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1. Outils de base pour dénombrer

Règle du produit

Si une expérience se fait en k étapes avec n₁, n₂, ..., nₖ choix à chaque étape, le nombre total de façons est n₁×n₂×...×nₖ.

Diagrammes et arbres

Un arbre de probabilité représente toutes les issues possibles. Utile quand les choix dépendent des précédents.

Nombre de branches terminales = nombre d'issues.

Exemple — Menu

2 entrées × 3 plats × 2 desserts = 12 menus possibles.

2. Arrangements

Définition et formule

Un arrangement de p éléments parmi n (p ≤ n) est un choix ordonné (l'ordre compte) sans répétition.

Aₙᵖ = n×(n-1)×...×(n-p+1) = n!/(n-p)!

n! = n×(n-1)×...×2×1 (factorielle). 0!=1.

Exemple

A₅² = 5×4 = 20 (tiercé sur 5 chevaux). A₄³ = 4×3×2 = 24 (podium sur 4 athlètes).

3. Combinaisons

Définition et formule

Une combinaison de p éléments parmi n est un choix non ordonné (l'ordre ne compte pas).

Cₙᵖ = Aₙᵖ/p! = n!/(p!×(n-p)!)

Propriétés : Cₙ⁰=Cₙⁿ=1 ; Cₙ¹=n ; Cₙᵖ=Cₙⁿ⁻ᵖ (symétrie).

Exemples

C₅² = 5×4/2 = 10 (choisir 2 personnes parmi 5 pour un comité).

C₆³ = 6×5×4/(3×2×1) = 20.

4. Permutations

Définition

Une permutation de n éléments est un arrangement de tous les n éléments : Pₙ = Aₙⁿ = n!

Exemple : 4 personnes dans un rang = 4! = 24 façons.

🧠 À retenir

  • Règle du produit : n₁×n₂×...×nₖ pour des étapes indépendantes
  • Arrangements (ordre compte) : Aₙᵖ = n!/(n-p)!
  • Combinaisons (ordre ne compte pas) : Cₙᵖ = n!/(p!(n-p)!)
  • Permutations : Pₙ = n!
  • Cₙᵖ = Cₙⁿ⁻ᵖ (symétrie)
1

Règle du produit et arbre

● Facile
  1. Un restaurant propose 3 entrées, 4 plats, 2 desserts. Combien de menus complets ?
  2. Un code PIN a 4 chiffres (0 à 9). Combien de codes possibles ?
Correction
  1. 3×4×2=24 menus.
  2. 10⁴=10 000 codes (chaque chiffre a 10 possibilités).
2

Factorielles et arrangements

● Moyen
  1. Calculer 5!, C(6,2), A(5,3).
  2. Combien de façons de placer 5 livres sur une étagère ?
  3. Tiercé : combien de façons d'ordonner 3 chevaux parmi 8 ?
Correction
  1. 5!=120. C₆²=15. A₅³=5×4×3=60.
  2. P₅=5!=120 façons.
  3. A₈³=8×7×6=336 façons.
3

Combinaisons

● Moyen
  1. Comité de 3 personnes parmi 7. Combien de façons ?
  2. Vérifier C₇³=C₇⁴ (symétrie).
  3. Loto : choisir 6 numéros parmi 49. Combien de grilles possibles ?
Correction
  1. C₇³=7×6×5/(3×2×1)=35.
  2. C₇⁴=7×6×5×4/(4×3×2×1)=35 ✅.
  3. C₄₉⁶=49!/(6!43!)=13 983 816.
4

Arrangements vs Combinaisons

● Moyen

Sur 6 candidats à un poste :

  1. Combien de façons de choisir un Directeur et un Directeur adjoint (postes différents) ?
  2. Combien de façons de choisir 2 représentants (postes identiques) ?
  3. Pourquoi ces deux réponses diffèrent-elles ?
Correction
  1. A₆²=6×5=30 (ordre compte : Directeur≠Adjoint).
  2. C₆²=15 (ordre ne compte pas).
  3. A₆²=2×C₆² car chaque choix de 2 personnes donne 2! façons de les ordonner.
5

Problème — Dénombrement combiné

● Difficile

Un comité de 5 membres est formé à partir de 4 hommes et 6 femmes.

  1. Combien de comités possibles (sans contrainte) ?
  2. Combien contiennent exactement 2 hommes et 3 femmes ?
  3. Combien contiennent au moins un homme ?
Correction
  1. C₁₀⁵=252.
  2. C₄²×C₆³=6×20=120.
  3. Total - aucun homme = 252-C₆⁵=252-6=246.

QCM

10 questions

0Score
0/10Repondues
Q1/10

3 entrées × 4 plats × 2 desserts = :

Q2/10

5! vaut :

Q3/10

A₆² (arrangements de 2 parmi 6) :

Q4/10

C₅² (combinaisons de 2 parmi 5) :

Q5/10

P₄ (permutations de 4 éléments) :

Q6/10

Cₙᵖ = Cₙⁿ⁻ᵖ est la propriété de :

Q7/10

Difference entre arrangement et combinaison :

Q8/10

C₅⁰ vaut :

Q9/10

Choisir un délégué et un secrétaire parmi 10 :

Q10/10

Comité de 4 parmi 8 :