Ch. 07 Applications ponctuelles en géométrie — Terminale C Mathématiques

1. Affinité orthogonale — applications

Rappel et constructions

Une affinité orthogonale d'axe Δ et de rapport k transforme un point M en M' tel que MM'⊥Δ et OM'=k·OM_projeté.

Propriété : conserve le parallélisme, les rapports de division sur les droites non⊥Δ, le milieu.

Image d'un cercle par une affinité de rapport k : ellipse de demi-axes a=R et b=kR.

2. Homothéties composées

Composée de deux homothéties

h(A,k₁) ∘ h(B,k₂) :

• Si k₁k₂≠1 : homothétie de rapport k₁k₂ et de centre C=A+k₁(B−A)/(1−k₁k₂) (barycentre de A et B).

• Si k₁k₂=1 (et k₁≠1) : translation de vecteur k₁(B−A)/(k₁−1)... plus généralement : translation.

3. Applications ponctuelles et lieux géométriques

Méthodes

• Image d'une droite par une isométrie/similitude : droite parallèle (rotation/translation) ou quelconque.

• Image d'un cercle : cercle (isométrie, homothétie), ellipse (affinité).

• Lieu géométrique : poser f(M)=M' et exprimer les conditions sur M en termes de M'.

• Intersection de deux lieux : résoudre le système.

4. Parallélisme et orthogonalité préservés

Propriétés conservées

Application affine : conserve le parallélisme (image d'une droite = droite).

Isométrie : conserve les angles, les distances, le parallélisme et l'orthogonalité.

Similitude de rapport k : conserve les angles, multiplie les distances par k.

🧠 À retenir

Affinité(axe,k) : image du cercle R → ellipse demi-axes R et kR
Composée h(A,k₁)∘h(B,k₂) : homothétie si k₁k₂≠1, translation si k₁k₂=1
Lieu géométrique : paramétrer M', exprimer condition sur M
Similitude : conserve angles, multiplie longueurs par k

Image d'un cercle par une affinité

● Facile

Affinité d'axe Ox, rapport k=1/2. Image du cercle C de centre O et rayon 3.

Correction

(x,y)→(x,y/2). Cercle : x²+y²=9. Image : x²+(2Y)²=9 → x²+4Y²=9. Ellipse demi-axes 3 et 3/2.

Composée d'homothéties

● Moyen

h₁=h(A,2) et h₂=h(B,−1) avec A(0,0) et B(3,0). Calculer h₂∘h₁ et l'identifier.

Correction

k₁k₂=−2≠1 → homothétie de rapport −2. Centre: C=A+k₁(B−A)/(1−k₁k₂)=(0,0)+2·(3,0)/(1+2)=(2,0). h₂∘h₁ = h(C(2,0),−2).

Image d'une droite par une similitude

● Moyen

f: z'=(1+i)z+2. f est une similitude directe. (1) Image de la droite Ox (y=0). (2) Image du cercle |z|=1.

Correction

(1) z=t réel. f(t)=(1+i)t+2=t+2+ti → X=t+2, Y=t → Y=X−2. Image: droite y=x−2. (2) |z|=1 → |f(z)−2|=|(1+i)z|=√2|z|=√2. Image: cercle centre 2, rayon √2.

Lieu géométrique

● Moyen

M décrit le cercle de centre A(2,0) et rayon 2. f est la rotation de centre O, angle π/2. Quel est le lieu de f(M) ?

Correction

f(z)=iz. Si |z−2|=2, alors |iz−2i|=2. Lieu de M'=iz : |M'−2i|=2. Cercle de centre (0,2) et rayon 2.

Construction d'un pentagone régulier

● Difficile

Un pentagone régulier a ses sommets sur le cercle de rayon R. (1) Les sommets sont z_k=Re^(2ikπ/5). (2) Montrer que la rotation r=R(O,2π/5) permute cycliquement les sommets. (3) Quel est le centre de la similitude qui envoie le côté z₀z₁ sur le côté z₁z₂ ?

Correction

(1) z_k=Re^(2ikπ/5) pour k=0,...,4 ✓. (2) r(z_k)=e^(2iπ/5)·z_k=z_{k+1 mod 5} ✓. (3) La similitude s:z_{k}→z_{k+1} est z'=e^(2iπ/5)z. Centre=0 (origine). C'est la rotation de centre O d'angle 2π/5.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On cherche le lieu des points M tels que MA²−MB²=k (k constante), avec A(−a,0) et B(a,0).

Expression : Calculer MA²−MB² en coordonnées (x,y).
Simplification : Montrer que le lieu est une droite perpendiculaire à AB. Laquelle ?
Cas k=0 : Retrouver la médiatrice de [AB].
Image par une rotation : Soit r la rotation de centre O, angle π/2. Quelle est l'image de ce lieu ?
Deuxième lieu : Trouver le lieu des M tels que MA/MB=λ (λ>0, λ≠1). Identifier la nature de ce lieu.
Synthèse : Pour a=2, k=8 et λ=2, trouver les points qui vérifient simultanément MA²−MB²=8 et MA/MB=2.

Correction du problème de synthèse

MA²=(x+a)²+y²=x²+2ax+a²+y². MB²=(x−a)²+y²=x²−2ax+a²+y². MA²−MB²=4ax.
4ax=k → x=k/(4a). Droite verticale x=k/(4a), ⊥ à AB (axe Ox).
k=0 → x=0 → axe Oy = médiatrice de [AB] ✓.
r : (x,y)→(−y,x). La droite x=c → l'image est −y=c, soit y=−c. Droite horizontale y=−k/(4a).
MA/MB=λ → MA²=λ²MB² → (x+a)²+y²=λ²[(x−a)²+y²] → (1−λ²)x²+(1−λ²)y²+2a(1+λ²)x+a²(1−λ²)=0. Diviser par (1−λ²): x²+y²+2a(1+λ²)/(1−λ²)·x+a²=0. Cercle d'Apollonius de centre (−a(1+λ²)/(1−λ²),0).
a=2: droite x=8/8=1. λ=2: MA²=4MB². Sur x=1: MA²=(1+2)²+y²=9+y². MB²=(1−2)²+y²=1+y². 9+y²=4(1+y²) → 9+y²=4+4y² → 5=3y² → y²=5/3 → y=±√(5/3). Points: (1,√(5/3)) et (1,−√(5/3)).

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Q1/10

Affinité d'axe Ox, rapport k : image du cercle de rayon R =

Q2/10

h(A,2)∘h(B,3) : rapport de la composée =

Q3/10

Si k₁k₂=1 pour h(A,k₁)∘h(B,k₂) :

Q4/10

Image du cercle |z|=r par f(z)=az+b :

Q5/10

Lieu MA²−MB²=0 =

Q6/10

Similitude conserve

Q7/10

Image d'une droite par une isométrie =

Q8/10

Cercle d'Apollonius : lieu MA/MB=λ (λ≠1) est

Q9/10

Rotation de centre O, angle θ : image de (x,y) =

Q10/10

Pentagone régulier : angle entre 2 sommets consécutifs vu de O =