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Accueil/ Terminale/ Série C/ Mathématiques/ Ch. 08
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1. Parabole

Définition focus-directrice

Parabole de foyer F et directrice d : lieu des points M tels que MF=d(M,d).

Équation canonique (foyer sur Ox) : y²=4px avec p>0. Foyer F(p,0), directrice x=−p.

Paramétrage : x=pt², y=2pt. Tangente en (pt₀²,2pt₀) : y=x/t₀+pt₀.

2. Ellipse

Définition et équation

Ellipse de foyers F₁ et F₂ et de demi-grand axe a : lieu des M tels que MF₁+MF₂=2a.

Équation : x²/a²+y²/b²=1 avec b²=a²−c², c=demi-distance focale (F₁F₂=2c), a>b>0.

Excentricité e=c/a<1. Demi-axes a (horizontal) et b (vertical).

Paramétrage : x=a cosθ, y=b sinθ. Tangente en (a cosθ₀, b sinθ₀) : (x cosθ₀)/a+(y sinθ₀)/b=1.

3. Hyperbole

Définition et équation

Hyperbole de foyers F₁ et F₂ et de demi-axe réel a : lieu des M tels que |MF₁−MF₂|=2a.

Équation : x²/a²−y²/b²=1 avec b²=c²−a². Asymptotes : y=±(b/a)x.

Excentricité e=c/a>1. Paramétrage : x=a/cosθ ou x=a cosh t, y=b sinh t.

Hyperbole équilatère (a=b) : xy=k (rapportée à ses asymptotes).

4. Propriétés optiques

Foyers et réflexion

Ellipse : tout rayon issu de F₁ réfléchi par l'ellipse passe par F₂.

Parabole : tout rayon parallèle à l'axe, réfléchi, passe par F (principe du miroir parabolique).

Hyperbole : un rayon dirigé vers F₁ est réfléchi comme s'il venait de F₂.

🧠 À retenir

  • Parabole : y²=4px, F(p,0), directrice x=−p
  • Ellipse : x²/a²+y²/b²=1, b²=a²−c², e=c/a<1
  • Hyperbole : x²/a²−y²/b²=1, b²=c²−a², asymptotes y=±bx/a
  • Tangente en M₀ sur ellipse : (x₀x)/a²+(y₀y)/b²=1
  • Propriété optique : réflexion à travers les foyers
1

Identification et paramètres

● Facile

Identifier et donner les paramètres (foyers, excentricité) : (1) 9x²+4y²=36. (2) y²=12x. (3) x²−4y²=4.

Correction

(1) x²/4+y²/9=1. a=3, b=2. c=√5. Ellipse, foyers (0,±√5), e=√5/3. (2) y²=12x → 4p=12 → p=3. Parabole, foyer (3,0), dir. x=−3. (3) x²/4−y²=1. a=2, b=1. c=√5. Hyperbole, foyers (±√5,0), e=√5/2, asymptotes y=±x/2.

2

Tangente à une ellipse

● Moyen

Ellipse x²/16+y²/9=1. (1) Tangente en M₀(2,3√3/2). (2) Tangentes de pente m=1/2.

Correction

(1) (2x)/16+(3√3/2·y)/9=1 → x/8+√3y/6=1. (2) Tangente y=mx+n tangente si n²=a²m²+b²=16/4+9=13. n=±√13. Droites: y=x/2±√13.

3

Parabole — paramétrique

● Moyen

Parabole y²=8x. (1) Foyer et directrice. (2) Point A sur la parabole avec t=2. (3) Tangente en A.

Correction

(1) 4p=8 → p=2. F(2,0), dir. x=−2. (2) A=(p·4,2p·2)=(8,8). Vérif: 64=8·8 ✓. (3) y=x/t+pt=x/2+4.

4

Hyperbole — asymptotes

● Moyen

Hyperbole x²/4−y²/9=1. (1) Asymptotes. (2) Intersection avec y=3x/2−1. (3) Excentricité.

Correction

(1) y=±(3/2)x. (2) x²/4−(3x/2−1)²/9=1. Développer: x²/4−(9x²−12x+4)/36=1 → 9x²−(9x²−12x+4)=36 → 12x−4=36 → x=10/3. y=5−1=4. Point (10/3,4). (3) c²=4+9=13. e=√13/2.

5

Propriétés optiques

● Difficile

Ellipse x²/25+y²/16=1. (1) Foyers. (2) Vérifier que M(3,16/5) est sur l'ellipse. (3) MF₁+MF₂. (4) Propriété de réflexion : montrer que F₁M et F₂M font des angles égaux avec la tangente en M.

Correction

(1) c=√(25−16)=3. F₁(−3,0), F₂(3,0). (2) 9/25+256/25·1/16=9/25+16/25=1 ✓. (3) MF₁+MF₂=2a=10. (4) Tangente en M₀(x₀,y₀) : x₀x/25+y₀y/16=1. Vecteur normal n=(x₀/25,y₀/16). Vecteurs F₁M et F₂M. Vérifier que les angles avec n sont égaux (propriété de l'ellipse). La normale en M bisecte l'angle F₁MF₂.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On étudie l'ellipse (E) : x²/25+y²/9=1 et son rapport avec la parabole (P) : y²=6x.

  1. Paramètres de (E) : a, b, c, foyers, excentricité.
  2. Paramètres de (P) : p, foyer, directrice.
  3. Points d'intersection : Trouver les coordonnées des intersections de (E) et (P).
  4. Tangente commune : Une droite y=mx+n est tangente à (E) si n²=25m²+9. Tangente à (P) si n=3/(2m) (tangente de pente m à y²=6x). Trouver la/les tangente(s) communes à (E) et (P).
  5. Foyer commun : Calculer la valeur de p pour que (P) et (E) aient le même foyer droit.
  6. Réflexion : Un rayon lumineux part du foyer gauche F₁ de (E) et frappe (E) au point M(3,12/5). Vers où est-il réfléchi ?
Correction du problème de synthèse
  1. a=5, b=3. c=√(25−9)=4. Foyers F₁(−4,0), F₂(4,0). e=4/5.
  2. y²=6x → 4p=6 → p=3/2. Foyer F_P(3/2,0), directrice x=−3/2.
  3. Subs. y²=6x dans x²/25+6x/9=1 → x²/25+2x/3=1 → 3x²+50x−75=0. Δ=2500+900=3400. x=(−50±√3400)/6=(−50±10√34)/6. Solutions x₁,x₂. Puis y²=6x (deux valeurs ±).
  4. n=3/(2m) et n²=25m²+9. (3/(2m))²=25m²+9 → 9/(4m²)=25m²+9 → 9=100m⁴+36m² → 100m⁴+36m²−9=0. Posons u=m²: 100u²+36u−9=0. Δ=1296+3600=4896. u=(−36+√4896)/200=(−36+12√34)/200. m²=(−9+3√34)/50. Deux tangentes communes.
  5. Foyer droit de (E) : x=4. Foyer de (P) : x=p. p=4 → 4p=16 → y²=16x.
  6. Par la propriété optique de l'ellipse, le rayon issu de F₁ réfléchi par l'ellipse passe par F₂(4,0).

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

Parabole y²=4px : foyer =

Q2/10

Ellipse x²/a²+y²/b²=1, a>b : foyers sur

Q3/10

b² pour l'ellipse =

Q4/10

Excentricité de l'ellipse : e=

Q5/10

Hyperbole x²/4−y²/9=1. Asymptotes =

Q6/10

Tangente en M₀(x₀,y₀) sur x²/a²+y²/b²=1 =

Q7/10

Propriété optique de la parabole : rayon ∥ axe → réfléchi vers

Q8/10

MF₁+MF₂=2a pour l'ellipse : si M sur l'ellipse x²/9+y²/4=1 alors MF₁+MF₂=

Q9/10

y²=4px est une parabole d'axe

Q10/10

Hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes : équation =