Ch.07 — Régionnement du plan — 2nde A Mathématiques — Bibliothèque Numérique by Edutech Congo

1. Inéquations à deux inconnues

Définition

Une inéquation à deux inconnues est de la forme ax + by ≤ c (ou <, ≥, >).

Son ensemble de solutions dans ℝ² est un demi-plan délimité par la droite ax+by=c.

Méthode graphique

1. Tracer la droite frontière ax+by=c (trait plein si ≤ ou ≥ ; pointillé si < ou >)

2. Choisir un point test facile (ex : O(0;0)) et le substituer dans l'inéquation

3. Si vrai → hachurer le côté contenant O ; si faux → hachurer l'autre côté

Exemple

2x + y ≤ 4. Droite frontière : 2x+y=4. Test avec O(0;0) : 0+0=0 ≤ 4 ✅. Le demi-plan contenant O est la solution.

2. Système d'inéquations — Polygone des solutions

Régionnement

L'ensemble des solutions d'un système de plusieurs inéquations est l'intersection des demi-plans correspondants. C'est un polygone convexe (éventuellement illimité).

Exemple

Système : x ≥ 0, y ≥ 0, x+y ≤ 5. Solution : triangle de sommets (0;0), (5;0), (0;5).

3. Application — Optimisation simple

Principe

On cherche à maximiser ou minimiser une expression z = ax+by sous des contraintes (inéquations).

Le maximum/minimum de z est atteint en un sommet du polygone des solutions.

Méthode : calculer z en chaque sommet et comparer.

Exemple simplifié

Contraintes : x≥0, y≥0, x+y≤4. Maximiser z=2x+y.

Sommets : (0;0)→z=0 ; (4;0)→z=8 ; (0;4)→z=4. Maximum z=8 en (4;0).

🧠 À retenir absolument

ax+by≤c : demi-plan délimité par la droite ax+by=c
Point test O(0;0) : si vrai → hachurer le côté de O ; si faux → l'autre côté
Système d'inéquations → intersection des demi-plans → polygone convexe
Optimisation : tester chaque sommet du polygone

Vérification d'appartenance

● Facile

Pour chaque inéquation, dire si le point M appartient à l'ensemble solution :

x + 2y ≤ 6, M(1;2)
3x − y > 4, M(2;1)
y ≥ 2x − 1, M(3;4)

✅ Correction

1+4=5 ≤ 6 ✅ → Oui.
6−1=5 > 4 ✅ → Oui.
4 ≥ 2×3−1=5 ? 4≥5 ✗ → Non.

Représentation d'un demi-plan

● Facile

Décrire le demi-plan solution de chaque inéquation (quel côté de la droite ?) :

y ≤ 3 (droite horizontale)
x ≥ −1
x + y ≤ 4 (tester avec O(0;0))

✅ Correction

Tous les points en dessous ou sur la droite y=3.
Tous les points à droite ou sur la droite x=−1.
Test O : 0+0=0≤4 ✅. Solution : demi-plan contenant l'origine (côté gauche-bas).

Système d'inéquations

● Moyen

Représenter le polygone des solutions du système :

x \geq 0 y \geq 0 x + y \leq 6 2x + y \leq 8

Tracer les quatre droites frontières.
Trouver les 4 sommets du polygone solution.

✅ Correction

x=0 (axe Oy) ; y=0 (axe Ox) ; x+y=6 ; 2x+y=8.
Intersection x=0 et y=0 : (0;0). Intersection x=0 et x+y=6 : (0;6). Intersection x+y=6 et 2x+y=8 : x=2, y=4 → (2;4). Intersection 2x+y=8 et y=0 : (4;0). Sommets : (0;0), (4;0), (2;4), (0;6).

Optimisation

● Moyen

Contraintes : x≥0, y≥0, x+y≤5, x≤3. Maximiser z=3x+2y. Calculer z à chaque sommet.

✅ Correction

Sommets : (0;0)→z=0 ; (3;0)→z=9 ; (3;2)→z=9+4=13 ; (0;5)→z=10.

Maximum z=13 en (3;2).

Problème — Production

● Difficile

Un artisan fabrique 2 types d'objets A et B. Chaque objet A nécessite 2h de travail, chaque B en nécessite 3h. Il dispose de 12h au total. Il veut produire au moins 1 de chaque type. Profit : 4 000 F par A, 5 000 F par B.

Poser les contraintes (x=nb de A, y=nb de B).
Trouver les sommets du domaine réalisable.
Maximiser le profit.

✅ Correction

x≥1, y≥1, 2x+3y≤12. z=4000x+5000y.
Intersection 2x+3y=12 et x=1 : y=(12−2)/3=10/3≈3,3. Arrondir : (1;3). Intersection 2x+3y=12 et y=1 : x=(12−3)/2=4,5. Arrondir : (4;1). Sommets entiers : (1;1), (4;1), (1;3).
z(1;1)=9000 ; z(4;1)=21000 ; z(1;3)=19000. Maximum : 21 000 F pour 4 objets A et 1 objet B.

QCM — Auto-évaluation

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0/10Répondues

Question 1 / 10

L'ensemble solution de x≤3 dans ℝ² est :

Question 2 / 10

Pour tester le demi-plan solution de ax+by

Question 3 / 10

Le point A(2;3) vérifie-t-il x+y≤4 ?

Question 4 / 10

L'intersection de x≥0 et y≥0 correspond à :

Question 5 / 10

La frontière de 2x+y≤6 est :

Question 6 / 10

Pour maximiser z=x+2y, on calcule z en :

Question 7 / 10

Le système x≥0, y≥0, x+y≤3 a pour sommets :

Question 8 / 10

Si O(0;0) ne vérifie pas ax+by≤c, la solution est :

Question 9 / 10

Une droite ax+by=c divise le plan en :

Question 10 / 10

L'inéquation y>2x dans ℝ² a pour frontière :