Ch. 15 Fonctions logarithmiques — Terminale C Maths — Bibliothèque Numérique by Edutech Congo

1. Logarithme népérien

Définition et propriétés

ln est l'unique primitive de x↦1/x sur ]0;+∞[ s'annulant en 1. ln(1)=0, ln(e)=1.

ln(ab)=ln a+ln b. ln(aʳ)=r·ln a. ln(1/a)=−ln a.

(ln u)'=u'/u. ∫u'/u dx=ln|u|+C. ∫1/(ax+b)dx=(1/a)ln|ax+b|+C.

2. Limites et croissances comparées

Résultats fondamentaux

lim[x→0⁺] ln x=−∞. lim[x→+∞] ln x=+∞. lim[x→0⁺] x·ln x=0.

lim[x→+∞] ln x/xᵅ=0 (tout α>0). lim[x→0] ln(1+x)/x=1.

Inégalité fondamentale : ln x≤x−1 pour tout x>0 (égalité ssi x=1).

3. Logarithme de base a et applications

log_a et changement de base

log_a(x)=ln x/ln a (a>0, a≠1). (log_a x)'=1/(x·ln a).

Intégration : ∫tan x dx=−ln|cos x|+C. ∫cot x dx=ln|sin x|+C.

Application : pH=−log₁₀[H₃O⁺] (chimie). Décibels : L=10·log₁₀(I/I₀).

🧠 À retenir

ln(ab)=ln a+ln b ; (ln u)'=u'/u ; ∫u'/u=ln|u|+C
lim x·ln x=0 (x→0⁺) ; lim ln x/xᵅ=0 (x→+∞)
ln x≤x−1 (inégalité fondamentale)
log_a(x)=ln x/ln a ; ∫tan x=−ln|cos x|+C

Dérivées avec ln

● Facile

(1) f(x)=ln(x²+1). (2) g(x)=x²·ln x−x²/2. (3) h(x)=ln|sin x|. (4) k(x)=[ln(x)]³.

Correction

2x/(x²+1).
2x·ln x+x²/x−x=2x·ln x+x−x=2x·ln x.
cos x/sin x=cot x.
3[ln x]²·(1/x).

Primitives avec ln

● Moyen

(1) ∫x/(x²+3)dx. (2) ∫(2x+1)/(x²+x−2)dx. (3) ∫tan²x dx.

Correction

(1) (1/2)ln(x²+3)+C. (2) (x²+x−2)'=2x+1 → ln|x²+x−2|+C. (3) tan²x=1/cos²x−1 → tan x−x+C.

Étude de f(x)=x−ln x

● Moyen

(1) Domaine et dérivée. (2) Variations et minimum. (3) Équation f(x)=2. (4) Inégalité : montrer ln x≤x−1.

Correction

(1) D=]0;+∞[. f'=1−1/x=(x−1)/x. (2) Min en x=1 : f(1)=1. (3) x−ln x=2 → deux solutions (une dans ]0;1[, une dans ]1;+∞[). (4) f(x)≥f(1)=1 → x−ln x≥1 → ln x≤x−1. ✓

Équations logarithmiques

● Moyen

(1) ln(x+2)+ln(x−1)=ln 4. (2) 2ln x=ln(3x−2). (3) ln x+ln(1/x+1)=0.

Correction

(1) ln[(x+2)(x−1)]=ln4 → x²+x−6=0 → x=2 (x>1). (2) ln x²=ln(3x−2) → x²=3x−2 → x=1 ou x=2. (3) ln[x(1/x+1)]=0 → x·(1/x+1)=1 → 1+x=1 → x=0. Hors dom. Pas de sol.

Intégrale et ln

● Difficile

Calculer ∫₁ᵉ (ln x)²dx. (Utiliser deux IPP successives.)

Correction

IPP1: u'=1, v=(ln x)². [x(ln x)²]₁ᵉ−∫₁ᵉ x·2(ln x)·(1/x)dx=e−2∫₁ᵉ ln x dx. IPP2: ∫₁ᵉ ln x dx=[x·ln x−x]₁ᵉ=0−(−1)=1. Résultat: e−2·1=e−2.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Soit f(x)=ln x/x définie sur ]0;+∞[.

Limites : lim[x→0⁺] f(x) et lim[x→+∞] f(x). Asymptotes.
Dérivée : Calculer f'(x). Variations et maximum.
Inégalité fondamentale : Montrer que ln x≤x/e pour tout x>0. En déduire que pour a,b>0 : aᵇ≤(aᵇ/e)·e.
Inflexion : Calculer f''(x). Point d'inflexion.
Intégrale : Calculer ∫₁ᵉ (ln x)/x dx. (Substitution u=ln x.)
Application : En posant x=eᵅ, montrer que l'inégalité ln x≤x/e est équivalente à α≤eᵅ⁻¹, et interpréter géométriquement.

Correction du problème de synthèse

lim[x→0⁺] ln x/x=−∞/0⁺=−∞. lim[x→+∞] ln x/x=0 (croissance comparée). AH en +∞: y=0.
f'=(1/x·x−ln x)/x²=(1−ln x)/x². f'>0 si x<e, f'<0 si x>e. Max en x=e : f(e)=1/e.
Max de f = 1/e : ln x/x≤1/e → ln x≤x/e ∀x>0. Avec x=aᵇ: ln(aᵇ)/aᵇ≤1/e → b·ln a≤aᵇ/e.
f''=(−1/x·x²−(1−ln x)·2x)/x⁴=(−1−2(1−ln x))/x³=(2ln x−3)/x³. f''=0 → ln x=3/2 → x=e^(3/2). Point d'inflexion en (e^(3/2), 3/(2e^(3/2))).
u=ln x, du=dx/x. ∫₁ᵉ (ln x)/x dx=∫₀¹ u du=[u²/2]₀¹=1/2.
x=eᵅ: ln(eᵅ)=α≤eᵅ/e=eᵅ⁻¹. Géométriquement: la courbe y=eˣ est au-dessus de sa tangente en x=0 (y=ex+1? Non: la tangente en x=0 est y=x+1. Mais ici α≤eᵅ⁻¹ dit que la droite y=α (passant par O de pente 1) est sous la courbe y=eˣ⁻¹).

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Q1/10

(ln x)'=

Q2/10

ln(ab)=

Q3/10

∫u'/u dx=

Q4/10

lim[x→0⁺] x·ln x=

Q5/10

ln x≤x−1 (inégalité fondamentale) : égalité ssi

Q6/10

∫tan x dx=

Q7/10

log_a(x)=

Q8/10

lim[x→+∞] ln x/√x=

Q9/10

∫₁ᵉ (ln x)/x dx=

Q10/10

lim[x→0] ln(1+x)/x=