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1. Injection, surjection, bijection

Definitions

Injective : f(x1)=f(x2) => x1=x2 (droite horiz. coupe ≤1 fois).

Surjective : tout y∈F a au moins un antecedent (droite horiz. coupe ≥1 fois).

Bijective : injection + surjection (exactement 1 antecedent par element de F).

Composition

g∘f injective si f et g injectives. g∘f bijective si f et g bijectives.

2. Reciproque d une bijection

Proprietes

f bijective => f^(-1) : F→E. f^(-1)∘f=idE. Graphe(f^(-1))=symetrique de Graphe(f) par rapport a y=x.

arcsin : reciproque de sin sur [-pi/2;pi/2]. arccos : sur [0;pi]. arctan : sur ]-pi/2;pi/2[.

Propriete : arcsin(x)+arccos(x)=pi/2 pour x∈[-1;1].

3. Proprietes des fonctions

Parite, periodicite, monotonie

Paire : f(-x)=f(x). Impaire : f(-x)=-f(x). Periodique T : f(x+T)=f(x).

Paire ET impaire => f=0 identiquement. Strictement monotone => injective.

Image reciproque : f^(-1)(B)={x : f(x)∈B} (definie meme si f non bijective).

A retenir

  • Bijection : exactement 1 antecedent par element de F
  • Graphe(f^(-1)) symetrique de Graphe(f) par rapport a y=x
  • arcsin(x)+arccos(x)=pi/2
  • Strictement monotone => injective
  • f^(-1)(B) definie pour toute f, pas besoin de bijection
1

Injection surjection

● Moyen
  1. f(x)=x³-x sur R. Injective? Surjective?
  2. g:[1;+∞[→[0;+∞[, g(x)=x²-1. Montrer bijective.
  3. h=sin sur R vers [-1;1]. Injective? Surjective?
Correction
  1. f(0)=f(-1)=0: non injective. Surjective (degre impair).
  2. g'=2x>0: injective. g(1)=0, g→+∞: surjective. Bijective.
  3. Non injective. Surjective sur [-1;1].
2

Calcul de la reciproque

● Moyen
  1. f(x)=3x-2. Calculer f^(-1) et verifier f∘f^(-1)=id.
  2. Montrer que arcsin(x)+arccos(x)=pi/2.
Correction
  1. f^(-1)(x)=(x+2)/3. Verif: 3(x+2)/3-2=x ✅.
  2. a=arcsin(x). cos(pi/2-a)=x et pi/2-a∈[0;pi] donc arccos(x)=pi/2-a. QED.
3

Parite et periodicite

● Moyen
  1. Parite de f=x²/(x²+1), g=x³+x, h=x²+x+1.
  2. Montrer |sin x| est pi-periodique.
  3. Sur quel intervalle cos est bijection vers [-1;1]?
Correction
  1. f paire, g impaire, h ni l une ni l autre.
  2. |sin(x+pi)|=|-sin x|=|sin x| ✅.
  3. [0;pi].
4

Composition et image reciproque

● Moyen

f(x)=x²+1, g(x)=racine(x-1). (1) g∘f. (2) f∘g. (3) f^(-1)([2;5]).

Correction

(1) |x| sur R. (2) x sur [1;+∞[. (3) {x: 1≤x²≤4}=[-2;-1]∪[1;2].

5

Bijection - etude complete

● Difficile

f(x)=x/(1+|x|) sur R. (1) Montrer impaire. (2) Croissante. (3) Bijection vers ]-1;1[. (4) f^(-1).

Correction

(1) f(-x)=-f(x) ✅. (2) f'>0 sur R+/R-. (3) lim±∞=±1, bijection. (4) f^(-1)(y)=y/(1-|y|).

QCM

10 questions · Correction immediate

0Score
0/10Repondues
Q1/10

f bijective signifie :

Q2/10

Graphe f^(-1) :

Q3/10

arcsin(1/2) :

Q4/10

cos bijective sur :

Q5/10

f paire ET impaire sur R :

Q6/10

f strictement croissante => :

Q7/10

Composition de deux injections :

Q8/10

arcsin(x)+arccos(x) :

Q9/10

f^(-1)(B) (image reciproque) :

Q10/10

|sin x| est periodique de periode :