Objectif Général 4 — Angles inscrits, quadrilatères inscriptibles, polygones réguliers, solides de l'espace, positions relatives de droites et plans.
Soit un cercle de centre O. Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle. Un angle au centre a son sommet en O.
Un angle inscrit et un angle au centre interceptant le même arc ont la relation :
angle inscrit = angle au centre / 2
Conséquences :
• Tous les angles inscrits interceptant le même arc sont égaux
• Un angle inscrit dans un demi-cercle (arc de 180°) est un angle droit (= 90°)
Un quadrilatère est inscriptible dans un cercle si et seulement si la somme des angles opposés est égale à 180° :
 + Ĉ = 180° et B̂ + D̂ = 180°
Un polygone régulier à n côtés est à la fois équilatéral et équiangle. La mesure d'un angle intérieur est :
angle intérieur = (n−2) × 180° / n
• Triangle équilatéral (n=3) : 60° • Carré (n=4) : 90° • Hexagone (n=6) : 120°
Polyèdres : solides délimités par des faces planes (polygones).
• Cube : 6 faces carrées, 8 sommets, 12 arêtes. V = a³, A = 6a²
• Parallélépipède rectangle : 6 faces rectangulaires. V = l·L·h
• Pyramide : une base polygonale, des faces triangulaires. V = (1/3)·Abase·h
• Tétraèdre : 4 faces triangulaires, 4 sommets, 6 arêtes
Solides ronds :
• Cylindre : V = πr²h, Alat = 2πrh
• Cône : V = (1/3)πr²h, Alat = πrl (l = génératrice)
• Sphère : V = (4/3)πr³, A = 4πr²
| Solide | Volume | Aire totale |
|---|---|---|
| Cube (arête a) | a³ | 6a² |
| Cylindre (r, h) | πr²h | 2πr(r+h) |
| Cône (r, h, l) | πr²h/3 | πr(r+l) |
| Sphère (r) | 4πr³/3 | 4πr² |
| Pyramide (B, h) | Bh/3 | B + Σfaces lat. |
Deux droites de l'espace peuvent être :
• Sécantes : elles se coupent en un point (coplanaires)
• Parallèles : même direction, pas d'intersection (coplanaires)
• Gauches (non coplanaires) : ni parallèles ni sécantes
• Droite incluse dans le plan
• Droite parallèle au plan (aucun point commun)
• Droite sécante au plan (un seul point commun)
• Droite perpendiculaire au plan (cas particulier de sécante)
• Si deux droites sont parallèles à une même droite, elles sont parallèles entre elles.
• Si une droite est parallèle à un plan, elle est parallèle à toute droite du plan ayant même direction.
• Deux plans parallèles sont coupés par un plan selon deux droites parallèles.
Dans un cercle de centre O, l'angle au centre AOB mesure 80°.
Calculer la mesure d'un angle intérieur de chaque polygone régulier :
Formule : angle = (n−2)×180°/n
Calculer le volume et l'aire totale de chaque solide :
Un monument est formé d'un cylindre de rayon 4 m et hauteur 10 m surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 3 m.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'angle au centre mesure 100°. L'angle inscrit interceptant le même arc mesure :
Un angle inscrit dans un demi-cercle mesure toujours :
Un quadrilatère est inscriptible dans un cercle si :
L'angle intérieur d'un hexagone régulier (n=6) est :
Le volume d'une sphère de rayon 3 est :
Deux droites gauches de l'espace sont :
Le volume d'un cône de rayon 3 et hauteur 4 est :
Dans un cube d'arête a, le nombre de faces est :
L'aire totale d'un cylindre de rayon r et hauteur h est :
Un angle inscrit de 60° correspond à un angle au centre de :
