Lorsqu'un solide (A) exerce une action mécanique (force) sur un solide (B), le solide (B) exerce en retour sur (A) une action mécanique appelée réaction.
Si un corps A exerce sur un corps B une force F(A→B), alors le corps B exerce sur le corps A une force F(B→A) telle que : F(B→A) = − F(A→B).
Les deux forces ont la même droite d'action, la même intensité, mais des sens opposés. Elles s'exercent sur deux corps différents : elles ne peuvent donc jamais se compenser sur un même solide.
Pour un système matériel donné (un solide, ou un ensemble de solides) :
D'après le principe des actions mutuelles, les forces intérieures se regroupent deux à deux en actions et réactions opposées : leur résultante totale est nulle. Seules les forces extérieures interviennent donc dans l'étude de l'équilibre global d'un système.
Deux forces sont dites parallèles lorsque leurs droites d'action sont parallèles entre elles (sans être nécessairement confondues).
| Cas | Intensité de la résultante | Sens | Point d'application |
|---|---|---|---|
| Même sens | R = F1 + F2 | même sens que F1 et F2 | entre les points d'application, tel que F1×AC = F2×BC |
| Sens contraires (F1 ≠ F2) | R = |F1 − F2| | sens de la force la plus grande | à l'extérieur du segment [AB], du côté de la force la plus grande |
Si les deux forces parallèles, de sens contraires, ont la même intensité mais des droites d'action distinctes, leur résultante est nulle mais leur effet de rotation ne l'est pas : on parle de couple de forces (voir § 5).
Une planche rigide de longueur L = 3 m, posée sur deux appuis A et B, supporte une charge ponctuelle de poids P = 600 N placée à 1 m de A. Les réactions des appuis (verticales, vers le haut) sont deux forces parallèles au poids : R_A = 400 N et R_B = 200 N (voir Exercice 1 pour le détail du calcul, fondé sur le théorème des moments du § 5).
Un solide suspendu à un fil, en équilibre, est soumis à deux forces : son poids P (vertical, vers le bas, appliqué au centre de gravité G) et la tension T du fil (verticale, vers le haut, appliquée au point d'attache).
Un solide suspendu à un fil est en équilibre si et seulement si : le fil (prolongé) et le centre de gravité G sont sur la même droite verticale, et T = P. Cette propriété permet de repérer le centre de gravité d'un solide par la méthode du fil à plomb.
Un solide posé sur un plan horizontal est soumis à son poids P (appliqué en G) et à la réaction normale R_N du support. L'équilibre est stable, instable ou indifférent selon le comportement du solide après une légère perturbation :
| Type d'équilibre | Comportement après un léger écart | Exemple |
|---|---|---|
| Stable | Le centre de gravité G remonte puis le solide revient à sa position initiale | Cône posé sur sa base, livre posé à plat |
| Instable | Le centre de gravité G continue de descendre : le solide s'écarte davantage | Cône en équilibre sur sa pointe, crayon debout sur sa pointe |
| Indifférent | L'altitude de G ne change pas : le solide reste en équilibre dans sa nouvelle position | Bille sphérique homogène, cylindre couché sur une table |
Un solide de poids P, posé sur un plan incliné faisant l'angle α avec l'horizontale et retenu par un fil parallèle au plan, est soumis à trois forces concourantes : le poids P, la réaction normale N (perpendiculaire au plan) et la tension T du fil (parallèle au plan).
En décomposant le poids selon les axes du plan incliné (sans frottement) : T = P sin α (composante qui tend à faire glisser le solide) et N = P cos α (composante équilibrée par le support).
Un solide soumis à exactement trois forces non parallèles est en équilibre si et seulement si :
Une échelle appuyée contre un mur lisse (sans frottement) et reposant sur un sol rugueux est soumise à trois forces : son poids P, la réaction du mur R_mur (horizontale) et la réaction du sol R_sol (oblique, combinant réaction normale et frottement). Les trois droites d'action se coupent en un même point (voir le problème de synthèse).
Un solide mobile autour d'un axe fixe (Δ) ne peut effectuer qu'un mouvement de rotation autour de cet axe. L'effet d'une force sur ce mouvement dépend de la position de sa droite d'action par rapport à (Δ) :
Le moment d'une force F par rapport à un axe (Δ) est : M(F) = F × d, où d est la distance entre l'axe et la droite d'action de la force (le bras de levier). Unité S.I. : le newton-mètre (N·m). Par convention, M est compté positivement si la force tend à faire tourner le solide dans le sens choisi comme positif, négativement dans le cas contraire.
Si une force perpendiculaire à une tige n'est pas perpendiculaire au bras (elle fait un angle θ avec la tige), le bras de levier utile vaut d = OA × sin θ, et le moment devient M = F × OA × sin θ (voir Exercice 3).
Un couple de forces est un ensemble de deux forces parallèles, de même intensité F, de sens contraires, dont les droites d'action distinctes sont séparées d'une distance d (le bras du couple). Sa résultante est nulle, mais son moment ne l'est pas et vaut : M = F × d, quel que soit le point ou l'axe par rapport auquel on le calcule.
Un cas particulier important est le couple de torsion, exercé par un fil ou une lame élastique tordue (fil de suspension d'une balance de torsion, ressort spiral) : son moment est proportionnel à l'angle de torsion θ : M = C × θ, où C est la constante de torsion du fil (en N·m/rad).
Un solide mobile autour d'un axe fixe est en équilibre (il ne tourne pas) si et seulement si la somme algébrique des moments de toutes les forces qui lui sont appliquées, par rapport à cet axe, est nulle : Σ M = 0, c'est-à-dire que la somme des moments moteurs est égale à la somme des moments résistants.
| Machine simple | Principe | Relation d'équilibre |
|---|---|---|
| Poulie fixe | Change seulement la direction de la force | F = P |
| Poulie mobile | Charge soutenue par 2 brins de corde | F = P/2 (corde tirée = 2h) |
| Palan (n brins porteurs) | Combinaison de poulies fixes et mobiles | F = P/n (corde tirée = n×h) |
| Levier | Barre mobile autour d'un pivot | Fe × de = Fr × dr |
| Treuil | Tambour de rayon r + manivelle de rayon R | F × R = P × r |
| Balance à bras égaux | Fléau mobile autour d'un couteau central | m × L = m' × L ⟹ m = m' |
Une barre de 2 m pivote en O ; une force F1 = 100 N perpendiculaire est appliquée à 1,5 m de O. Pour équilibrer avec une force appliquée à 1 m de O faisant un angle de 30° avec la barre, il faut : F2 = F1 × 1,5 / (1 × sin 30°) = 150 / 0,5 = 300 N (voir Exercice 3).
Une planche rigide, de poids négligeable, de longueur L = 3 m, repose sur deux appuis A (à une extrémité) et B (à l'autre extrémité). Une charge ponctuelle de poids P = 600 N est posée sur la planche à 1 m de l'appui A (donc à 2 m de l'appui B). On prendra g = 10 N/kg.
1) Faire l'inventaire des forces extérieures appliquées à la planche.
2) En appliquant le théorème des moments par rapport à l'appui A, calculer l'intensité de la réaction R_B.
3) En déduire l'intensité de la réaction R_A. Vérifier la cohérence du résultat.
1) Trois forces parallèles (verticales) : le poids P = 600 N (vers le bas), et les réactions R_A et R_B des deux appuis (vers le haut).
2) Moments par rapport à A (ΣM_A = 0) : R_B × L − P × 1 = 0, soit R_B × 3 = 600 × 1 = 600, d'où R_B = 200 N.
3) Équilibre des forces verticales : R_A + R_B = P, donc R_A = 600 − 200 = 400 N. On vérifie que la réaction la plus grande (400 N) est bien du côté de l'appui le plus proche de la charge (A, à 1 m), conformément à la règle des forces parallèles de même sens.
Un solide de masse m = 5 kg est posé sur un plan incliné, sans frottement, faisant un angle α = 30° avec l'horizontale. Il est maintenu en équilibre par un fil parallèle au plan incliné. On prendra g = 10 N/kg.
1) Faire l'inventaire des trois forces appliquées au solide et préciser leurs directions.
2) Calculer le poids P du solide.
3) Calculer l'intensité de la tension T du fil.
4) Calculer l'intensité de la réaction normale N du plan.
1) Trois forces concourantes : le poids P (vertical, vers le bas), la réaction normale N (perpendiculaire au plan incliné), et la tension T du fil (parallèle au plan incliné, vers le haut de la pente).
2) P = mg = 5 × 10 = 50 N.
3) En projetant sur l'axe parallèle au plan : T = P sin α = 50 × sin 30° = 50 × 0,5 = 25 N.
4) En projetant sur l'axe perpendiculaire au plan : N = P cos α = 50 × cos 30° = 50 × 0,866 ≈ 43,3 N.
Une barre rigide AB, de poids négligeable, de longueur AB = 2,5 m, est mobile autour d'un axe fixe passant par un point O tel que OA = 1,5 m et OB = 1 m. En A, on applique une force F1 = 100 N perpendiculaire à la barre. En B, on applique une force F2 faisant un angle θ = 30° avec la barre.
1) Calculer le moment de F1 par rapport à l'axe passant par O.
2) Exprimer le moment de F2 par rapport au même axe en fonction de F2.
3) En appliquant le théorème des moments, calculer l'intensité de F2 nécessaire à l'équilibre de la barre.
1) F1 étant perpendiculaire à la barre, le bras de levier est OA = 1,5 m : M1 = F1 × OA = 100 × 1,5 = 150 N·m.
2) Le bras de levier de F2 vaut OB × sin θ = 1 × sin 30° = 0,5 m, donc M2 = F2 × 0,5.
3) Théorème des moments (les deux moments doivent se compenser pour qu'il y ait équilibre) : M1 = M2, soit 150 = 0,5 × F2, d'où F2 = 300 N.
Un palan constitué d'une poulie fixe et d'une poulie mobile est utilisé pour soulever une charge de poids P = 800 N. On néglige le poids des poulies, de la corde, et les frottements.
1) Indiquer le nombre de brins de corde qui soutiennent la poulie mobile, et calculer l'intensité de la force F qu'il faut exercer sur la corde pour équilibrer la charge.
2) Calculer la longueur de corde qu'il faut tirer pour élever la charge d'une hauteur h = 2,5 m.
3) On ajoute une seconde poulie mobile au montage, portant à 3 le nombre de brins porteurs. Recalculer F et la longueur de corde à tirer pour la même hauteur h = 2,5 m. Vérifier, dans les deux cas, la conservation du travail moteur.
1) La poulie mobile est soutenue par 2 brins de corde : la charge est répartie sur ces deux brins, donc F = P/2 = 800/2 = 400 N.
2) Pour élever la charge de h, chacun des 2 brins raccourcit de h : il faut donc tirer une longueur de corde ℓ = 2h = 2 × 2,5 = 5 m.
3) Avec 3 brins porteurs : F' = P/3 = 800/3 ≈ 266,7 N et ℓ' = 3h = 3 × 2,5 = 7,5 m.
Vérification du travail moteur : cas à 2 brins, F × ℓ = 400 × 5 = 2000 J ; cas à 3 brins, F' × ℓ' = 266,7 × 7,5 ≈ 2000 J. Dans les deux cas, ce travail est bien égal à P × h = 800 × 2,5 = 2000 J : l'avantage mécanique augmente (la force à exercer diminue) mais il faut tirer une plus grande longueur de corde — le travail moteur, lui, ne change pas.
Une échelle homogène AB, de longueur L = 4 m et de poids P = 200 N (centre de gravité G au milieu de l'échelle), est appuyée par son extrémité A contre un mur vertical parfaitement lisse (sans frottement), et repose par son extrémité B sur un sol horizontal rugueux. L'échelle fait un angle θ = 60° avec le sol.
10 questions · Correction immédiate
D'après le principe des actions mutuelles, si un corps A exerce sur un corps B une force F(A→B), alors :
Dans l'étude de l'équilibre d'un système matériel, les forces intérieures au système :
La résultante de deux forces parallèles, de même sens, d'intensités F1 et F2, a pour intensité :
Un solide suspendu à un fil, en équilibre, vérifie :
Un cône posé en équilibre sur sa pointe correspond à un équilibre :
D'après le théorème des trois forces, un solide en équilibre soumis à trois forces non parallèles vérifie :
Le moment d'une force F par rapport à un axe (Δ), avec d le bras de levier, s'exprime par :
Une force dont la droite d'action passe par l'axe de rotation (Δ) d'un solide mobile autour de cet axe a un moment :
Un couple de forces est constitué de deux forces parallèles, de même intensité F, de sens contraires, dont les droites d'action sont séparées d'une distance d. Son moment vaut :
Pour un levier en équilibre, la force motrice Fe (bras de levier de) et la force résistante Fr (bras de levier dr) vérifient, d'après le théorème des moments :
