Ch. 05 Fonctions logarithme et exponentielle — étude et applications — Terminale A Maths

1. La fonction ln — étude complète

Propriétés graphiques

Domaine : ]0;+∞[. ln(1)=0, ln(e)=1. (ln x)'=1/x>0 : croissante. Concave : (1/x)'=−1/x²<0.

lim[x→0⁺] ln x=−∞. lim[x→+∞] ln x=+∞. lim[x→0⁺] x·ln x=0.

Courbe : passe par (1;0) et (e;1). Tangente en x=1: y=x−1.

2. La fonction exp — étude complète

Propriétés graphiques

Domaine : ℝ. eˣ>0. (eˣ)'=eˣ>0 : croissante. Convexe : (eˣ)''=eˣ>0.

lim[x→−∞] eˣ=0 (AH y=0). lim[x→+∞] eˣ=+∞. Passe par (0;1) et (1;e).

Symétrie : courbes de ln et exp symétriques par rapport à y=x.

3. Primitives

Formules

∫eˣdx=eˣ+C. ∫(1/x)dx=ln|x|+C. ∫e^(ax+b)dx=(1/a)e^(ax+b)+C.

∫(1/(ax+b))dx=(1/a)ln|ax+b|+C. ∫u'e^u dx=e^u+C.

🧠 À retenir

ln croissante, concave ; exp croissante, convexe
ln et exp réciproques : symétrie y=x
lim x·ln x=0 (x→0⁺)
∫1/x=ln|x| ; ∫eˣ=eˣ ; ∫e^(ax)=e^(ax)/a

Étude de f(x)=x−ln x

● Moyen

(1) Domaine. (2) f'(x). (3) Minimum. (4) Déduire ln x≤x−1.

Correction

(1) ]0;+∞[. (2) f'=1−1/x=(x−1)/x. Min en x=1: f(1)=1. (3) f(x)≥1 → x−ln x≥1 → ln x≤x−1 ✓.

Étude de g(x)=(ln x)/x

● Moyen

(1) Domaine. (2) g'(x). (3) Maximum. (4) Montrer ln x≤x/e.

Correction

(1) ]0;+∞[. (2) g'=(1−ln x)/x². g'>0 si x<e, g'<0 si x>e. (3) Max g(e)=1/e. Donc ln x/x≤1/e → ln x≤x/e.

Primitives

● Moyen

Calculer : (1) ∫(2x+1)/(x²+x)dx. (2) ∫e^(2x−1)dx. (3) ∫₁ᵉ ln x dx. (Utiliser IPP.)

Correction

(1) (x²+x)'=2x+1 → ln|x²+x|+C. (2) e^(2x−1)/2+C. (3) IPP: u'=1, v=ln x. [x·ln x−x]₁ᵉ=(e−e)−(0−1)=1.

Courbe de ln et exp

● Facile

Sans calculatrice : (1) ln(e²)=? (2) e^(ln3)=? (3) ln(1/e)=? (4) Comparer ln4 et ln3.

Correction

(1) 2. (2) 3. (3) −1. (4) 4>3 et ln croissante → ln4>ln3.

Application — croissance

● Difficile

Comparer eˣ et xⁿ pour x grand (n entier fixé). Montrer lim[x→+∞] xⁿ/eˣ=0.

Correction

L'Hôpital répété n fois : (n fois) → n!/eˣ → 0. Conclusion : eˣ domine tout polynôme.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Étude de h(x)=x·ln x sur ]0;+∞[.

Limite en 0⁺ : Montrer lim[x→0⁺] x·ln x=0. (Substitution x=1/t, t→+∞.)
Prolongement : On pose h(0)=0. Vérifier que h est continue en 0.
Dérivée : h'(x)=ln x+1. Étude du signe.
Minimum : Minimum de h et valeur minimale.
Convexité : h''(x)=1/x>0. h est convexe sur ]0;+∞[.
Aire : Calculer ∫₁ᵉ x·ln x dx. (IPP avec u'=x, v=ln x.)

Correction

x·ln x=−(1/t)·ln(1/t)/1=(ln t)/t... Attendre: x=1/t → x·ln x=(1/t)·(−ln t)=−(ln t)/t → 0 (ln t/t→0). ✓
lim[x→0⁺] h(x)=0=h(0). Continue. ✓
h'=ln x+1=0 → x=1/e=e⁻¹. h'<0 pour x<1/e, h'>0 pour x>1/e.
Min en x=1/e: h(1/e)=(1/e)·(−1)=−1/e.
h''=1/x>0 → convexe sur ]0;+∞[. ✓
IPP: u'=x, v=ln x → u=x²/2, v'=1/x. ∫₁ᵉ x·ln x dx=[x²·ln x/2]₁ᵉ−∫₁ᵉ x/2 dx=e²/2−0−[x²/4]₁ᵉ=e²/2−(e²−1)/4=(e²+1)/4.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Repondues

Q1/10

(ln x)'=

Q2/10

(eˣ)'=

Q3/10

lim[x→0⁺] x·ln x=

Q4/10

∫(1/x)dx=

Q5/10

ln et exp sont

Q6/10

lim[x→+∞] xⁿ/eˣ=

Q7/10

∫e^(3x)dx=

Q8/10

h(x)=x·ln x. Min=

Q9/10

ln croissante donc ln 5 et ln 3 : ln 5

Q10/10

∫₁ᵉ (1/x)dx=