Ch.03 — Équations et inéquations du 2nd degré — 2nde A Mathématiques

1. Trinôme du second degré

Définition

Un trinôme du 2nd degré a la forme : ax² + bx + c (a ≠ 0)

Le discriminant est : Δ = b² − 4ac

Racines du trinôme

• Si Δ > 0 : deux racines réelles distinctes : x₁ = (−b−√Δ)/2a et x₂ = (−b+√Δ)/2a

• Si Δ = 0 : une racine double : x₀ = −b/2a

• Si Δ < 0 : pas de racine réelle

Exemple

x² − 5x + 6 = 0. Δ = 25−24 = 1. x₁ = (5−1)/2 = 2 ; x₂ = (5+1)/2 = 3.

2. Forme factorisée

Si Δ ≥ 0

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Si Δ = 0 : ax² + bx + c = a(x − x₀)²

Exemple

x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3). Vérif : (x−2)(x−3) = x²−5x+6 ✅

3. Signe du trinôme

Tableau de signe

Pour ax² + bx + c avec a > 0 et Δ > 0 (x₁ < x₂) :

x	−∞	x₁	x₂	+∞
ax²+bx+c	+	0	−	0	+

Règle : avec a > 0, le trinôme est négatif entre ses racines et positif à l'extérieur.

Avec a < 0, c'est l'inverse.

Résoudre x²−5x+6 < 0

Racines : x₁=2, x₂=3. a=1>0. Trinôme < 0 entre les racines : x ∈ ]2 ; 3[

4. Relations coefficients-racines

Formules de Viète

Si x₁ et x₂ sont les racines de ax²+bx+c=0 :

x₁ + x₂ = −b/a x₁ × x₂ = c/a

Exemple

x²−5x+6=0. x₁+x₂=5=5/1 ✅ ; x₁×x₂=6=6/1 ✅

🧠 À retenir absolument

Δ = b²−4ac : Δ>0 → 2 racines ; Δ=0 → 1 racine double ; Δ<0 → pas de racine
x = (−b ± √Δ) / (2a)
Signe : a>0 → trinôme négatif entre ses racines
Somme des racines = −b/a ; Produit des racines = c/a

Calcul du discriminant

● Facile

Calculer Δ et donner le nombre de solutions de chaque équation :

x² − 4x + 4 = 0
2x² + x − 6 = 0
x² + x + 1 = 0

✅ Correction

Δ = 16−16 = 0. Une racine double. x₀ = 4/2 = 2.
Δ = 1+48 = 49. Deux racines. x₁=(−1−7)/4=−2 ; x₂=(−1+7)/4=3/2.
Δ = 1−4 = −3. Pas de racine réelle.

Résolution d'équations du 2nd degré

● Facile

x² − 7x + 12 = 0
3x² − 12 = 0
x² + 4x = 0

✅ Correction

Δ=49−48=1. x=(7±1)/2. x₁=3, x₂=4.
3x²=12 → x²=4 → x=2 ou x=−2.
x(x+4)=0 → x=0 ou x=−4.

Signe du trinôme et inéquations

● Moyen

Résoudre les inéquations :

x² − 6x + 8 < 0
x² − 1 ≥ 0
−x² + 4x − 3 > 0

✅ Correction

Racines : x=2 et x=4. a=1>0. Trinôme < 0 entre les racines : x ∈ ]2;4[.
Racines : x=−1 et x=1. a=1>0. Trinôme ≥ 0 à l'extérieur : x ∈ ]−∞;−1] ∪ [1;+∞[.
−x²+4x−3>0. Racines de −x²+4x−3=0 : Δ=16−12=4. x=(−4±2)/(−2). x₁=1, x₂=3. a=−1<0 : trinôme >0 entre les racines. x ∈ ]1;3[.

Relations de Viète

● Moyen

Les racines de x²+bx+12=0 sont 3 et 4. Trouver b.
Construire un trinôme dont les racines sont −2 et 5.

✅ Correction

Somme = 3+4 = 7 = −b → b=−7. Vérif produit : 3×4=12 ✅.
Somme = −2+5 = 3 = −b/a. Produit = −10 = c/a. Avec a=1 : b=−3, c=−10. Trinôme : x²−3x−10. Vérif : (x+2)(x−5)=x²−3x−10 ✅.

Problème — Application

● Difficile

Un terrain rectangulaire a une longueur qui excède la largeur de 4 m. Son aire est 96 m².

Poser l'équation (x = largeur).
Résoudre par le discriminant.
Donner les dimensions du terrain.

✅ Correction

Largeur = x, longueur = x+4. Aire : x(x+4) = 96 → x²+4x−96 = 0.
Δ = 16+384 = 400. x = (−4±20)/2. x₁ = 8 (valable, positif) ; x₂ = −12 (rejeté).
Largeur = 8 m, longueur = 12 m. Vérif : 8×12=96 ✅.

QCM — Auto-évaluation

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Le discriminant de x²−3x+2=0 est :

Question 2 / 10

Si Δ < 0, l'équation du 2nd degré a :

Question 3 / 10

Les racines de x²−5x+6=0 sont :

Question 4 / 10

Pour le trinôme x²+bx+c, la somme des racines vaut :

Question 5 / 10

x²−4>0 est vérifié pour :

Question 6 / 10

La racine double de x²−4x+4=0 est :

Question 7 / 10

Factoriser x²−7x+10 :

Question 8 / 10

x²+x−6<0 a pour solution :

Question 9 / 10

Le produit des racines de 2x²−x−3=0 est :

Question 10 / 10

Résoudre x²=25 :