À chaque observation correspond un point (xᵢ;yᵢ) dans le plan. L'ensemble forme le nuage de points.
Point moyen G : G=(x̄;ȳ) avec x̄=Σxᵢ/n et ȳ=Σyᵢ/n. La droite de régression passe toujours par G.
1. Trier les points par xᵢ croissant. 2. Diviser en deux demi-nuages égaux (ou presque). 3. Calculer les points moyens G₁=(x̄₁;ȳ₁) et G₂=(x̄₂;ȳ₂) de chaque demi-nuage. 4. La droite de Mayer passe par G₁ et G₂.
Pente : a=(ȳ₂−ȳ₁)/(x̄₂−x̄₁). Ordonnée à l'origine : b=ȳ₁−a·x̄₁.
La droite d'ajustement y=ax+b permet de prévoir une valeur de y pour un x donné hors de la série.
Fiabilité : plus le nuage est linéaire (allongé), plus la prévision est fiable.
Résidu : eᵢ=yᵢ−(axᵢ+b) (écart entre valeur réelle et valeur prévue).
Données : x=(1,2,3,4,5), y=(3,5,4,7,6). Calculer G=(x̄;ȳ).
x̄=15/5=3. ȳ=25/5=5. G=(3;5).
Même données. Appliquer la méthode de Mayer (demi-nuages de 2 et 3 points).
Trié par x: (1;3),(2;5),(3;4),(4;7),(5;6). G₁=(1,5;4), G₂=(4;17/3). a=(17/3−4)/(4−1,5)=(5/3)/2,5=2/3. b=4−2/3×1,5=3. y=(2/3)x+3.
Avec la droite trouvée, prévoir y pour x=7. Est-ce raisonnable ?
y=(2/3)×7+3=14/3+3=23/3≈7,67. Raisonnable si la tendance linéaire se maintient (interpolation courte).
Pour les 5 points, calculer les résidus eᵢ=yᵢ−ŷᵢ avec ŷᵢ=(2/3)xᵢ+3.
ŷ₁=11/3≈3,67 → e₁=3−11/3=−2/3. ŷ₂=13/3≈4,33 → e₂=5−13/3=2/3. ŷ₃=5 → e₃=−1. ŷ₄=17/3≈5,67 → e₄=4/3. ŷ₅=19/3≈6,33 → e₅=−1/3.
Consommation en litres (x=vitesse km/h, y=L/100km) : (80;6),(90;7),(100;8),(110;9),(120;11),(130;12). Méthode de Mayer. Prévision à 140 km/h.
G₁=((80+90+100)/3 ; (6+7+8)/3)=(90;7). G₂=((110+120+130)/3 ; (9+11+12)/3)=(120;32/3≈10,67). a=(10,67−7)/(120−90)=3,67/30≈0,122. b=7−0,122×90≈7−11=−4. y=0,122x−4. x=140: y≈0,122×140−4≈13,1 L/100km.
Un commerçant suit le chiffre d'affaires (en millions F) sur 10 mois : mois x=1,...,10 et y=12,15,13,17,16,20,19,22,21,25.
10 questions · Correction immédiate
Point moyen G=
Méthode de Mayer : on divise le nuage en
La droite de Mayer passe par
Pente a=(ȳ₂−ȳ₁)/(x̄₂−x̄₁) s'interprète comme
Résidu eᵢ=
La droite d'ajustement est utile pour
Un résidu positif signifie que le point est
b=ȳ−a·x̄ est l'ordonnée à l'origine car la droite
Nuage très allongé → ajustement affine
Prévision pour x=15 avec y=2x+3 :
