Ch. 03 Mathématiques · 2nde C

Calculs sur les réels : racines carrées, puissances, approximations

Objectif Général 2 — Effectuer des calculs : racines carrées, expressions irrationnelles, puissances, calculs approchés.

1. Calculs sur les racines carrées

Définition

La racine carrée d'un réel positif a, notée √a, est l'unique réel positif dont le carré est a.

Donc : √a ≥ 0 et (√a)² = a pour tout a ≥ 0.

Propriétés de calcul

Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 :

• √(a · b) = √a · √b

• √(a/b) = √a / √b (b > 0)

• √(a²) = |a| = a (si a ≥ 0)

• a√b + c√b = (a+c)√b (factorisation)

• √(a+b) ≠ √a + √b ⚠ erreur classique !

Exemples de simplification

• √12 = √(4·3) = √4 · √3 = 2√3

• √75 = √(25·3) = 5√3

• √50 = √(25·2) = 5√2

• 3√2 + 5√2 = 8√2

• √3 · √3 = (√3)² = 3

Rationalisation du dénominateur

Pour éliminer une racine carrée au dénominateur :

• a/√b = a√b / b (multiplier par √b/√b)

• a/(b−√c) = a(b+√c) / (b²−c) (multiplier par l'expression conjuguée)

2. Puissances d'un réel positif

Définitions

Pour a > 0 et n entier :

• aⁿ = a × a × ... × a (n facteurs, n ∈ ℕ*)

• a⁰ = 1

• a⁻ⁿ = 1/aⁿ

• a^(p/q) = (ᵍ√a)ᵖ = ᵍ√(aᵖ) (exposant rationnel)

En particulier : a^(1/2) = √a et a^(1/3) = ³√a

Règles de calcul sur les puissances

Pour a > 0, b > 0 et m, n rationnels :

• aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

• aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

• (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ

• (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

Exemples

• 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128

• 3⁵ / 3² = 3³ = 27

• (2³)² = 2⁶ = 64

• 8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4

• 27^(1/3) = ³√27 = 3

3. Calculs approchés et encadrement

Définitions

Approximation décimale d'ordre n : on garde n décimales après la virgule.

Arrondi à 10⁻ⁿ : si le chiffre suivant ≥ 5, on arrondit par excès ; sinon par défaut.

Troncature à 10⁻ⁿ : on supprime tous les chiffres après le nième décimal sans arrondir.

Encadrement d'un réel

Encadrer x à 10⁻ⁿ près signifie trouver a et b tels que :

a ≤ x ≤ b avec b − a = 10⁻ⁿ

Exemples numériques

• √2 ≈ 1,414... → arrondi au centième : 1,41 < √2 < 1,42

• π ≈ 3,14159... → arrondi au millième : 3,141 < π < 3,142

• Troncature de 2,789 au dixième : 2,7 (on supprime sans arrondir)

• Arrondi de 2,789 au dixième : 2,8 (car 8 ≥ 5)

Calcul des incertitudes

Si a ± Δa et b ± Δb sont des mesures avec incertitudes :

• Δ(a+b) = Δa + Δb

• Δ(a−b) = Δa + Δb

• Δ(a·b)/(|a·b|) ≈ Δa/|a| + Δb/|b| (incertitude relative)

🧠 À retenir absolument

√(ab) = √a · √b, mais √(a+b) ≠ √a + √b !
a^(1/2) = √a ; a^(1/3) = ³√a ; a^(p/q) = (ᵍ√a)ᵖ
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ ; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
Arrondi : regarder le chiffre suivant (≥5 → excès, <5 → défaut)
Troncature : couper sans regarder le chiffre suivant

Simplification de racines carrées

● Facile

Simplifier au maximum :

√48
√72
3√5 − √45 + 2√20
(√3 + 1)(√3 − 1)

✅ Correction

√48 = √(16·3) = 4√3
√72 = √(36·2) = 6√2
√45 = 3√5 ; √20 = 2√5. Donc : 3√5 − 3√5 + 2·2√5 = 4√5
(√3+1)(√3−1) = (√3)² − 1² = 3 − 1 = 2 (identité remarquable a²−b²)

Calculs de puissances

● Facile

Calculer en simplifiant :

2⁵ · 2³
3⁷ / 3⁴
(5²)³
16^(3/4)
8^(−2/3)

✅ Correction

2⁵ · 2³ = 2⁸ = 256
3⁷ / 3⁴ = 3³ = 27
(5²)³ = 5⁶ = 15625
16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8
8^(−2/3) = 1/(8^(2/3)) = 1/(³√8)² = 1/2² = 1/4

Rationalisation et simplification

● Moyen

Rationaliser les dénominateurs et simplifier :

6/√3
√2/(√6 − 2)
(√5 + √3)(√5 − √3)

✅ Correction

6/√3 = 6√3/(√3)² = 6√3/3 = 2√3
√2/(√6−2) · (√6+2)/(√6+2) = √2(√6+2)/((√6)²−4) = √2(√6+2)/(6−4) = √2(√6+2)/2 = (√12+2√2)/2 = (2√3+2√2)/2 = √3+√2
(√5+√3)(√5−√3) = 5 − 3 = 2

Calculs approchés et encadrement

● Moyen

Donner l'arrondi de 3,1472 au centième.
Donner la troncature de 2,9873 au dixième.
Encadrer √7 entre deux entiers consécutifs, puis entre deux décimaux au dixième près. (Rappel : 2² = 4, 3² = 9, 2,6² = 6,76, 2,7² = 7,29)

✅ Correction

3,1472 : le 3ème chiffre après la virgule est 7 ≥ 5, donc on arrondit par excès : 3,15
2,9873 : on coupe après le 1er chiffre sans regarder le suivant : 2,9
2² = 4 < 7 < 9 = 3², donc 2 < √7 < 3. Puis 2,6² = 6,76 < 7 < 7,29 = 2,7², donc 2,6 < √7 < 2,7.

Problème — Aires et volumes

● Difficile

Un cube a une arête de longueur a = 3√2 cm.

Calculer l'aire d'une face du cube.
Calculer l'aire totale du cube (6 faces).
Calculer le volume du cube.
La diagonale principale du cube a pour longueur d = a√3. Calculer d et simplifier.

✅ Correction

Aire d'une face = a² = (3√2)² = 9 · 2 = 18 cm²
Aire totale = 6a² = 6 · 18 = 108 cm²
Volume = a³ = (3√2)³ = 27 · (√2)³ = 27 · 2√2 = 54√2 cm³
d = a√3 = 3√2 · √3 = 3√6. En valeur approchée : 3 × 2,449 ≈ 7,35 cm

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Question 1 / 10

√48 simplifié est égal à :

Question 2 / 10

2³ × 2⁵ est égal à :

Question 3 / 10

(√5 + √3)(√5 − √3) vaut :

Question 4 / 10

16^(1/4) est égal à :

Question 5 / 10

L'arrondi de 2,458 au dixième est :

Question 6 / 10

√(a+b) est égal à :

Question 7 / 10

(a³)² est égal à :

Question 8 / 10

8^(2/3) vaut :

Question 9 / 10

La troncature de 3,976 au centième est :

Question 10 / 10

6/√2 rationalisé donne :