Bibliothèque Numérique by Edutech Congo
BIBLIOTHÈQUE NUMÉRIQUE
by Edutech Congo
Accueil/ Terminale/ Série C/ Mathématiques/ Ch. 16
←PrécédentCh. 15 — Fonctions logarithmiques 📚 Tous les chapitres SuivantCh. 17 — Étude complète de fonctions — courbes planes→

1. Fonction exponentielle népérienne

Définition

La fonction exponentielle népérienne, notée exp ou x↦eˣ, est la fonction réciproque de ln sur ℝ : pour tout x∈ℝ, ln(eˣ)=x ; pour tout x>0, e^(ln x)=x. On a e⁰=1 et e¹=e≈2,71828.

Propriétés algébriques

e^(a+b)=eᵃ·eᵇ. e^(−a)=1/eᵃ. e^(a−b)=eᵃ/eᵇ. (eᵃ)ʳ=e^(ar) (r∈ℚ).

Dérivée, sens de variation, limites

(eˣ)'=eˣ > 0 sur ℝ : exp est strictement croissante sur ℝ. (e^u)'=u'·e^u.

lim[x→+∞] eˣ=+∞. lim[x→−∞] eˣ=0 (asymptote horizontale y=0 en −∞).

Croissances comparées : lim[x→+∞] eˣ/xⁿ=+∞ (n∈ℕ*) ; lim[x→−∞] xⁿ·eˣ=0 ; lim[x→0] (eˣ−1)/x=1.

Primitives

∫eˣdx=eˣ+C. ∫u'·e^u dx=e^u+C.

2. Fonction exponentielle de base a

Définition

Pour a>0, la fonction exponentielle de base a est définie sur ℝ par aˣ=e^(x·ln a).

Dérivée et variations

(aˣ)'=(ln a)·aˣ. Si a>1 : ln a>0, aˣ est strictement croissante. Si 0<a<1 : ln a<0, aˣ est strictement décroissante. Cas a=e : on retrouve exp.

Exemple

2ˣ=e^(x·ln2). (2ˣ)'=(ln2)·2ˣ. À x=3 : 2³=8, dérivée=ln2×8≈5,545.

3. Fonctions hyperboliques

Définitions

ch x=(eˣ+e⁻ˣ)/2 (cosinus hyperbolique). sh x=(eˣ−e⁻ˣ)/2 (sinus hyperbolique). th x=sh x/ch x (tangente hyperbolique).

Propriétés fondamentales

Relation fondamentale : ch²x−sh²x=1 pour tout x∈ℝ (car (eˣ+e⁻ˣ)²−(eˣ−e⁻ˣ)²=4).

Parité : ch est paire (ch(−x)=ch x), sh est impaire (sh(−x)=−sh x), th est impaire.

Dérivées : (ch x)'=sh x. (sh x)'=ch x. (th x)'=1−th²x=1/ch²x.

ch(0)=1, sh(0)=0, th(0)=0. Pour tout x, ch x≥1.

FonctionParitéDérivéeValeur en 0
ch xpairesh x1
sh ximpairech x0
th ximpaire1−th²x0

4. Une limite fondamentale : (1+1/x)ˣ → e

Résultat

lim[x→+∞] (1+1/x)ˣ=e. Cette limite, souvent utilisée en modélisation des intérêts composés, se démontre à l'aide de ln et de la limite lim[u→0] ln(1+u)/u=1 (voir le problème de synthèse).

🧠 À retenir

  • e^(a+b)=eᵃ·eᵇ ; (eˣ)'=eˣ ; ∫eˣdx=eˣ+C
  • Croissances comparées : eˣ/xⁿ→+∞ (x→+∞) ; xⁿeˣ→0 (x→−∞)
  • aˣ=e^(x ln a) ; (aˣ)'=(ln a)·aˣ
  • ch²x−sh²x=1 ; (ch x)'=sh x ; (sh x)'=ch x
  • lim[x→+∞] (1+1/x)ˣ=e
1

Dérivées avec exponentielles

● Facile

Calculer les dérivées de : (1) f(x)=e^(2x+1). (2) g(x)=x·eˣ. (3) h(x)=e^(x²). (4) k(x)=eˣ/x (x≠0).

Correction
  1. f'(x)=2e^(2x+1).
  2. g'(x)=eˣ+x·eˣ=(1+x)eˣ.
  3. h'(x)=2x·e^(x²).
  4. k'(x)=(eˣ·x−eˣ·1)/x²=eˣ(x−1)/x².
2

Limites et croissances comparées

● Moyen

Calculer : (1) lim[x→+∞] x²e⁻ˣ. (2) lim[x→−∞] x·eˣ. (3) lim[x→0] (eˣ−1)/x. (4) lim[x→+∞] (eˣ−1)/(2x).

Correction
  1. x²e⁻ˣ=x²/eˣ→0 (croissance comparée, eˣ l'emporte sur x²).
  2. x·eˣ→0 (croissance comparée en −∞).
  3. (eˣ−1)/x→1 (limite fondamentale, nombre dérivé de exp en 0).
  4. (eˣ−1)/(2x)→+∞ (car eˣ/x→+∞ et le −1/(2x) est négligeable).
3

Équations exponentielles

● Moyen

Résoudre dans ℝ : (1) e^(2x)−3eˣ+2=0. (2) 2ˣ=8. (3) eˣ·e^(x+1)=e³.

Correction
  1. Poser t=eˣ>0 : t²−3t+2=0 → (t−1)(t−2)=0 → t=1 ou t=2. eˣ=1→x=0. eˣ=2→x=ln2.
    Solutions : x=0 ou x=ln2.
  2. 2ˣ=2³ → x=3 (par stricte croissance de t↦2ᵗ, ou en passant au ln).
  3. e^(2x+1)=e³ → 2x+1=3 → x=1.
4

Fonctions hyperboliques

● Moyen

(1) Démontrer que ch²x−sh²x=1 pour tout x∈ℝ. (2) Calculer la dérivée de th x à partir de celles de sh et ch. (3) Résoudre ch x=2 (on donnera la valeur exacte de x à l'aide de ln).

Correction
  1. ch²x−sh²x=[(eˣ+e⁻ˣ)/2]²−[(eˣ−e⁻ˣ)/2]²=(1/4)[(eˣ+e⁻ˣ)²−(eˣ−e⁻ˣ)²]=(1/4)[4·eˣ·e⁻ˣ]=e⁰=1. ✓
  2. th x=sh x/ch x. (th x)'=(sh'x·ch x−sh x·ch'x)/ch²x=(ch²x−sh²x)/ch²x=1/ch²x. Or 1/ch²x=(ch²x−sh²x)/ch²x=1−th²x. Donc (th x)'=1−th²x=1/ch²x.
  3. ch x=2 ⟺ (eˣ+e⁻ˣ)/2=2 ⟺ eˣ+e⁻ˣ=4. Poser t=eˣ>0 : t+1/t=4 ⟺ t²−4t+1=0 ⟺ t=2±√3. Les deux racines sont positives : x=ln(2+√3) ou x=ln(2−√3)=−ln(2+√3) (car (2+√3)(2−√3)=1). Les deux solutions sont opposées, ce qui est cohérent avec la parité de ch.
5

Intégrales avec exponentielles

● Difficile

Calculer : (1) ∫₀¹ x·eˣ dx (IPP). (2) ∫₀^(ln2) eˣ/(1+eˣ) dx.

Correction
  1. IPP : u=x, u'=1, v'=eˣ, v=eˣ. ∫₀¹x·eˣdx=[x·eˣ]₀¹−∫₀¹eˣdx=(1·e¹−0)−[eˣ]₀¹=e−(e−1)=1.
  2. La dérivée de (1+eˣ) est eˣ, donc l'intégrande est de la forme u'/u avec u=1+eˣ>0 : ∫eˣ/(1+eˣ)dx=ln(1+eˣ)+C. ∫₀^(ln2)eˣ/(1+eˣ)dx=[ln(1+eˣ)]₀^(ln2)=ln(1+2)−ln(1+1)=ln3−ln2=ln(3/2).
★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Le but de ce problème est d'établir la limite fondamentale lim[x→+∞] (1+1/x)ˣ=e, puis d'étudier une fonction associée.

Partie A — La limite (1+1/x)ˣ→e

  1. Pour x>0, on pose g(x)=x·ln(1+1/x). Montrer que g(x)=ln(1+1/x)/(1/x).
  2. On pose u=1/x. Justifier que, lorsque x→+∞, u→0⁺, et rappeler la valeur de lim[u→0] ln(1+u)/u (interpréter ce nombre comme le nombre dérivé de ln en 1).
  3. En déduire lim[x→+∞] g(x).
  4. Sachant que (1+1/x)ˣ=e^(g(x)) et que la fonction exponentielle est continue, en déduire lim[x→+∞] (1+1/x)ˣ.
  5. Application numérique : calculer (à 10⁻⁴ près) (1+1/10)¹⁰ et (1+1/100)¹⁰⁰, et vérifier qu'elles se rapprochent de e≈2,7183. (Interprétation : cette limite modélise le calcul d'intérêts composés capitalisés de plus en plus fréquemment.)

Partie B — Étude de f(x)=(x−1)eˣ

  1. Déterminer lim[x→−∞] f(x) et lim[x→+∞] f(x).
  2. Calculer f'(x) et étudier son signe. Dresser le tableau de variation de f.
  3. Donner une équation de la tangente (T) à la courbe de f au point d'abscisse 0.
  4. Calculer ∫₀¹ f(x)dx (IPP) et interpréter géométriquement ce résultat.
Correction du problème de synthèse
  1. g(x)=x·ln(1+1/x)=ln(1+1/x)/(1/x) (on a juste multiplié et divisé par 1/x, licite car x≠0).
  2. Quand x→+∞, 1/x→0⁺ donc u=1/x→0⁺. Le taux d'accroissement [ln(1+u)−ln(1)]/u tend, quand u→0, vers le nombre dérivé de ln en 1, c'est-à-dire (ln)'(1)=1/1=1. Donc lim[u→0] ln(1+u)/u=1.
  3. g(x)=ln(1+u)/u avec u=1/x→0⁺ quand x→+∞, donc lim[x→+∞] g(x)=lim[u→0] ln(1+u)/u=1.
  4. (1+1/x)ˣ=e^(x·ln(1+1/x))=e^(g(x)). Comme g(x)→1 et exp est continue en 1, lim[x→+∞] (1+1/x)ˣ=e¹=e.
  5. (1+1/10)¹⁰=1,1¹⁰≈2,5937. (1+1/100)¹⁰⁰≈2,7048. On observe bien un rapprochement progressif vers e≈2,7183 lorsque l'exposant augmente (plus la capitalisation des intérêts est fréquente, plus le facteur multiplicatif se rapproche de e).
  6. lim[x→−∞] f(x) : (x−1)→−∞ et eˣ→0⁺ ; par croissance comparée (x·eˣ→0), lim[x→−∞] f(x)=0⁻ (asymptote horizontale y=0 en −∞, la courbe restant sous l'axe). lim[x→+∞] f(x)=(+∞)·(+∞)=+∞.
  7. f'(x)=1·eˣ+(x−1)eˣ=eˣ(1+x−1)=x·eˣ. Comme eˣ>0 toujours, f'(x) est du signe de x : f'(x)<0 sur ]−∞;0[, f'(0)=0, f'(x)>0 sur ]0;+∞[.
    Tableau : f décroissante sur ]−∞;0], minimum f(0)=(0−1)e⁰=−1, puis croissante sur [0;+∞[, avec lim en −∞ égale à 0 et lim en +∞ égale à +∞.
  8. f(0)=−1, f'(0)=0·e⁰=0. La tangente en 0 est horizontale : (T) : y=−1 (cohérent avec le minimum trouvé à la question précédente).
  9. IPP : u=x−1, u'=1, v'=eˣ, v=eˣ. ∫₀¹(x−1)eˣdx=[(x−1)eˣ]₀¹−∫₀¹eˣdx=(0·e¹−(−1)·e⁰)−[eˣ]₀¹=(0+1)−(e−1)=2−e≈−0,718.
    Comme f(x)≤0 sur [0;1] (f croît de −1 à 0 sur cet intervalle), cette intégrale négative représente l'opposé de l'aire, en unités d'aire, comprise entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x=0 et x=1 : cette aire vaut e−2 (u.a.).

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

(eˣ)'=

Q2/10

e^(a+b)=

Q3/10

lim[x→−∞] eˣ=

Q4/10

lim[x→−∞] x·eˣ=

Q5/10

Pour a>0, aˣ est défini par

Q6/10

ch²x−sh²x=

Q7/10

(sh x)'=

Q8/10

∫eˣdx=

Q9/10

lim[x→+∞] (1+1/x)ˣ=

Q10/10

sh(−x)=