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Accueil/ Terminale/ Série C/ Mathématiques/ Ch. 15
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1. Logarithme népérien

Définition et propriétés

ln est l'unique primitive de x↦1/x sur ]0;+∞[ s'annulant en 1. ln(1)=0, ln(e)=1.

ln(ab)=ln a+ln b. ln(aʳ)=r·ln a. ln(1/a)=−ln a.

(ln u)'=u'/u. ∫u'/u dx=ln|u|+C. ∫1/(ax+b)dx=(1/a)ln|ax+b|+C.

2. Limites et croissances comparées

Résultats fondamentaux

lim[x→0⁺] ln x=−∞. lim[x→+∞] ln x=+∞. lim[x→0⁺] x·ln x=0.

lim[x→+∞] ln x/xᵅ=0 (tout α>0). lim[x→0] ln(1+x)/x=1.

Inégalité fondamentale : ln x≤x−1 pour tout x>0 (égalité ssi x=1).

3. Logarithme de base a et applications

log_a et changement de base

log_a(x)=ln x/ln a (a>0, a≠1). (log_a x)'=1/(x·ln a).

Intégration : ∫tan x dx=−ln|cos x|+C. ∫cot x dx=ln|sin x|+C.

Application : pH=−log₁₀[H₃O⁺] (chimie). Décibels : L=10·log₁₀(I/I₀).

🧠 À retenir

  • ln(ab)=ln a+ln b ; (ln u)'=u'/u ; ∫u'/u=ln|u|+C
  • lim x·ln x=0 (x→0⁺) ; lim ln x/xᵅ=0 (x→+∞)
  • ln x≤x−1 (inégalité fondamentale)
  • log_a(x)=ln x/ln a ; ∫tan x=−ln|cos x|+C
1

Dérivées avec ln

● Facile

(1) f(x)=ln(x²+1). (2) g(x)=x²·ln x−x²/2. (3) h(x)=ln|sin x|. (4) k(x)=[ln(x)]³.

Correction
  1. 2x/(x²+1).
  2. 2x·ln x+x²/x−x=2x·ln x+x−x=2x·ln x.
  3. cos x/sin x=cot x.
  4. 3[ln x]²·(1/x).
2

Primitives avec ln

● Moyen

(1) ∫x/(x²+3)dx. (2) ∫(2x+1)/(x²+x−2)dx. (3) ∫tan²x dx.

Correction

(1) (1/2)ln(x²+3)+C. (2) (x²+x−2)'=2x+1 → ln|x²+x−2|+C. (3) tan²x=1/cos²x−1 → tan x−x+C.

3

Étude de f(x)=x−ln x

● Moyen

(1) Domaine et dérivée. (2) Variations et minimum. (3) Équation f(x)=2. (4) Inégalité : montrer ln x≤x−1.

Correction

(1) D=]0;+∞[. f'=1−1/x=(x−1)/x. (2) Min en x=1 : f(1)=1. (3) x−ln x=2 → deux solutions (une dans ]0;1[, une dans ]1;+∞[). (4) f(x)≥f(1)=1 → x−ln x≥1 → ln x≤x−1. ✓

4

Équations logarithmiques

● Moyen

(1) ln(x+2)+ln(x−1)=ln 4. (2) 2ln x=ln(3x−2). (3) ln x+ln(1/x+1)=0.

Correction

(1) ln[(x+2)(x−1)]=ln4 → x²+x−6=0 → x=2 (x>1). (2) ln x²=ln(3x−2) → x²=3x−2 → x=1 ou x=2. (3) ln[x(1/x+1)]=0 → x·(1/x+1)=1 → 1+x=1 → x=0. Hors dom. Pas de sol.

5

Intégrale et ln

● Difficile

Calculer ∫₁ᵉ (ln x)²dx. (Utiliser deux IPP successives.)

Correction

IPP1: u'=1, v=(ln x)². [x(ln x)²]₁ᵉ−∫₁ᵉ x·2(ln x)·(1/x)dx=e−2∫₁ᵉ ln x dx. IPP2: ∫₁ᵉ ln x dx=[x·ln x−x]₁ᵉ=0−(−1)=1. Résultat: e−2·1=e−2.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Soit f(x)=ln x/x définie sur ]0;+∞[.

  1. Limites : lim[x→0⁺] f(x) et lim[x→+∞] f(x). Asymptotes.
  2. Dérivée : Calculer f'(x). Variations et maximum.
  3. Inégalité fondamentale : Montrer que ln x≤x/e pour tout x>0. En déduire que pour a,b>0 : aᵇ≤(aᵇ/e)·e.
  4. Inflexion : Calculer f''(x). Point d'inflexion.
  5. Intégrale : Calculer ∫₁ᵉ (ln x)/x dx. (Substitution u=ln x.)
  6. Application : En posant x=eᵅ, montrer que l'inégalité ln x≤x/e est équivalente à α≤eᵅ⁻¹, et interpréter géométriquement.
Correction du problème de synthèse
  1. lim[x→0⁺] ln x/x=−∞/0⁺=−∞. lim[x→+∞] ln x/x=0 (croissance comparée). AH en +∞: y=0.
  2. f'=(1/x·x−ln x)/x²=(1−ln x)/x². f'>0 si x<e, f'<0 si x>e. Max en x=e : f(e)=1/e.
  3. Max de f = 1/e : ln x/x≤1/e → ln x≤x/e ∀x>0. Avec x=aᵇ: ln(aᵇ)/aᵇ≤1/e → b·ln a≤aᵇ/e.
  4. f''=(−1/x·x²−(1−ln x)·2x)/x⁴=(−1−2(1−ln x))/x³=(2ln x−3)/x³. f''=0 → ln x=3/2 → x=e^(3/2). Point d'inflexion en (e^(3/2), 3/(2e^(3/2))).
  5. u=ln x, du=dx/x. ∫₁ᵉ (ln x)/x dx=∫₀¹ u du=[u²/2]₀¹=1/2.
  6. x=eᵅ: ln(eᵅ)=α≤eᵅ/e=eᵅ⁻¹. Géométriquement: la courbe y=eˣ est au-dessus de sa tangente en x=0 (y=ex+1? Non: la tangente en x=0 est y=x+1. Mais ici α≤eᵅ⁻¹ dit que la droite y=α (passant par O de pente 1) est sous la courbe y=eˣ⁻¹).

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

(ln x)'=

Q2/10

ln(ab)=

Q3/10

∫u'/u dx=

Q4/10

lim[x→0⁺] x·ln x=

Q5/10

ln x≤x−1 (inégalité fondamentale) : égalité ssi

Q6/10

∫tan x dx=

Q7/10

log_a(x)=

Q8/10

lim[x→+∞] ln x/√x=

Q9/10

∫₁ᵉ (ln x)/x dx=

Q10/10

lim[x→0] ln(1+x)/x=

1

Calculs directs avec ln

● Facile

1. Calculer : ln(1/e) ; ln√e ; ln(e√e) ; ln(√e/e).

2. Simplifier : ln e³−ln e² ; 5ln(1/e)+4ln(e√e).

Correction

1. ln(1/e)=ln(e⁻¹)=−1. ln√e=ln(e^(1/2))=1/2. ln(e√e)=ln(e^(3/2))=3/2. ln(√e/e)=ln(e^(−1/2))=−1/2.

2. ln e³−ln e²=3−2=1. 5ln(1/e)+4ln(e√e)=5×(−1)+4×(3/2)=−5+6=1.

2

Simplifier des sommes de logarithmes

● Facile

Simplifier les sommes suivantes, sans calculatrice.

  1. ln(√3+1)+ln(√3−1)
  2. ln(2+√3)+ln(2−√3)
  3. ln((√5+1)/2)+ln((√5−1)/2)
Correction

On regroupe chaque somme en un seul logarithme grâce à ln a+ln b=ln(ab), puis on reconnaît l'identité (a+b)(a−b)=a²−b².

  1. ln[(√3+1)(√3−1)]=ln(3−1)=ln2.
  2. ln[(2+√3)(2−√3)]=ln(4−3)=ln1=0.
  3. ln[((√5+1)/2)×((√5−1)/2)]=ln[(5−1)/4]=ln1=0.
3

Comparer sans calculatrice

● Facile

Comparer les nombres réels x et y suivants, sans utiliser de calculatrice.

  1. x=ln5 et y=ln2+ln3
  2. x=3ln2 et y=2ln3
  3. x=4ln3 et y=4ln2+ln5
  4. x=ln√e et y=1/3
Correction

ln étant strictement croissante sur ]0;+∞[, comparer x et y revient à comparer les arguments après avoir tout écrit sous forme d'un seul logarithme (ou d'un nombre).

  1. y=ln2+ln3=ln6. Comme 5<6, x<y.
  2. x=3ln2=ln8 ; y=2ln3=ln9. Comme 8<9, x<y.
  3. x=4ln3=ln81 ; y=4ln2+ln5=ln16+ln5=ln80. Comme 81>80, x>y.
  4. x=ln√e=1/2. Comme 1/2>1/3, x>y.
4

Ensembles de définition

● Moyen

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f dans chacun des cas suivants.

  1. f(x)=ln(x²)
  2. f(x)=ln x+ln(x+1)
  3. f(x)=ln[x(x+1)]
  4. f(x)=ln[(x−1)/(2−x)]
Correction
  1. Il faut x²>0, c'est-à-dire x≠0. Df=ℝ\{0}=]−∞;0[∪]0;+∞[.
  2. Il faut x>0 et x+1>0, donc x>0. Df=]0;+∞[.
  3. Il faut x(x+1)>0, soit x<−1 ou x>0 (produit de facteurs de même signe). Df=]−∞;−1[∪]0;+∞[.
  4. Il faut (x−1)/(2−x)>0. Tableau de signes (racines 1 et 2) : le quotient est positif entre les racines. Df=]1;2[.
5

Résoudre des équations logarithmiques

● Moyen

Résoudre dans ℝ les équations suivantes.

  1. (x−2)ln(x−2)=0
  2. ln(x²−x−1)=0
  3. ln(x+3)+ln(x+5)=ln15
  4. ln(x+2)+ln(x−2)=ln45
Correction
  1. Domaine : x>2. Un produit est nul si l'un des facteurs est nul : x−2=0 donne x=2, exclu du domaine (ln(0) n'existe pas) ; ln(x−2)=0 donne x−2=1, soit x=3. S={3}.
  2. Domaine : x²−x−1>0. ln(x²−x−1)=0 ⟺ x²−x−1=1 ⟺ x²−x−2=0 ⟺ (x−2)(x+1)=0 ⟺ x=2 ou x=−1. Les deux valeurs vérifient x²−x−1>0. S={−1;2}.
  3. Domaine : x>−3. ln[(x+3)(x+5)]=ln15 ⟺ (x+3)(x+5)=15 ⟺ x²+8x=0 ⟺ x(x+8)=0 ⟺ x=0 ou x=−8. x=−8 rejeté (hors domaine). S={0}.
  4. Domaine : x>2. ln[(x+2)(x−2)]=ln45 ⟺ x²−4=45 ⟺ x²=49 ⟺ x=7 ou x=−7. Seul x=7 est dans le domaine. S={7}.
1

Dérivées de fonctions avec ln

● Moyen

Préciser l'ensemble de dérivabilité de f, puis déterminer f'(x).

  1. f(x)=x ln|x|
  2. f(x)=√(ln x)
  3. f(x)=(ln x)/x
  4. f(x)=1/(x ln x)
Correction
  1. D=ℝ* (x≠0). f'(x)=ln|x|+x×(1/x)=ln|x|+1.
  2. Il faut ln x>0 pour la dérivabilité (racine carrée non dérivable en 0), donc x>1. D'=]1;+∞[. f'(x)=(1/x)/(2√(ln x))=1/(2x√(ln x)).
  3. D=]0;+∞[. f'(x)=[(1/x)·x−ln x·1]/x²=(1−ln x)/x².
  4. D=]0;+∞[\{1} (car ln x≠0). Avec u=x ln x, u'=ln x+1 : f=1/u donc f'=−u'/u²=−(ln x+1)/(x ln x)².
2

Dérivées de compositions avec ln

● Moyen

Préciser l'ensemble de dérivabilité de f, puis déterminer f'(x).

  1. f(x)=ln(2x+1)
  2. f(x)=ln(2x²−3x+4)
  3. f(x)=ln[(x+1)/(x−2)]
  4. f(x)=cos(ln x)
Correction
  1. Il faut 2x+1>0, soit x>−1/2. D=]−1/2;+∞[. f'(x)=2/(2x+1).
  2. Discriminant de 2x²−3x+4 : Δ=9−32=−23<0, coefficient dominant positif donc 2x²−3x+4>0 pour tout x. D=ℝ. f'(x)=(4x−3)/(2x²−3x+4).
  3. Il faut (x+1)/(x−2)>0, soit x<−1 ou x>2. D=]−∞;−1[∪]2;+∞[. Avec u=(x+1)/(x−2), u'=[(x−2)−(x+1)]/(x−2)²=−3/(x−2)² : f'=u'/u=−3/[(x−2)(x+1)].
  4. D=]0;+∞[. f'(x)=−sin(ln x)×(1/x)=−sin(ln x)/x.
3

Limites en +∞

● Moyen

Calculer les limites suivantes en +∞.

  1. lim ln(3x)−ln(x+1)
  2. lim ln(x²+1)/x
  3. lim (ln x)/√x
  4. lim x·ln(1+1/x)
Correction
  1. ln(3x)−ln(x+1)=ln[3x/(x+1)]. Or 3x/(x+1)→3, donc la limite vaut ln3.
  2. ln(x²+1)=2ln x+ln(1+1/x²), donc ln(x²+1)/x=2ln x/x+ln(1+1/x²)/x. Les deux termes tendent vers 0 (croissance comparée). Limite=0.
  3. Croissance comparée usuelle (α=1/2>0) : 0.
  4. Poser t=1/x→0⁺ : x·ln(1+1/x)=ln(1+t)/t→1 (limite usuelle).
4

Limites en 0

● Difficile

Calculer les limites suivantes en 0 (à droite si nécessaire).

  1. lim[x→0] ln(1+x²)/x²
  2. lim[x→0] ln(x²+1)/x
  3. lim[x→0] ln(1+3x)/(2x)
  4. lim[x→0⁺] x²ln(3x)
Correction
  1. Limite usuelle lim[u→0] ln(1+u)/u=1 avec u=x²→0. Limite=1.
  2. Au voisinage de 0, ln(x²+1)~x², donc ln(x²+1)/x~x²/x=x→0. Limite=0.
  3. ln(1+3x)~3x au voisinage de 0, donc ln(1+3x)/(2x)~3x/(2x)=3/2. Limite=3/2.
  4. Poser t=3x→0⁺ : x²ln(3x)=(t/3)²ln t=(t²/9)ln t→0 (croissance comparée t²ln t→0).
5

Primitives faisant intervenir ln

● Difficile

Déterminer les primitives de f sur l'intervalle K indiqué.

  1. f(x)=(ln x)/x, K=]0;+∞[
  2. f(x)=1/(x ln x), K=]1;+∞[
  3. f(x)=(sin x+cos x)/(sin x−cos x), K=]π/4;π/2[
Correction
  1. f(x)=ln x×(1/x)=u·u' avec u=ln x. Une primitive est (ln x)²/2 + C.
  2. f(x)=(1/x)/ln x=u'/u avec u=ln x. Sur K, ln x>0. Une primitive est ln(ln x) + C.
  3. Avec u=sin x−cos x, u'=cos x+sin x, donc f=u'/u. Sur K, sin x>cos x donc u>0. Une primitive est ln(sin x−cos x) + C.
1

Décomposition et primitive (I)

● Difficile

Soit f(x)=(2x²−x−2)/(2x²+3x+1).

  1. Déterminer trois réels a, b, c tels que, pour tout x∈ℝ\{−1;−1/2}, f(x)=a+b/(2x+1)+c/(x+1).
  2. En déduire les primitives de f sur ]−1/2;+∞[.
Correction

2x²+3x+1=(2x+1)(x+1).

  1. Division : 2x²−x−2 = 1×(2x²+3x+1) + (−4x−3), donc a=1 et (−4x−3)/[(2x+1)(x+1)]=b/(2x+1)+c/(x+1). En réduisant au même dénominateur : −4x−3=b(x+1)+c(2x+1). Par identification : b+2c=−4 et b+c=−3, d'où c=−1 et b=−2. a=1, b=−2, c=−1, soit f(x)=1−2/(2x+1)−1/(x+1).
  2. Sur ]−1/2;+∞[, 2x+1>0 et x+1>0. Une primitive est F(x)=x−ln(2x+1)−ln(x+1)+C.
2

Décomposition et primitive (II)

● Difficile

Soit f(x)=(x²−4x+2)/(x−3)².

  1. Déterminer trois réels a, b, c tels que, pour tout x≠3, f(x)=a+b/(x−3)+c/(x−3)².
  2. En déduire la primitive F de f sur ]−∞;3[ telle que F(2)=5.
Correction
  1. Poser u=x−3 (x=u+3) : x²−4x+2=(u+3)²−4(u+3)+2=u²+2u−1. Donc f=(u²+2u−1)/u²=1+2/u−1/u². a=1, b=2, c=−1.
  2. Sur ]−∞;3[ (où x−3<0, donc |x−3|=3−x), une primitive est F(x)=x+2ln(3−x)+1/(x−3)+C. F(2)=2+2ln(1)+1/(−1)+C=2+0−1+C=1+C. F(2)=5 ⟹ C=4. F(x)=x+2ln(3−x)+1/(x−3)+4.
3

Étude de f(x)=x ln|x|

● Difficile

Soit f la fonction définie par f(x)=x ln|x| si x≠0, et f(0)=0.

  1. Justifier que f est continue en 0.
  2. Démontrer que f est impaire.
  3. Étudier les variations de f sur ℝ* et préciser ses limites en +∞ et −∞. La fonction est-elle dérivable en 0 ?
Correction
  1. lim[t→0⁺] t ln t=0 (limite usuelle). Pour x→0⁺, f(x)=x ln x→0. Pour x→0⁻, en posant x=−t (t→0⁺), f(x)=−t ln t→0. Donc lim[x→0] f(x)=0=f(0) : f est continue en 0.
  2. Pour x≠0 : f(−x)=(−x)ln|−x|=−x ln|x|=−f(x), et f(−0)=f(0)=0=−f(0). Donc f est impaire.
  3. Pour x>0 : f(x)=x ln x, f'(x)=ln x+1, nul en x=1/e. f'<0 sur ]0;1/e[, f'>0 sur ]1/e;+∞[ : minimum local en x=1/e, f(1/e)=−1/e. lim[x→+∞] f(x)=+∞.
    Pour x<0 (f(x)=x ln(−x), f'(x)=ln(−x)+1) : f' s'annule en x=−1/e, f'>0 sur ]−∞;−1/e[, f'<0 sur ]−1/e;0[ : maximum local en x=−1/e, f(−1/e)=1/e (cohérent avec l'imparité). lim[x→−∞] f(x)=−∞.
    f est donc croissante sur ]−∞;−1/e], décroissante sur [−1/e;1/e] (en passant par 0), puis croissante sur [1/e;+∞[.
    Dérivabilité en 0 : [f(x)−f(0)]/x=ln|x|→−∞ quand x→0. Le taux d'accroissement diverge : f n'est pas dérivable en 0 (tangente verticale à l'origine).
★

Étude complète et centre de symétrie

● Niveau Bac

Soit f la fonction définie par f(x)=ln(x+1)−ln(3−x), de courbe représentative (%).

  1. Domaine et sens de variation : Déterminer l'ensemble de définition D de f. Calculer f'(x) et étudier son signe sur D. En déduire les limites de f aux bornes de D.
  2. Intersection avec (OI) : Démontrer que (%) coupe l'axe (OI) en un unique point Ω dont on précisera les coordonnées.
  3. Centre de symétrie : Démontrer que Ω est un centre de symétrie de (%), c'est-à-dire que f(2−x)=−f(x) pour tout x∈D.
  4. Tangente en Ω : Donner une équation de la tangente (T) à (%) en Ω.
  5. Résolution approchée : Démontrer que l'équation f(x)=1 admet une solution unique α, et donner un encadrement de α à 10⁻¹ près.
  6. Concavité et résolution graphique : Calculer f''(x) et étudier son signe. En déduire la position de (%) par rapport à (T), puis résoudre l'inéquation x−1≤f(x).
Correction du problème de synthèse
  1. Il faut x+1>0 et 3−x>0, soit D=]−1;3[. f(x)=ln[(x+1)/(3−x)]. f'(x)=1/(x+1)+1/(3−x)=[(3−x)+(x+1)]/[(x+1)(3−x)]=4/[(x+1)(3−x)]. Sur D, (x+1)>0 et (3−x)>0 donc f'(x)>0 : f est strictement croissante sur D. lim[x→−1⁺]f(x)=−∞, lim[x→3⁻]f(x)=+∞. f réalise une bijection de D vers ℝ.
  2. f(x)=0 ⟺ ln(x+1)=ln(3−x) ⟺ x+1=3−x ⟺ x=1. Par stricte croissance, cette solution est unique : Ω(1;0).
  3. f(2−x)=ln((2−x)+1)−ln(3−(2−x))=ln(3−x)−ln(1+x)=−[ln(x+1)−ln(3−x)]=−f(x). Cette égalité traduit exactement la symétrie par rapport au point Ω(1;0). ✓
  4. f'(1)=4/[(1+1)(3−1)]=4/4=1. Tangente en Ω(1;0) : y=f'(1)(x−1)+f(1)=1×(x−1)+0. (T) : y=x−1.
  5. f est continue et strictement croissante sur D=]−1;3[, de limites −∞ et +∞ : par le théorème de la bijection, f(x)=1 admet une unique solution α. f(1,9)=ln(2,9)−ln(1,1)≈1,065−0,095≈0,97<1 et f(2,0)=ln3−ln1=ln3≈1,10>1. Donc 1,9<α<2,0 (α≈1,92).
  6. f''(x)=8(x−1)/[(x+1)(3−x)]² (le dénominateur est toujours positif). f''<0 sur ]−1;1[ (concave), f''>0 sur ]1;3[ (convexe) : x=1 est un point d'inflexion, (%) traverse (T) en Ω. Une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes, une courbe concave est en-dessous : (%) est en dessous de (T) sur ]−1;1[ et au-dessus de (T) sur ]1;3[. L'inéquation x−1≤f(x) équivaut à « (%) au-dessus de (T) » : S=[1;3[.
5

Application : magnitude d'un séisme

● Difficile

L'énergie E (en joules) libérée au foyer d'un séisme de magnitude M (échelle de Richter) vérifie : log E = 11,4 + 1,5M (log en base 10).

  1. Comparer les énergies libérées par deux séismes de magnitudes respectives 3 et 7.
  2. Le séisme de Skopje (1963) a libéré une énergie 1000 fois supérieure à celle d'un séisme de magnitude 4. Calculer sa magnitude.
  3. Comparer les énergies des séismes de Skopje (M=6), de Los Angeles 1971 (M=7,5) et de Lisbonne 1755 (M=9).
Correction
  1. E(M)=10^(11,4+1,5M). E(7)/E(3)=10^(1,5×4)=10⁶. Le séisme de magnitude 7 libère un million de fois plus d'énergie que celui de magnitude 3.
  2. ESkopje=1000×E(4), donc log ESkopje=3+11,4+1,5×4=20,4. Or log ESkopje=11,4+1,5M, donc 1,5M=9 ⟹ M=6.
  3. E(9)/E(6)=10^(1,5×3)=10^4,5≈31 623 : Lisbonne a libéré environ 31 600 fois plus d'énergie que Skopje. E(9)/E(7,5)=10^(1,5×1,5)=10^2,25≈178 : Lisbonne a libéré environ 178 fois plus d'énergie que Los Angeles. (On note aussi E(7,5)/E(6)=10^2,25≈178 : le même écart de 1,5 magnitude correspond toujours au même facteur d'énergie.)