Ch. 06 Limites de fonctions et continuite — 1ère D Mathématiques

1. Limite d une fonction en un point

Definition intuitive et formelle

lim[x→a] f(x)=L signifie que f(x) se rapproche de L quand x tend vers a (sans atteindre a).

Limites laterales : lim[x→a⁻] et lim[x→a⁺]. La limite en a existe iff les deux sont egales.

Operations sur les limites

Si lim f=L et lim g=M : lim(f+g)=L+M ; lim(f.g)=L.M ; lim(f/g)=L/M (M≠0).

Formes indeterminees : 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0.∞ → techniques de levee.

Techniques pour lever 0/0

• Factoriser et simplifier : (x²-4)/(x-2)=(x+2)(x-2)/(x-2)→x+2.

• Multiplier par le conjugue : (racine(x+1)-1)/x → multiplier par (racine(x+1)+1).

• Regle de L'Hopital (niveau avance) : lim f/g = lim f'/g' si forme 0/0 ou ∞/∞.

Limites fondamentales a connaitre

lim[x→0] sin(x)/x = 1 • lim[x→0] (1-cos x)/x² = 1/2 • lim[x→0] tan(x)/x = 1

lim[x→+∞] xⁿ=+∞ (n>0) • lim[x→+∞] 1/xⁿ=0 • lim[x→+∞] P(x)/Q(x)=terme dominant

2. Limites en l infini

Polynomes et fractions rationnelles

Polynome : limite determinee par le monome de plus haut degre.

Fraction P/Q : diviser par x^(deg Q) pour lever ∞/∞.

Exemples

lim[x→+∞] (3x²-2x+1)/(x²+5) = 3 (diviser par x²).

lim[x→+∞] (2x+1)/(x²-3) = 0 (deg num < deg den).

lim[x→+∞] (x³-2x)/(x+1) = +∞ (deg num > deg den).

3. Continuite

Definition

f est continue en a si lim[x→a] f(x) = f(a). Continue sur I si continue en tout point de I.

Tout polynome est continu sur R. Toute fraction rationnelle est continue sur son domaine.

Theoreme des valeurs intermediaires (TVI)

Si f est continue sur [a;b] et f(a).f(b) < 0, alors il existe c∈]a;b[ tel que f(c)=0.

Si de plus f est strictement monotone sur [a;b], alors c est unique.

Asymptotes

Asymptote horizontale y=L : lim[x→±∞] f(x)=L.

Asymptote verticale x=a : lim[x→a] |f(x)|=+∞.

Asymptote oblique y=ax+b : lim[x→±∞] [f(x)-(ax+b)]=0. Trouver par division euclidienne.

A retenir

Formes indeterminees 0/0 : factoriser, conjugue, L Hopital
lim[x→0] sin(x)/x=1 (limite fondamentale)
Polynome en ±∞ : terme dominant ; fraction : diviser par x^(deg den)
TVI : f continue, f(a).f(b)<0 => racine dans ]a;b[
Asymptote oblique : lim[f(x)-(ax+b)]=0 ; trouver par division euclidienne

Limites - formes indeterminees

● Moyen

lim[x→3] (x²-9)/(x-3)
lim[x→0] (racine(x+4)-2)/x
lim[x→+∞] (2x²+3)/(x²-5x+1)

Correction

(x+3)(x-3)/(x-3)→x+3=6.
Conjugue: [(x+4)-4]/[x(racine(x+4)+2)]=1/(racine(x+4)+2)→1/4.
Diviser par x²: (2+3/x²)/(1-5/x+1/x²)→2.

Continuite et raccordement

● Moyen

f(x)=(x²-1)/(x-1) si x≠1 et f(1)=k. Pour quelle valeur de k f est-elle continue en 1 ?

Correction

lim[x→1] (x+1)=2. Pour continuite : k=f(1)=2.

TVI - existence de racines

● Moyen

Montrer que P(x)=x³+x-3 a une racine dans ]1;2[.
Montrer qu elle est unique et l encadrer a 0,1 pres.

Correction

P(1)=-1<0, P(2)=7>0. P continue sur [1;2]. TVI: racine dans ]1;2[.
P'=3x²+1>0 sur R → strictement croissante → racine unique. P(1,2)=1,728+1,2-3=-0,072<0. P(1,3)=2,197+1,3-3=0,497>0. Racine dans ]1,2;1,3[.

Asymptotes

● Moyen

f(x)=(2x²+x-1)/(x-1). Domaine, asymptotes verticale et oblique, branches infinies.

Correction

D=R\{1}. Asymptote verticale x=1. Division: 2x²+x-1=(x-1)(2x+3)+2. f=2x+3+2/(x-1). Asymptote oblique y=2x+3. En x=1⁺: f→+∞; en x=1⁻: f→-∞.

Limite fondamentale - applications

● Difficile

lim[x→0] sin(3x)/(2x)
lim[x→0] (1-cos x)/x²
lim[x→0] (tan x-sin x)/x³

Correction

(3/2)×sin(3x)/(3x)→3/2.
2sin²(x/2)/x²=2×(1/4)×[sin(x/2)/(x/2)]²→1/2.
(sin x/cos x-sin x)/x³=sin x(1/cos x-1)/x³=sin x.(1-cos x)/(x³.cos x)→1×(1/2)/1=1/2.

QCM

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Q1/10

lim[x→2] (x²-4)/(x-2) vaut :

Q2/10

lim[x→+∞] (5x²+3)/(2x²-1) vaut :

Q3/10

f continue en a signifie :

Q4/10

lim[x→0] sin(x)/x vaut :

Q5/10

TVI s applique si :

Q6/10

lim[x→+∞] 1/x² vaut :

Q7/10

Asymptote verticale de 1/(x-3) :

Q8/10

lim[x→+∞] (2x+1)/x vaut :

Q9/10

f(1)=-2, f(3)=5, f continue sur [1;3] : f(x)=0 a :

Q10/10

lim[x→3⁺] 1/(x-3) vaut :