Ch. 03 Calculs algébriques dans ℚ — logarithmes, expressions — 4ème Maths

1. Puissances et logarithmes dans ℚ

(0,5)²=0,25. (2/3)³=8/27. log(0,5)=−log 2≈−0,301.

Mêmes règles des puissances pour les rationnels.

2. Expressions algébriques

Développement, réduction, factorisation.

(a+b)²=a²+2ab+b². (a−b)²=a²−2ab+b². (a+b)(a−b)=a²−b².

3. Comparaison et encadrement

Fractions : produit en croix. Encadrement √n : k≤√n<k+1 si k²≤n<(k+1)².

Encadrement d'un produit : (a≤u≤b)(c≤v≤d) → ac≤uv≤bd (u,v>0).

À retenir

Mêmes règles puissances pour les rationnels
(a+b)²=a²+2ab+b² ; (a+b)(a−b)=a²−b²
Comparer fractions : produit en croix

Calculs numériques

● Facile

(1)(3/4)² (2)(0,2)³ (3)(−2/3)⁴ (4)(1,5)²

Correction

(1)9/16 (2)0,008 (3)16/81 (4)2,25

Logarithmes décimaux

● Moyen

log 2≈0,301, log 3≈0,477. (1)log(0,02) (2)log 200 (3)log 6 (4)log(2³)

Correction

(1)−1,699 (2)2,301 (3)0,778 (4)0,903

Développement et réduction

● Moyen

(1)(2x+3)(x−4) (2)3x²−2x+5x²+4x−1 (3)(3a−1)²

Correction

(1)2x²−5x−12 (2)8x²+2x−1 (3)9a²−6a+1

Factorisation

● Moyen

(1)6x²−4x (2)x²−16 (3)4a²−12a+9 (4)3x²+6xy

Correction

(1)2x(3x−2) (2)(x+4)(x−4) (3)(2a−3)² (4)3x(x+2y)

Encadrement

● Difficile

(1)Encadrer √7 entre deux entiers. (2)À 0,1 près. (3)Comparer 3/7 et 5/11.

Correction

(1)2<√7<3. (2)2,6<√7<2,7. (3)3×11=33<5×7=35 → 3/7<5/11.

★

Problème de synthèse

● Niveau BEPC

Carré de côté (3x+2) cm.

Développer l'aire A=(3x+2)².
Pour x=4, calculer A.
Périmètre P=4(3x+2). Développer.
Factoriser A−P=9x²−4.
Pour quelle valeur x : A=P ?
log(196) avec log 2≈0,301, log 7≈0,845.

Correction

9x²+12x+4
196 cm²
12x+8
(3x+2)(3x−2)
x=2/3
2log2+2log7=0,602+1,690=2,292

QCM

0Score

0/10Repondues

Q1/10

(3/4)²=

Q2/10

(0,2)³=

Q3/10

Développer (x+3)²=

Q4/10

Factoriser x²−9=

Q5/10

log(0,01)=

Q6/10

log 2≈0,301. log 8=

Q7/10

Encadrement de √10=

Q8/10

Comparer 2/5 et 3/8 : 2×8=16, 3×5=15. Donc

Q9/10

Réduire 3x+2x²−x+1=

Q10/10

Factoriser 4a²−12a+9=