rotation d'angle $90°$ et d'une translation étant une rotation de même angle, et possédant un point fixe $C$, c'est la rotation de centre $C$.
$T_1\circ r$ est la rotation de centre $C$, angle $90°$
3.$O$ étant le milieu des diagonales $[AC]$ et $[BD]$, la symétrie centrale de centre $O$ envoie $A\to C$ et $B\to D$. Il n'existe qu'une seule similitude directe envoyant ces deux couples de points, donc $S$ est cette symétrie centrale.
$S$ : rapport $1$, angle $180°$, centre $O$
Partie B
4.Repère $(O;\vec u,\vec v)$, unité $2$, carré de côté $4$ : $A=(-1,-1),B=(1,-1),C=(1,1),D=(-1,1)$.
$z_A=-1-i,\ z_B=1-i,\ z_C=1+i,\ z_D=-1+i$
5.$S(A)=C,S(B)=D$ : $a=\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}=\dfrac{-2}{2}=-1$, $b=z_C-a\,z_A=(1+i)-(1+i)=0$.
$S:z'=-z$ (symétrie centrale de centre $O$, cohérent avec A-3)
Partie C — Parabole
6.Foyer $B=(2,0)$, directrice $x=-2$ : distance foyer-directrice $=4$, sommet $\Omega=(0,0)$, axe horizontal ouvert vers $+x$.
Équation : $y^2=8x$. Vérification pour $C=(2,4)$ : $4^2=16$ et $8\times2=16$ : égalité vérifiée.
$(\mathcal P):y^2=8x$ ; $C\in(\mathcal P)$
7.L'axe de $(\mathcal P)$ est $(Ox)$ ; le symétrique de $C(2,4)$ par rapport à cet axe est $C'(2,-4)$ (on vérifie $(-4)^2=16=8\times2$ : $C'\in(\mathcal P)$).
x=−2 Ω(0;0) B(2;0) C(2;4) C'(2;−4)

Arc de (P): y²=8x entre C(2;4) et C'(2;−4), foyer B(2;0), directrice x=−2

8.Sur $(\mathcal P)$, $x(y)=\dfrac{y^2}{8}$. Aire entre $(\mathcal P)$ et $y=4$ : $\displaystyle\mathcal A=\int_0^4\dfrac{y^2}{8}\,dy=\left[\dfrac{y^3}{24}\right]_0^4=\dfrac{64}{24}=\dfrac83$.
Aire $=\dfrac83\ \text{u}^2\approx2{,}67\ \text{u}^2$
7

Sujet Type BAC — N°7

Complexes (bicarrée) · Suites $K_n=\int_0^1\frac{t^n}{1+t}\,dt$ · Rotations · Ellipse

Ex.1 : 5 ptsEx.2 : 4 ptsPb : 11 pts
Équation bicarrée dans $\mathbb{C}$Discriminant complexeSuites $K_n$Relation $K_n+K_{n+1}=1/(n+1)$Rotations composéesEllipse
Ex.1 — 5 pts
Ex.2 — 4 pts
Problème — 11 pts
Exercice 15 points

Résoudre dans $\mathbb{C}$: $Z^4-(\sqrt{3}+1)Z^2+\sqrt{3}=0$ (admet des solutions réelles).

  1. 1Poser $W=Z^2$. Montrer que $W^2-(\sqrt3+1)W+\sqrt3=0$.
  2. 2Résoudre ce trinôme. En déduire les 4 solutions de l'équation.
  3. 3Forme exponentielle de chaque solution.
  4. 4Placer les images. Figure formée ?

Corrigé — Exercice 1

5 points
1.Avec $W=Z^2$, $Z^4=(Z^2)^2=W^2$, donc l'équation devient directement $W^2-(\sqrt3+1)W+\sqrt3=0$.
2.Somme des racines $=\sqrt3+1$, produit $=\sqrt3$ : les racines évidentes $W=1$ et $W=\sqrt3$ conviennent ($1+\sqrt3=\sqrt3+1$ ✓, $1\times\sqrt3=\sqrt3$ ✓).
$Z^2=1\Rightarrow Z=\pm1$ ; $Z^2=\sqrt3\Rightarrow Z=\pm3^{1/4}$ (racine quatrième réelle positive).
$Z\in\{1,-1,3^{1/4},-3^{1/4}\}$ : quatre solutions réelles
3.Toutes les solutions étant réelles, leurs formes exponentielles ont un argument $0$ ou $\pi$ :
$1=e^{i0}$, $-1=e^{i\pi}$, $3^{1/4}=3^{1/4}e^{i0}$, $-3^{1/4}=3^{1/4}e^{i\pi}$
4.Les 4 images sont sur l'axe réel, symétriques deux à deux par rapport à $O$.
−3¹ᐟ⁴ −1 1 3¹ᐟ⁴ O

4 points réels alignés sur (Ox), deux à deux symétriques par rapport à O

Exercice 24 points

Pour $n\geq0$: $K_n=\displaystyle\int_0^1\frac{t^n}{1+t}\,dt$.

  1. 1Calculer $K_0$. Montrer que $K_0+K_1=1$.
  2. 2Établir la relation $K_n+K_{n+1}=\frac{1}{n+1}$.
  3. 3Montrer $\frac{1}{2(n+1)}\leq K_n\leq\frac{1}{n+1}$. En déduire $\lim K_n$.
  4. 4Montrer que $\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\ln2-(-1)^nK_n$.

Corrigé — Exercice 2

4 points
1.$K_0=\int_0^1\frac{dt}{1+t}=[\ln(1+t)]_0^1=\ln2$. $K_1=\int_0^1\left(1-\frac1{1+t}\right)dt=1-\ln2$.
$K_0=\ln2$ ; $K_0+K_1=\ln2+1-\ln2=1$
2.$K_n+K_{n+1}=\int_0^1\frac{t^n+t^{n+1}}{1+t}dt=\int_0^1\frac{t^n(1+t)}{1+t}dt=\int_0^1t^n\,dt$.
$K_n+K_{n+1}=\dfrac1{n+1}$
3.Sur $[0,1]$, $\frac12\leq\frac1{1+t}\leq1$ ; en multipliant par $t^n\geq0$ et en intégrant : $$\frac12\int_0^1t^n\,dt\leq K_n\leq\int_0^1t^n\,dt \quad\Rightarrow\quad \frac1{2(n+1)}\leq K_n\leq\frac1{n+1}$$
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}K_n=0$ (théorème des gendarmes)
4.Pour $t\in[0,1]$ et $n\geq1$, la somme géométrique finie de raison $-t$ donne $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-t)^k=\frac{1-(-t)^n}{1+t}$, donc $\dfrac1{1+t}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kt^k+\frac{(-1)^nt^n}{1+t}$.
En intégrant sur $[0,1]$ : $$\ln2=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\int_0^1t^k\,dt+(-1)^n\int_0^1\frac{t^n}{1+t}dt=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k+1}+(-1)^nK_n$$ En posant $j=k+1$ (donc $j$ va de $1$ à $n$) : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k+1}=\sum_{j=1}^n\frac{(-1)^{j-1}}{j}=\sum_{j=1}^n\frac{(-1)^{j+1}}{j}$.
$\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\ln2-(-1)^nK_n$
Vérification pour $n=1$ : $1=\ln2-(-1)K_1=\ln2+(1-\ln2)=1$ ✓.
Problème11 points
Partie A

ABCD carré de côté 6, centre O. $E$ milieu de $[AB]$, $F$ milieu de $[BC]$.

  1. 1Rotation $r_1$ de centre $A$ envoyant $B$ en $D$. Angle ?
  2. 2Rotation $r_2$ de centre $C$ envoyant $D$ en $B$. Angle ?
  3. 3$r_2\circ r_1$ : rotation. Angle et centre $\Omega$.
  4. 4Similitude directe $S$ envoyant $E\to B$ et $F\to C$.
Partie B
  1. 5Affixes de $A,B,C,D,E,F$ dans $(O;\vec{u},\vec{v})$ (unité=3).
  2. 6Formes complexes de $r_1$, $r_2$, $S$.
Partie C — Ellipse

$(\mathcal{E})$ de foyers $A$ et $C$, passant par $B$.

  1. 7$2a'=|BA|+|BC|$. Calculer $a',c,b',e$.
  2. 8Construire $(\mathcal{E})$.
  3. 9Équation de $(\mathcal{E})$ dans le repère propre. Aire de l'ellipse.

Corrigé — Problème

11 points
Partie A

Pour les calculs, on utilise provisoirement le repère $(A;\vec u,\vec v)$ : $A=(0,0),B=(6,0),C=(6,6),D=(0,6)$, $E=(3,0)$, $F=(6,3)$.

1.$|AB|=|AD|=6$ : rotation valide. $\overrightarrow{AB}=(6,0)$ (dir. $0°$), $\overrightarrow{AD}=(0,6)$ (dir. $90°$).
$r_1$ : centre $A$, angle $90°$, envoie $B\to D$
2.$|CD|=|CB|=6$ : rotation valide. $\overrightarrow{CD}=(-6,0)$ (dir. $180°$), $\overrightarrow{CB}=(0,-6)$ (dir. $-90°$), soit un angle de $-90°-180°=-270°\equiv90°$.
$r_2$ : centre $C$, angle $90°$, envoie $D\to B$
3.$r_1$ et $r_2$ ont chacune un angle de $90°$ ; leur somme $180°$ étant non nulle, $f=r_2\circ r_1$ est une rotation d'angle $180°$ (symétrie centrale). En écriture complexe (voir B-6, transposée ici en repère $(A;u,v)$) : $r_1(z)=iz$, $r_2(z)=iz+12$ (car $C(1-i)=12$ dans ce repère), donc $f(z)=i(iz)+12=-z+12$, de point fixe $z=6$.
$f$ : symétrie centrale de centre $\Omega=B=(6,0)$
4.$a=\dfrac{z_C-z_B}{z_F-z_E}=\dfrac{6i}{3+3i}=\dfrac{2i}{1+i}=1+i$. $b=z_B-a\,z_E=6-(1+i)\times3=3-3i$.
$S$ : rapport $|1+i|=\sqrt2$, angle $45°$, centre $z_\Omega=\frac{b}{1-a}=\frac{3-3i}{-i}=3+3i$, soit le centre $O=(3,3)$ du carré
Partie B
5.Repère $(O;\vec u,\vec v)$, unité $3$ ($O$ = centre du carré) :
$z_A=-1-i,\ z_B=1-i,\ z_C=1+i,\ z_D=-1+i,\ z_E=-i,\ z_F=1$
6.$r_1(z)=z_A+i(z-z_A)=iz+z_A(1-i)=iz-2$ (car $z_A(1-i)=(-1-i)(1-i)=-2$). $r_2(z)=z_C+i(z-z_C)=iz+z_C(1-i)=iz+2$. $S(z)=(1+i)z$ (le centre $O$ étant l'origine de ce repère, $b=0$ ici).
$r_1(z)=iz-2\ ;\ r_2(z)=iz+2\ ;\ S(z)=(1+i)z$
Partie C — Ellipse
7.$|BA|=6$, $|BC|=6$ (côtés du carré) : $2a'=12\Rightarrow a'=6$. $c=\dfrac{|AC|}2=\dfrac{6\sqrt2}2=3\sqrt2$. $b'^2=36-18=18\Rightarrow b'=3\sqrt2$. $e=\dfrac{c}{a'}=\dfrac{\sqrt2}2$.
$a'=6,\ c=3\sqrt2,\ b'=3\sqrt2,\ e=\frac{\sqrt2}2$
8.Le centre de $(\mathcal E)$ est le milieu de $[AC]$, qui coïncide avec $O$, centre du carré.
O A (foyer) C (foyer) B

Ellipse (E) de foyers A, C, passant par B — axe focal porté par la diagonale (AC) du carré

9.Dans le repère propre $(\Omega;\vec X,\vec Y)$ ($\Omega$ = milieu de $[AC]=O$, $\vec X$ porté par $(AC)$) :
$\dfrac{X^2}{36}+\dfrac{Y^2}{18}=1$ ; aire $=\pi a'b'=18\pi\sqrt2\approx79{,}9\ \text{u}^2$
8

Sujet Type BAC — N°8

Suites $U_n=3^n-1$ (mod 7) · V.A. continue de densité $ax^2(1-x)$ · Éq. diff. · Fonctions

Ex.1 : 5 ptsEx.2 : 4 ptsPb : 11 pts
Suite récurrenteCongruences mod 7Variable aléatoire continueDensité polynomialeÉquation diff. $y''+2y'+y=0$Étude de $xe^{-x}$
Ex.1 — 5 pts
Ex.2 — 4 pts
Problème — 11 pts
Exercice 15 points

Suite : $U_0=0$, $U_1=2$, $U_{n+2}=4U_{n+1}-3U_n$.

  1. 1Résoudre l'éq. car. Montrer $U_n=3^n-1$.
  2. 2Restes de $3^n$ modulo 7 pour $n=0,\ldots,5$. Période ?
  3. 3Restes de $U_n$ modulo 7 selon $n\bmod6$.
  4. 4Valeurs de $n$ telles que $7|U_n$.
  5. 5$V_n=\sum_{k=0}^nU_k$. Calculer $V_n$. Reste de $V_{41}$ par 7 ?

Corrigé — Exercice 1

5 points
1.Équation caractéristique : $r^2-4r+3=0\Rightarrow(r-1)(r-3)=0$. Solution générale : $U_n=\alpha+\beta\cdot3^n$. $U_0=\alpha+\beta=0$, $U_1=\alpha+3\beta=2\Rightarrow\beta=1,\alpha=-1$.
$U_n=3^n-1$
2.
n0123456
$3^n\bmod7$1326451
Période $6$ (car $3^6\equiv1\pmod7$, Fermat)
3.
$n\bmod6$012345
$U_n\bmod7$021534
4.D'après le tableau, $7\mid U_n\iff n\equiv0\pmod6$.
$7\mid U_n\iff n=6k,\ k\in\mathbb{N}$
5.$V_n=\sum_{k=0}^n(3^k-1)=\dfrac{3^{n+1}-1}{2}-(n+1)$.
$V_n=\dfrac{3^{n+1}-1}{2}-(n+1)$
$V_{41}$ comporte $42=6\times7$ termes, soit $7$ périodes complètes de restes $(0,2,1,5,3,4)$, de somme $15\equiv1\pmod7$ ; donc $V_{41}\equiv7\times1\equiv0\pmod7$.
Reste de $V_{41}$ par 7 = 0
Exercice 24 points

$X$ de densité $f(x)=ax^2(1-x)$ sur $[0,1]$, 0 ailleurs.

  1. 1Déterminer $a$.
  2. 2Calculer $E(X)$, $V(X)$, $\sigma(X)$.
  3. 3Calculer $P(X\leq\frac{1}{2})$.
  4. 4Médiane $m$ de $X$.

Corrigé — Exercice 2

4 points
1.$\int_0^1(x^2-x^3)dx=\frac13-\frac14=\frac1{12}$, donc $a\times\frac1{12}=1$.
$a=12$
2.$E(X)=12\int_0^1(x^3-x^4)dx=12(\frac14-\frac15)=\frac35$. $E(X^2)=12\int_0^1(x^4-x^5)dx=12(\frac15-\frac16)=\frac25$. $V(X)=\frac25-\frac9{25}=\frac1{25}$.
$E(X)=0{,}6\ ;\ V(X)=\frac1{25}\ ;\ \sigma(X)=0{,}2$
3.$P(X\leq\frac12)=12\left[\frac{x^3}3-\frac{x^4}4\right]_0^{1/2}=12\left(\frac1{24}-\frac1{64}\right)=\frac{60}{192}$.
$P(X\leq\frac12)=\frac5{16}=0{,}3125$
4.$F(x)=4x^3-3x^4$. $F(0{,}6)\approx0{,}475$, $F(0{,}65)\approx0{,}563$ : $m$ est encadrée par $0{,}6$ et $0{,}65$. En resserrant, $F(0{,}61)\approx0{,}493$ et $F(0{,}62)\approx0{,}510$.
$m\approx0{,}61$ (résolution numérique, pas de solution exacte simple)
Problème11 points
Partie A — Équation différentielle
  1. 1Résoudre $y''+2y'+y=0$.
  2. 2Solution particulière $h$ avec $h(0)=1$, $h'(0)=0$.
  3. 3Montrer que $h(x)>0$ pour $x\geq0$ et $\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$.
Partie B — Étude de $g(x)=xe^{-x}$
  1. 4Tableau de variations. Branches infinies.
  2. 5Tracer $(\mathcal{C}_g)$.
Partie C — Intégrale
  1. 6Calculer $I=\int_0^a xe^{-x}\,dx$ par IPP. Déduire $\int_0^{+\infty}xe^{-x}\,dx$.
  2. 7Aire entre $(\mathcal{C}_g)$, $(Ox)$ et $x=2$.
  3. 8Point d'inflexion de $(\mathcal{C}_g)$. Tangente en ce point.

Corrigé — Problème

11 points
Partie A
1.Éq. caractéristique $r^2+2r+1=(r+1)^2=0$, racine double $r=-1$.
$y(x)=(Ax+B)e^{-x}$
2.$h(0)=B=1$. $h'(x)=e^{-x}(A-Ax-B)$, $h'(0)=A-B=0\Rightarrow A=1$.
$h(x)=(x+1)e^{-x}$
3.Pour $x\geq0$ : $x+1\geq1>0$ et $e^{-x}>0$, donc $h(x)>0$. $\lim_{+\infty}(x+1)e^{-x}=0$ par croissance comparée.
$h(x)>0$ sur $[0;+\infty[$ ; $\lim_{+\infty}h=0$
Partie B
4.$g'(x)=(1-x)e^{-x}$, du signe de $(1-x)$.
x−∞1+∞
g'(x)+0−
g(x)−∞↗$e^{-1}$↘0
En $-\infty$ : $g(x)/x=e^{-x}\to+\infty$, branche parabolique de direction $(Oy)$. En $+\infty$ : asymptote $y=0$.
5.
y=0 Max (1;e⁻¹) I (2;2e⁻²)

Courbe de g(x)=xe⁻ˣ : maximum en (1;e⁻¹), point d'inflexion I(2;2e⁻²) et sa tangente, asymptote y=0

Partie C
6.IPP $u=x,v'=e^{-x}$ : $I=\int_0^ax e^{-x}dx=[-xe^{-x}]_0^a+\int_0^ae^{-x}dx=1-(a+1)e^{-a}$.
$I(a)=1-(a+1)e^{-a}$ ; $\displaystyle\int_0^{+\infty}xe^{-x}dx=1$
7.Sur $[0,2]$, $g\geq0$, aire $=I(2)=1-3e^{-2}$.
Aire $\approx0{,}594$ u.a.
8.$g''(x)=(x-2)e^{-x}$, s'annule et change de signe en $x=2$ : inflexion. $g(2)=2e^{-2}$, $g'(2)=-e^{-2}$.
Inflexion $(2;2e^{-2})$ ; tangente $y=e^{-2}(4-x)$
9

Sujet Type BAC — N°9

Racines cubiques de $-i$ · Régression (données 5 élèves) · Homothéties · Hyperbole

Ex.1 : 5 ptsEx.2 : 4 ptsPb : 11 pts
Racines $n$-ièmes dans $\mathbb{C}$Racines de $z^3=-i$Régression $\hat{y}=ax+b$$r\approx0{,}99$Homothéties composéesHyperbole $e=\sqrt2$
Ex.1 — 5 pts
Ex.2 — 4 pts
Problème — 11 pts
Exercice 15 points

On considère $\omega=e^{i2\pi/3}$.

  1. 1Vérifier $\omega^3=1$ et $1+\omega+\omega^2=0$.
  2. 2Résoudre $z^3=8$. Forme exponentielle.
  3. 3Résoudre $z^3=-i$. Forme exponentielle.
  4. 4Placer les 3 images. Figure formée ?
  5. 5Résoudre $z^6+iz^3-1+i=0$ (poser $W=z^3$).

Corrigé — Exercice 1

5 points
1.$\omega^3=e^{i2\pi}=1$. Comme $\omega\neq1$ vérifie $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)=0$, on a $\omega^2+\omega+1=0$.
$\omega^3=1$ ; $1+\omega+\omega^2=0$
2.$z^3=8=8e^{i0}$ : $z_k=2e^{i2k\pi/3}$, $k=0,1,2$.
$z_0=2,\ z_1=-1+i\sqrt3,\ z_2=-1-i\sqrt3$
3.$z^3=-i=e^{-i\pi/2}$ : $z_k=e^{i(-\pi/6+2k\pi/3)}$, $k=0,1,2$.
$z_0=e^{-i\pi/6}=\frac{\sqrt3}2-\frac i2,\ z_1=e^{i\pi/2}=i,\ z_2=e^{-i5\pi/6}=-\frac{\sqrt3}2-\frac i2$
4.Les trois images sont à distance $1$ de $O$ et leurs arguments sont espacés de $\frac{2\pi}3$ : elles forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.
z₀ z₁=i z₂

Racines cubiques de −i : triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité

5.$W=z^3$ : $W^2+iW-1+i=0$. $\Delta=i^2-4(-1+i)=3-4i=(2-i)^2$, $\sqrt\Delta=2-i$. $$W=\frac{-i\pm(2-i)}2 \Rightarrow W_1=1-i,\ W_2=-1$$ Cas $z^3=-1=e^{i\pi}$ : $z=e^{i\pi/3},-1,e^{-i\pi/3}$.
Cas $z^3=1-i=\sqrt2e^{-i\pi/4}$ : $z=2^{1/6}e^{i(-\pi/12+2k\pi/3)}$, $k=0,1,2$.
$S=\{-1,\,e^{i\pi/3},\,e^{-i\pi/3},\,2^{1/6}e^{-i\pi/12},\,2^{1/6}e^{i7\pi/12},\,2^{1/6}e^{-i3\pi/4}\}$
Exercice 24 points
ÉlèveABCDE
$x_i$ (épr.1)810121416
$y_i$ (épr.2)59111317
  1. 1$\bar{x}$ et $\bar{y}$.
  2. 2Cov$(x,y)$, $V(x)$, $r$. Conclure.
  3. 3Droite de régression. La tracer.
  4. 4Estimer $y$ pour $x=15$.

Corrigé — Exercice 2

4 points
1.$\bar x=\frac{8+10+12+14+16}5=12$ ; $\bar y=\frac{5+9+11+13+17}5=11$.
$\bar x=12,\ \bar y=11$
2.$\sum x_iy_i=40+90+132+182+272=716\Rightarrow$Cov$=\frac{716}5-132=11{,}2$. $\sum x_i^2=760\Rightarrow V(x)=152-144=8$. $\sum y_i^2=685\Rightarrow V(y)=137-121=16$. $r=\frac{11{,}2}{\sqrt{128}}\approx0{,}990$.
Cov$=11{,}2\ ;\ r\approx0{,}990$ : corrélation linéaire très forte
3.$a=\frac{11{,}2}8=1{,}4$ ; $b=11-1{,}4\times12=-5{,}8$.
$\hat y=1{,}4x-5{,}8$

Nuage de points et droite de régression ŷ=1,4x−5,8 (r≈0,990)

4.$\hat y(15)=1{,}4\times15-5{,}8=15{,}2$.
$\hat y(15)=15{,}2$
Problème11 points
Partie A — Homothéties

ABCD carré de côté 6, centre O.

  1. 1$h_1$ : homothétie centre $A$, rapport $3/2$. Construire $h_1(B)$ et $h_1(O)$.
  2. 2$h_2$ : homothétie centre $C$, rapport $-1/2$. Construire $h_2(B)$ et $h_2(O)$.
  3. 3$h_2\circ h_1$ : homothétie. Centre et rapport.
  4. 4Similitude directe $S$ envoyant $B\to I$ et $D\to J$ ($I$,$J$ milieux de $[AB]$,$[CD]$).
Partie B — Complexes
  1. 5Affixes de $A,B,C,D,I,J$ dans $(O;\vec{u},\vec{v})$ (unité=3).
  2. 6Formes complexes de $h_1$, $h_2$, $h_2\circ h_1$.
Partie C — Hyperbole

$(\mathcal{H})$ : foyers $B$ et $D$, $a=3$.

  1. 7Calculer $c$, $b$, $e$. Équation de $(\mathcal{H})$ dans le repère propre.
  2. 8Asymptotes. Montrer que $A$ appartient à l'axe non focal de $(\mathcal{H})$, à la distance $c$ du centre.
  3. 9Construire $(\mathcal{H})$.

Corrigé — Problème

11 points
Partie A — Homothéties

Repère $(O;\vec u,\vec v)$, $O$ centre du carré, $A(-3,-3),B(3,-3),C(3,3),D(-3,3)$ (côté 6).

1.$h_1(M)=A+\frac32(M-A)$. $h_1(B)=(-3,-3)+\frac32(6,0)=(6,-3)$. $h_1(O)=(-3,-3)+\frac32(3,3)=(1{,}5;1{,}5)$.
$h_1(B)=(6;-3)$ ; $h_1(O)=(1{,}5;1{,}5)$
2.$h_2(M)=C-\frac12(M-C)$. $h_2(B)=(3,3)-\frac12(0,-6)=(3,6)$. $h_2(O)=(3,3)-\frac12(-3,-3)=(4{,}5;4{,}5)$.
$h_2(B)=(3;6)$ ; $h_2(O)=(4{,}5;4{,}5)$
3.Composée de rapports $k_1=\frac32,k_2=-\frac12$ avec $k_1k_2=-\frac34\neq1$ : c'est une homothétie de rapport $-\frac34$. Son centre $\Omega$ est sur $(AC)$ (les deux homothéties, centrées sur cette droite, la conservent globalement) ; en paramétrant $M_t=A+t\overrightarrow{AC}$, $h_2\circ h_1: t\mapsto\frac32-\frac34t$, de point fixe $t^*=\frac67$.
$h_2\circ h_1$ : rapport $-\frac34$, centre $\Omega\left(\frac{15}7;\frac{15}7\right)$ sur $(AC)$
4.Repère complexe (voir B-5) : $z_B=1-i,z_D=-1+i,z_I=-i,z_J=i$. $S:z'=az+b$ avec $S(B)=I,S(D)=J$ : $a=\frac{z_J-z_I}{z_D-z_B}=\frac{2i}{-2+2i}=\frac{1-i}2$, $b=0$.
$S$ : centre $O$, rapport $\frac{\sqrt2}2$, angle $-45°$
Partie B
5.Unité $=3$ :
$z_A=-1-i,\ z_B=1-i,\ z_C=1+i,\ z_D=-1+i,\ z_I=-i,\ z_J=i$
6.$h_1(z)=\frac32z+\frac{1+i}2$ ; $h_2(z)=-\frac12z+\frac{3+3i}2$ ; $h_2\circ h_1(z)=-\frac34z+\frac{5+5i}4$.
$h_1(z)=\frac32z+\frac{1+i}2\ ;\ h_2(z)=-\frac12z+\frac{3+3i}2\ ;\ (h_2\circ h_1)(z)=-\frac34z+\frac{5+5i}4$
Partie C — Hyperbole
7.$c=\frac{BD}2$. $B(3,-3),D(-3,3)$ (unité 1) : $BD=6\sqrt2$, $c=3\sqrt2$. Avec $a=3$ : $b^2=18-9=9$, $b=3$, $e=\sqrt2$.
$c=3\sqrt2,\ b=3,\ e=\sqrt2$ ; équation propre : $X^2-Y^2=9$
8.$a=b=3$ : hyperbole équilatère, asymptotes $Y=\pm X$ (parallèles aux côtés du carré). $AB=AD=6$ donc $|AB-AD|=0\neq2a$ : $A\notin(\mathcal H)$ (un sommet est toujours équidistant des deux sommets de la diagonale opposée). En revanche $O,A,C$ sont alignés sur la médiatrice de $[BD]$ — l'axe non focal — avec $OA=OC=3\sqrt2=c$.
Asymptotes $Y=\pm X$ ; $A$ est sur l'axe non focal, à distance $c=3\sqrt2$ du centre
9.
O A C B (foyer) D (foyer)

Hyperbole équilatère (H) de foyers B,D — asymptotes parallèles aux côtés du carré ABCD (pointillé)

10

Sujet Type BAC — N°10

Arithmétique (inverse mod 17) · Intégrales $L_n=\int_1^e(\ln t)^n\,dt$ · Similitudes · $\ln(x^2+1)$

Ex.1 : 5 ptsEx.2 : 4 ptsPb : 11 pts
Inverse modulaireEuclide étenduSuites $L_n=(\ln t)^n$ intégréesRelation $L_n=e-nL_{n-1}$Similitudes composéesÉtude de $f(x)=\ln(x^2+1)$Intégrale IPP
Ex.1 — 5 pts
Ex.2 — 4 pts
Problème — 11 pts
Exercice 15 points

Équation $(E): 23x\equiv1\pmod{17}$.

  1. 1$\pgcd(23,17)=1$ par Euclide. Identité de Bézout.
  2. 2Inverse de 23 modulo 17. Résoudre $(E)$.
  3. 3Résoudre $23x-17y=1$ dans $\mathbb{Z}^2$.
  4. 4Résoudre $23x\equiv5\pmod{17}$.
  5. 5Solution dans $\{0,\ldots,16\}$.

Corrigé — Exercice 1

5 points
1.Euclide : $23=1\times17+6$ ; $17=2\times6+5$ ; $6=1\times5+1$ ; $5=5\times1+0$ : $\pgcd=1$. Remontée : $1=6-5=6-(17-2\times6)=3\times6-17=3(23-17)-17=3\times23-4\times17$.
$23\times3-17\times4=1$
2.D'après 1., $23\times3\equiv1\pmod{17}$ : l'inverse de 23 est $3$. $(E)\Leftrightarrow x\equiv3\pmod{17}$.
Inverse $=3$ ; $x\equiv3\pmod{17}$
3.Solution particulière $(x_0,y_0)=(3,4)$.
$x=3+17k,\ y=4+23k,\ k\in\mathbb{Z}$
4.En multipliant par l'inverse 3 : $x\equiv3\times5=15\pmod{17}$.
$x\equiv15\pmod{17}$
5.
$x=3$
Exercice 24 points

$L_n=\displaystyle\int_1^e(\ln t)^n\,dt$.

  1. 1Calculer $L_0$ et $L_1$.
  2. 2IPP : établir $L_n=e-nL_{n-1}$.
  3. 3Calculer $L_2$ et $L_3$.
  4. 4Montrer $L_n>0$ et $L_n\leq\frac{e}{n+1}$. Déduire $\lim L_n$.

Corrigé — Exercice 2

4 points
1.$L_0=\int_1^e1\,dt=e-1$. $L_1=[t\ln t-t]_1^e=(e-e)-(0-1)=1$.
$L_0=e-1,\ L_1=1$
2.IPP $u=(\ln t)^n,v'=1$ : $L_n=[t(\ln t)^n]_1^e-n\int_1^e(\ln t)^{n-1}dt=e-nL_{n-1}$.
$L_n=e-nL_{n-1}$
3.$L_2=e-2L_1=e-2\approx0{,}718$. $L_3=e-3L_2=6-2e\approx0{,}563$.
4.Changement de variable $u=\ln t$ ($t=e^u$, $dt=e^u du$) : $L_n=\int_0^1u^ne^u\,du$. Sur $[0,1]$, $0\leq u^n\leq1$ et $e^u\leq e$, donc $0$\lim_{n\to\infty}L_n=0$
Problème11 points
Partie A — Similitudes composées

ABCD carré côté 4, centre O. $K$ milieu de $[OA]$.

  1. 1$S_1$ : homothétie centre $A$, rapport 2. Calculer $S_1(O)$ et $S_1(K)$.
  2. 2$S_2$ : similitude centre $B$, rapport $\sqrt2$, angle $45°$. Calculer $S_2(B)$.
  3. 3$S=S_2\circ S_1$ : rapport et angle.
  4. 4Montrer que $S$ envoie $K\to A$ et $O\to D$.
Partie B — Complexes
  1. 5Affixes de $A,B,C,D,K$ dans $(O;\vec{u},\vec{v})$ (unité=2).
  2. 6Formes complexes de $S_1$, $S_2$, $S$. Affixe de $\Omega$.
Partie C — Étude de $f(x)=\ln(x^2+1)$
  1. 7$D_f$, parité, limites. Tableau de variation.
  2. 8Branches infinies en $\pm\infty$.
  3. 9Tracer $(\mathcal{C}_f)$.
  4. 10Calculer $A=\displaystyle\int_0^1\ln(x^2+1)\,dx$ par IPP. Exprimer en fonction de $\ln2$ et $\pi$.

Corrigé — Problème

11 points
Partie A — Similitudes composées

Repère $(O;\vec u,\vec v)$, unité $2$ : $A(-2,-2),B(2,-2),C(2,2),D(-2,2)$, $K$ milieu de $[OA]$ donc $K(-1,-1)$.

1.$O$ étant le sommet diagonalement opposé à $A$ ($C=-A$), $S_1(O)=A+2(O-A)=2O-A=-A=C$. $K$ milieu de $[OA]$ : $S_1(K)=A+2(K-A)=A+2\cdot\frac{O-A}2=A+(O-A)=O$.
$S_1(O)=C=(2;2)$ ; $S_1(K)=O=(0;0)$
2.Le centre d'une similitude est son unique point invariant.
$S_2(B)=B=(2;-2)$
3.Rapport de $S=S_2\circ S_1$ : $k=2\times\sqrt2=2\sqrt2$. Angle : $\theta=0°+45°=45°$ ($S_1$, de rapport positif, a un angle nul).
$S$ : rapport $2\sqrt2$, angle $45°$
4.Avec $z_{S_1}(z)=2z+2+2i$ et $z_{S_2}(z)=(1+i)z-2-2i$ (voir B-6) : $$S(K)=S_2(S_1(z_K))=S_2(z_O)=S_2(0)=-2-2i=z_A \qquad S(O)=S_2(S_1(0))=S_2(z_C)=(1+i)(2+2i)-2-2i=-2+2i=z_D$$
$S(K)=A$ ; $S(O)=D$
Partie B — Écriture complexe
5.
$z_A=-2-2i,\ z_B=2-2i,\ z_C=2+2i,\ z_D=-2+2i,\ z_K=-1-i$
6.$S_1$ (homothétie centre $A$, rapport 2) : $z'=2z-z_A=2z+2+2i$. $S_2$ (similitude centre $B$, rapport $\sqrt2$, angle $45°$) : $z'=z_B+(1+i)(z-z_B)=(1+i)z-2-2i$. $$S(z)=(1+i)(2z+2+2i)-2-2i=(2+2i)z-2+2i$$ Affixe de $\Omega$ : $z_\Omega=\dfrac{-2+2i}{1-(2+2i)}=\dfrac{-2+2i}{-1-2i}=\dfrac{-2-6i}5$.
$S_1(z)=2z+2+2i\ ;\ S_2(z)=(1+i)z-2-2i\ ;\ S(z)=(2+2i)z-2+2i\ ;\ \Omega=\left(-\frac25;-\frac65\right)$
Partie C — Étude de $f(x)=\ln(x^2+1)$
7.$D_f=\mathbb{R}$. $f(-x)=f(x)$ : paire. $\lim_{\pm\infty}f=+\infty$. $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$, du signe de $x$ ; min en $0$, $f(0)=0$.
x−∞0+∞
f'(x)−0+
f(x)+∞↘0↗+∞
8.$\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\ln(x^2+1)}x\to0$ en $+\infty$ (croissances comparées, $\ln(x^2+1)\sim2\ln x$).
Branche parabolique de direction $(Ox)$ aux deux infinis (par parité)
9.
(0;0)

Courbe de f(x)=ln(x²+1) : paire, minimum en (0;0), branches paraboliques de direction (Ox)

10.IPP $u=\ln(x^2+1),v'=1$ : $A=[x\ln(x^2+1)]_0^1-\int_0^1\dfrac{2x^2}{x^2+1}dx=\ln2-2\int_0^1\left(1-\dfrac1{1+x^2}\right)dx=\ln2-2\left[x-\arctan x\right]_0^1=\ln2-2\left(1-\dfrac\pi4\right)$.
$A=\ln2-2+\dfrac\pi2\approx0{,}264$
S.01S.02S.03S.04S.05S.06S.07S.08S.09S.10

📊 Récapitulatif des thèmes couverts

Exercice 1 (thèmes récurrents) :
Suites récurrentes d'ordre 2 : S.1, S.4, S.8
Arithmétique (Bézout, modulo) : S.2, S.6, S.10
Nombres complexes : S.3, S.7, S.9
Exercice 2 :
Intégrales (suites $I_n$, $J_n$, $K_n$, $L_n$) : S.2, S.5, S.7, S.10
Probabilités (discrète, binomiale, continue) : S.1, S.5, S.8
Statistiques (régression, double entrée) : S.3, S.6, S.9
Problème — Géométrie :
Rotations composées : S.1, S.3, S.7
Similitudes directes : S.2, S.4, S.5, S.10
Homothéties composées : S.6, S.9
Problème — Coniques & Analyse :
Ellipse : S.1, S.7 | Parabole : S.2, S.6 | Hyperbole : S.4, S.9
Équations différentielles : S.3, S.8
Étude de fonctions + aire : S.5, S.8, S.10