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Accueil/ 1ère/ Série D/ Mathématiques/ Ch. 06
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1. La suite (2ⁿ) et les suites géométriques

Rappel — suite géométrique

u_{n+1}=q·uₙ. Terme général : uₙ=u₀·qⁿ. Somme : Σ_{k=0}^{n-1} qᵏ=(qⁿ−1)/(q−1) (q≠1).

Croissance : |q|>1 → uₙ→∞. |q|<1 → uₙ→0. q=1 → cste. q=−1 → oscille.

Pour la suite 2ⁿ : q=2, u₀=1. 2ⁿ→+∞. 2ⁿ croît très vite.

2. La fonction x↦2ˣ

Définition et propriétés

2ˣ=e^(x·ln 2). Dérivée : (2ˣ)'=ln(2)·2ˣ. Strictement croissante.

2⁰=1. 2¹=2. 2^(−1)=1/2. 2^(1/2)=√2. Domaine : ℝ. Image : ]0;+∞[.

lim[x→−∞] 2ˣ=0 (AH y=0). lim[x→+∞] 2ˣ=+∞.

3. Suites définies par récurrence

Convergence et point fixe

Si u_{n+1}=f(uₙ) et (uₙ) converge vers L, alors L=f(L) (point fixe).

Méthode : (1) Chercher les points fixes. (2) Montrer monotonie et borne. (3) Conclure.

Si f est une contraction (|f'|<1 sur un intervalle), la suite converge.

🧠 À retenir

  • 2ⁿ=e^(n ln2) ; (2ˣ)'=ln(2)·2ˣ
  • Géom. : uₙ=u₀·qⁿ ; Σ_{k=0}^{n-1} qᵏ=(qⁿ−1)/(q−1)
  • Récurrence : si uₙ→L alors L=f(L)
  • 2ⁿ→+∞ ; |q|<1 → qⁿ→0
1

Suite géométrique

● Facile

Suite géométrique : u₀=3, q=1/2. (1) u₄. (2) Somme S₅=u₀+u₁+...+u₄. (3) Limite.

Correction

(1) u₄=3×(1/2)⁴=3/16. (2) S₅=3×(1−(1/2)⁵)/(1/2)=3×2×(1−1/32)=6×31/32=93/16. (3) uₙ→0.

2

Fonction 2ˣ

● Moyen

(1) Résoudre 2ˣ=8. (2) Résoudre 2ˣ<4ˣ⁻¹. (3) Dériver f(x)=2^(x²).

Correction

(1) x=3. (2) 2ˣ<2^(2x−2) → x<2x−2 → x>2. (3) f'=2x·ln(2)·2^(x²).

3

Suite récurrente

● Moyen

u₀=0, u_{n+1}=(uₙ+4)/3. (1) Point fixe. (2) vₙ=uₙ−2. Montrer (vₙ) géométrique. (3) Limite de (uₙ).

Correction

(1) L=(L+4)/3 → 3L=L+4 → L=2. (2) v_{n+1}=u_{n+1}−2=(uₙ+4)/3−2=(uₙ−2)/3=vₙ/3. Géom raison 1/3. (3) vₙ→0 → uₙ→2.

4

Doublement d'une population

● Moyen

Bactéries : N(t)=N₀·2^(t/T) (doublement toutes les T heures). N₀=1000, T=3h. (1) N(9h). (2) Quand N=32000 ?

Correction

(1) N(9)=1000·2³=8000. (2) 2^(t/3)=32=2⁵ → t/3=5 → t=15h.

5

Somme de puissances de 2

● Difficile

Prouver par récurrence que 1+2+4+...+2ⁿ=2^(n+1)−1.

Correction

Init n=0: 1=2¹−1 ✓. Hér: supposer vraie pour n. Ajouter 2^(n+1): (2^(n+1)−1)+2^(n+1)=2^(n+2)−1 ✓.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Suite de Collatz : u₀=n (entier positif). Si uₖ est pair : u_{k+1}=uₖ/2. Si uₖ est impair : u_{k+1}=3uₖ+1.

  1. Exemple : Calculer les 10 premiers termes pour u₀=6.
  2. Exemple : Calculer pour u₀=7 jusqu'à atteindre 1.
  3. Puissances de 2 : Montrer que si u₀=2ⁿ, la suite descend directement à 1 en n étapes.
  4. Conjecture de Collatz : La conjecture dit que la suite atteint toujours 1. Tester pour u₀=27 (indice : il faut 111 étapes).
  5. Lien avec 2ⁿ : Estimer le nombre d'étapes pour u₀=2¹⁰=1024 avant d'atteindre 1.
  6. Modèle simplifié : On suppose que chaque terme est réduit en moyenne d'un facteur (3/4). Après n étapes, u₀×(3/4)ⁿ≈1. Estimer n en fonction de u₀.
Correction
  1. u₀=6: 6→3→10→5→16→8→4→2→1. Atteint 1 en 8 étapes.
  2. u₀=7: 7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1. 16 étapes.
  3. u₀=2ⁿ: 2ⁿ→2^(n−1)→...→2→1. n étapes divisées par 2 à chaque fois. ✓
  4. u₀=27 mène à 1 en 111 étapes (à vérifier sur calculatrice).
  5. 1024=2¹⁰: 10 étapes jusqu'à 1 directement.
  6. u₀×(3/4)ⁿ=1 → n=log(u₀)/log(4/3)=ln(u₀)/ln(4/3). Pour u₀=100: n≈ln100/ln(4/3)≈4,6/0,288≈16.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Repondues
Q1/10

2ⁿ est une suite

Q2/10

Σ_{k=0}^{n−1} qᵏ=

Q3/10

(2ˣ)'=

Q4/10

Si |q|<1, qⁿ→

Q5/10

u_{n+1}=f(uₙ) → si uₙ→L alors

Q6/10

Résoudre 2ˣ=16:

Q7/10

2^(−3)=

Q8/10

lim[x→−∞] 2ˣ=

Q9/10

Suite u₀=1, u_{n+1}=uₙ/2. Limite=

Q10/10

1+2+4+8+...+2ⁿ=