Ch. 10 Séries statistiques groupées en classes — 1ère A Mathématiques

1. Regroupement en classes

Définitions

Quand les données sont nombreuses, on les regroupe en classes [aᵢ ; aᵢ₊₁[.

• Centre de classe cᵢ = (aᵢ+aᵢ₊₁)/2.

• Amplitude = aᵢ₊₁-aᵢ (largeur de la classe).

• Effectifs cumulés croissants (ECC) : Nᵢ = n₁+n₂+...+nᵢ.

• Fréquences cumulées croissantes (FCC) : Fᵢ = f₁+f₂+...+fᵢ.

2. Histogramme

Construction

Chaque rectangle est posé sur sa classe. Si les amplitudes sont égales : hauteur = effectif (ou fréquence). Si inégales : hauteur = densité = fᵢ/amplitude (surface = effectif).

3. Moyenne, médiane et quartiles

Calcul sur données groupées

Moyenne : x̄ = Σnᵢcᵢ/N (utiliser les centres de classes).

Médiane : classe médiane = classe où FCC dépasse 50%.

Interpolation : Me = aᵢ + [(N/2 - Nᵢ₋₁)/nᵢ] × amplitude.

Quartile Q₁ : interpolation à 25%. Q₃ : interpolation à 75%.

Variance : V = Σnᵢcᵢ²/N - x̄² (König-Huygens avec centres de classes).

🧠 À retenir

Centre cᵢ=(aᵢ+aᵢ₊₁)/2
Moyenne = Σnᵢcᵢ/N
Médiane : classe où FCC dépasse 50%, puis interpolation
Histogramme : hauteur=densité si amplitudes inégales

Tableau de distribution

● Facile

Masses (kg) de 40 personnes :

[50;60[[60;70[[70;80[[80;90]616126

(1) Centres de classes. (2) Fréquences (%). (3) ECC.

Correction

55, 65, 75, 85.
15%, 40%, 30%, 15%. Somme=100% ✅.
6, 22, 34, 40.

Moyenne et médiane

● Moyen

En reprenant les données ci-dessus. (1) Calculer la masse moyenne. (2) Calculer la médiane.

Correction

x̄=(6×55+16×65+12×75+6×85)/40=(330+1040+900+510)/40=2780/40=69,5 kg.
N/2=20. ECC: 6,22. La 20ème est dans [60;70[. Me=60+(20-6)/16×10=60+8,75=68,75 kg.

Variance et écart type

● Moyen

Mêmes données. (1) Calculer Σnᵢcᵢ²/N. (2) Variance. (3) Écart type.

Correction

(6×3025+16×4225+12×5625+6×7225)/40=(18150+67600+67500+43350)/40=196600/40=4915.
V=4915-(69,5)²=4915-4830,25=84,75.
σ=√84,75≈9,2 kg.

Quartiles

● Moyen

Mêmes données. Calculer Q₁ et Q₃.

Correction

Q₁: N×25%=10. ECC: 6,22. La 10ème est dans [60;70[. Q₁=60+(10-6)/16×10=62,5. Q₃: N×75%=30. ECC: 6,22,34. La 30ème est dans [70;80[. Q₃=70+(30-22)/12×10=76,7.

Problème — Analyse de résultats

● Difficile

Notes de 50 élèves :

[0;8[[8;12[[12;16[[16;20]818168

(1) Centres (4,10,14,18). Moyenne. (2) Médiane. (3) Que peut-on conclure sur la distribution des notes ?

Correction

x̄=(8×4+18×10+16×14+8×18)/50=(32+180+224+144)/50=580/50=11,6.
N/2=25. ECC: 8,26. La 25ème est dans [8;12[. Me=8+(25-8)/18×4=8+3,78=11,78.
Moyenne≈médiane≈12 : distribution approximativement symétrique autour de 12 (la moyenne). Pas de note extrême qui déforme la distribution.

QCM

10 questions

0Score

0/10Repondues

Q1/10

Centre de la classe [20;30[ :

Q2/10

Moyenne sur données groupées : utiliser :

Q3/10

Médiane partage la distribution en :

Q4/10

ECC de la 3ème classe :

Q5/10

Histogramme : amplitudes inégales → hauteur = :

Q6/10

V = Σnᵢcᵢ²/N − x̄². Si tous les cᵢ=x̄ : V= :

Q7/10

N=80, ECC à la 2ème classe=60. 60/80=75%>50% : la classe médiane est :

Q8/10

σ=√V. Si V=25 : σ= :

Q9/10

fᵢ=nᵢ/N. Si nᵢ=12 et N=60 : fᵢ= :

Q10/10

Q₁ est la valeur telle que __ % des données sont inférieures :