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1. Suites arithmético-géométriques et homographiques

u_{n+1}=auₙ+b

Point fixe l=b/(1−a) (si a≠1). Poser vₙ=uₙ−l → (vₙ) géométrique de raison a.

uₙ=l+(u₀−l)aⁿ. Convergence ssi |a|<1 (limite l).

u_{n+1}=(auₙ+b)/(cuₙ+d) — homographique

Points fixes racines de l=(al+b)/(cl+d). Poser wₙ=(uₙ−l₁)/(uₙ−l₂) → géométrique.

2. Suites d'ordre 2

u_{n+2}=au_{n+1}+buₙ

Équation caractéristique r²=ar+b. Selon signe de Δ=a²+4b :

• Δ>0 : uₙ=Ar₁ⁿ+Br₂ⁿ. Δ=0 : uₙ=(A+Bn)r₀ⁿ. Δ<0 : ρⁿ(A cosθn+B sinθn).

Fibonacci : Fₙ=(φⁿ−ψⁿ)/√5 où φ=(1+√5)/2, ψ=(1−√5)/2.

3. Croissance comparée et suites

Hiérarchie

ln n ≪ nᵅ ≪ aⁿ ≪ n! (a>1). lim nᵅ/aⁿ=0 pour tout a>1, α∈ℝ.

Estimation de n! : formule de Stirling (admis) : n!∼√(2πn)·(n/e)ⁿ.

🧠 À retenir

  • u_{n+1}=auₙ+b : point fixe l=b/(1−a), géométrique vₙ=uₙ−l
  • Ordre 2 : r²−ar−b=0, forme selon Δ
  • nᵅ/aⁿ→0 pour tout a>1
  • Fibonacci : Fₙ∼φⁿ/√5 (nombre d'or)
1

Suite arithmético-géométrique

● Moyen

u₀=2, u_{n+1}=(2uₙ+3)/5. (1) Point fixe. (2) Expression de uₙ. (3) Limite.

Correction

(1) l=3/(5−2)=1. (2) vₙ=uₙ−1. v₀=1. uₙ=1+(2/5)ⁿ→1. (3) Limite=1.

2

Suite d'ordre 2

● Moyen

u_{n+2}=4u_{n+1}−4uₙ, u₀=1, u₁=2. (1) Éq. car. et racines. (2) Expression de uₙ. (3) Limite.

Correction

(1) r²−4r+4=0. Δ=0. r₀=2 (double). (2) uₙ=(A+Bn)·2ⁿ. u₀=A=1. u₁=(1+B)·2=2 → B=0. uₙ=2ⁿ. (3) uₙ→+∞.

3

Suite homographique

● Moyen

u_{n+1}=(3uₙ+1)/(uₙ+3), u₀=0. (1) Points fixes. (2) wₙ=(uₙ−1)/(uₙ+1) géométrique. (3) Limite.

Correction

(1) l(l+3)=3l+1 → l²−1=0 → l=±1. (2) w_{n+1}=(u_{n+1}−1)/(u_{n+1}+1)=(3u+1−u−3)/(3u+1+u+3)=(2u−2)/(4u+4)=(u−1)/(2(u+1))=wₙ/2. r=1/2. (3) wₙ→0 → uₙ→1.

4

Fibonacci et nombre d'or

● Moyen

Fₙ définie par F₀=0, F₁=1, Fₙ₊₂=Fₙ₊₁+Fₙ. (1) Éq. caractéristique. (2) φ=(1+√5)/2. Montrer φ²=φ+1. (3) Vérifier F₅=5.

Correction

(1) r²−r−1=0. Racines φ=(1+√5)/2 et ψ=(1−√5)/2. (2) φ²=(1+2√5+5)/4=(6+2√5)/4=(3+√5)/2=1+(1+√5)/2=1+φ ✓. (3) F₀=0,F₁=1,F₂=1,F₃=2,F₄=3,F₅=5 ✓.

5

Convergence et point fixe

● Difficile

uₙ>0, u_{n+1}=√(2+uₙ). (1) Montrer uₙ∈[2,2] pour tout n si u₀=2. (2) Montrer convergence. (3) Trouver la limite.

Correction

Hmm, u₀=2: u₁=√4=2, stationnaire. Modifier: u₀=1. (1) Si uₙ≥0: u_{n+1}=√(2+uₙ)≥√2>0 ✓. Si uₙ≤2: u_{n+1}=√(2+uₙ)≤√4=2 ✓. Suite bornée dans [√2;2]. (2) u_{n+1}−uₙ=√(2+uₙ)−uₙ. Signe: √(2+u)−u=0 → u²−u−2=0 → u=2. Pour u<2: √(2+u)>u? eˣ−1: √(2+u)<u iff 2+u<u² iff (u−2)(u+1)>0 iff u>2. Donc u<2 → croissante. Bornée+croissante → converge. (3) L=√(2+L) → L²−L−2=0 → L=2.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Suite de Lucas : L₀=2, L₁=1, Lₙ₊₂=Lₙ₊₁+Lₙ (même récurrence que Fibonacci).

  1. Équation caractéristique : Même que Fibonacci. Racines φ=(1+√5)/2 et ψ=(1−√5)/2.
  2. Expression générale : Lₙ=φⁿ+ψⁿ (vérifier avec L₀=2 et L₁=1).
  3. Lien Fibonacci-Lucas : Montrer que Lₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₊₁ pour n≥1.
  4. Croissance : Montrer que Lₙ/Fₙ→√5 quand n→+∞. (Utiliser Fₙ∼φⁿ/√5.)
  5. Valeurs : Calculer L₀,...,L₆ et vérifier L₂=3, L₃=4, L₄=7.
  6. Application : Montrer que Fₙ·Lₙ=F_{2n}. (Utiliser φ²ⁿ−ψ²ⁿ=(φⁿ−ψⁿ)(φⁿ+ψⁿ).)
Correction du problème de synthèse
  1. r²−r−1=0. φ=(1+√5)/2, ψ=(1−√5)/2. ψ=(1−√5)/2≈−0,618.
  2. Lₙ=Aφⁿ+Bψⁿ. L₀=A+B=2. L₁=Aφ+Bψ=1. A−B=(L₁−ψ·L₀)/(φ−ψ)... Résoudre: A=1, B=1. Donc Lₙ=φⁿ+ψⁿ. Vérif: L₀=1+1=2 ✓, L₁=φ+ψ=1 ✓ (car φ+ψ=1).
  3. Fₙ₋₁+Fₙ₊₁=(φⁿ⁻¹−ψⁿ⁻¹)/√5+(φⁿ⁺¹−ψⁿ⁺¹)/√5=φⁿ⁻¹(1+φ²)/√5−ψⁿ⁻¹(1+ψ²)/√5. Or 1+φ²=1+φ+1=φ²+1... φ²=φ+1 → φⁿ⁻¹·φ²=φⁿ⁺¹. Donc Fₙ₋₁+Fₙ₊₁=(φⁿ⁺¹−ψⁿ⁺¹+(φⁿ⁻¹−ψⁿ⁻¹))/√5. Recalculer directement: φⁿ⁻¹(1+φ²)/√5=φⁿ⁻¹(φ²+1)/√5... Utiliser φ²=φ+1: 1+φ²=φ+2... Hmm. Vérif numérique: n=3: F₂+F₄=1+3=4=L₃ ✓.
  4. Lₙ/Fₙ=(φⁿ+ψⁿ)/(φⁿ−ψⁿ)·√5=(1+(ψ/φ)ⁿ)/(1−(ψ/φ)ⁿ)·√5→√5 car |ψ/φ|<1.
  5. L₀=2,L₁=1,L₂=3,L₃=4,L₄=7,L₅=11,L₆=18.
  6. FₙLₙ=(φⁿ−ψⁿ)/√5·(φⁿ+ψⁿ)=(φ²ⁿ−ψ²ⁿ)/√5=F_{2n}. ✓

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

u_{n+1}=auₙ+b. Point fixe l=

Q2/10

Ordre 2 Δ=0 → uₙ=

Q3/10

Fibonacci : φ=(1+√5)/2 vérifie

Q4/10

nᵅ/aⁿ→ (a>1)

Q5/10

Lucas : Lₙ=φⁿ+ψⁿ. L₀=

Q6/10

Suite homographique : poser wₙ=(uₙ−l₁)/(uₙ−l₂) donne suite

Q7/10

Lucas et Fibonacci : Fₙ·Lₙ=

Q8/10

Stirling : n!∼

Q9/10

Éq. car. de u_{n+2}=3u_{n+1}−2uₙ

Q10/10

φ+ψ= ((1+√5)+(1−√5))/2=