(1) l=3/(5−2)=1. (2) vₙ=uₙ−1. v₀=1. uₙ=1+(2/5)ⁿ→1. (3) Limite=1.

(1) r²−4r+4=0. Δ=0. r₀=2 (double). (2) uₙ=(A+Bn)·2ⁿ. u₀=A=1. u₁=(1+B)·2=2 → B=0. uₙ=2ⁿ. (3) uₙ→+∞.

(1) l(l+3)=3l+1 → l²−1=0 → l=±1. (2) w_{n+1}=(u_{n+1}−1)/(u_{n+1}+1)=(3u+1−u−3)/(3u+1+u+3)=(2u−2)/(4u+4)=(u−1)/(2(u+1))=wₙ/2. r=1/2. (3) wₙ→0 → uₙ→1.

(1) r²−r−1=0. Racines φ=(1+√5)/2 et ψ=(1−√5)/2. (2) φ²=(1+2√5+5)/4=(6+2√5)/4=(3+√5)/2=1+(1+√5)/2=1+φ ✓. (3) F₀=0,F₁=1,F₂=1,F₃=2,F₄=3,F₅=5 ✓.

Hmm, u₀=2: u₁=√4=2, stationnaire. Modifier: u₀=1. (1) Si uₙ≥0: u_{n+1}=√(2+uₙ)≥√2>0 ✓. Si uₙ≤2: u_{n+1}=√(2+uₙ)≤√4=2 ✓. Suite bornée dans [√2;2]. (2) u_{n+1}−uₙ=√(2+uₙ)−uₙ. Signe: √(2+u)−u=0 → u²−u−2=0 → u=2. Pour u<2: √(2+u)>u? eˣ−1: √(2+u)<u iff 2+u<u² iff (u−2)(u+1)>0 iff u>2. Donc u<2 → croissante. Bornée+croissante → converge. (3) L=√(2+L) → L²−L−2=0 → L=2.

Minoration : comme n²+1>n², on a √(n²+1)>n, donc uₙ>0. Majoration : en multipliant par la quantité conjuguée, uₙ=(√(n²+1)−n)(√(n²+1)+n)/(√(n²+1)+n)=1/(√(n²+1)+n)≤1, car √(n²+1)+n≥1 pour tout n≥0. On a donc 0<uₙ≤1 pour tout n : la suite (uₙ) est bornée.

uₙ₊₁−uₙ=(n+1)²−2ⁿ⁺¹−n²+2ⁿ=(2n+1)−2ⁿ. Les premières valeurs (u₀=−1, u₁=−1, u₂=0, u₃=1, u₄=0, u₅=−7…) montrent que (uₙ) croît de n=1 à n=3 puis décroît ensuite. Démontrons par récurrence que 2ⁿ>2n+1 pour n≥3 : c'est vrai pour n=3 (8>7) ; si 2ⁿ>2n+1, alors 2ⁿ⁺¹=2×2ⁿ>2(2n+1)=4n+2≥2n+3=2(n+1)+1 dès que n≥1 (donc en particulier pour n≥3). Ainsi, pour tout n≥3, uₙ₊₁−uₙ=(2n+1)−2ⁿ<0 : la suite (uₙ) est strictement décroissante à partir du rang 3 (elle n'est pas monotone sur ℕ tout entier).

Posons xₙ=π/2ⁿ. Alors xₙ→0 quand n→+∞. On écrit uₙ=2ⁿsin(π/2ⁿ)=π×[sin(xₙ)/xₙ]. Or, quand x→0, sin(x)/x→1. Donc uₙ→π×1=π. lim uₙ=π.

Le terme dominant est 3ⁿ. En factorisant numérateur et dénominateur par 3ⁿ : uₙ=((2/3)ⁿ+1)/((2/3)ⁿ−1). Comme 0<2/3<1, on a (2/3)ⁿ→0 quand n→+∞. Donc uₙ→(0+1)/(0−1)=−1. lim uₙ=−1.

1. Pour tout k∈{1,...,n}, on a n²+1≤n²+k≤n²+n, donc en inversant (tous les termes sont positifs) : n/(n²+n)≤n/(n²+k)≤n/(n²+1). En sommant ces n inégalités pour k allant de 1 à n, on obtient n×n/(n²+n) ≤ uₙ ≤ n×n/(n²+1), c'est-à-dire n²/(n²+n)≤uₙ≤n²/(n²+1).
2. On a n²/(n²+n)=1/(1+1/n)→1 et n²/(n²+1)=1/(1+1/n²)→1 quand n→+∞. D'après le théorème des gendarmes, (uₙ) converge et lim uₙ=1.

1. u₀=1∈[0;2]. Soit f(x)=(3x+4)/(x+3) sur [0;2] ; f'(x)=5/(x+3)²>0, donc f est croissante, avec f(0)=4/3 et f(2)=2. Ainsi f([0;2])=[4/3;2]⊂[0;2]. Si uₙ∈[0;2] alors uₙ₊₁=f(uₙ)∈[0;2] : par récurrence, 0≤uₙ≤2 pour tout n.
2. uₙ₊₁−uₙ=(3uₙ+4−uₙ(uₙ+3))/(uₙ+3)=(4−uₙ²)/(uₙ+3)=(2−uₙ)(2+uₙ)/(uₙ+3). Comme 0≤uₙ≤2, chacun des trois facteurs est positif ou nul : uₙ₊₁−uₙ≥0, donc (uₙ) est croissante.
3. (uₙ) est croissante et majorée par 2, donc convergente vers une limite L∈[0;2] vérifiant L=(3L+4)/(L+3), soit L²=4, donc L=2 ou L=−2. Comme uₙ≥0, L=2. lim uₙ=2.

1. Pour x∈[−1;3], on a 2x+3∈[1;9] donc √(2x+3)∈[1;3]⊂[−1;3] : si uₙ∈[−1;3] alors uₙ₊₁∈[−1;3] ; comme u₀=−1∈[−1;3], par récurrence −1≤uₙ≤3 pour tout n. Comparons ensuite √(2x+3) et x pour x∈[−1;3] : si x≤0, l'inégalité √(2x+3)≥x est immédiate ; si x>0, elle équivaut, par élévation au carré (les deux membres sont positifs), à 2x+3≥x², soit (x−3)(x+1)≤0, ce qui est vrai sur [−1;3]. Donc uₙ₊₁=√(2uₙ+3)≥uₙ : (uₙ) est croissante.
2. (uₙ) est croissante et majorée par 3, donc convergente vers une limite L∈[−1;3] vérifiant L=√(2L+3), soit L²−2L−3=0, donc L=3 ou L=−1. Comme L≥0 (racine carrée), L=3. lim uₙ=3.

1. u₀=4>0. Si uₙ>0, alors 1+uₙ>1, donc uₙ₊₁=ln(1+uₙ)>ln1=0. Par récurrence, uₙ>0 pour tout n.
2. Posons g(x)=ln(1+x)−x sur [0;+∞[. g'(x)=1/(1+x)−1=−x/(1+x)<0 pour x>0, donc g est strictement décroissante sur [0;+∞[, avec g(0)=0. Ainsi g(x)<0 pour tout x>0. Comme uₙ>0, on a uₙ₊₁−uₙ=g(uₙ)<0 : (uₙ) est strictement décroissante.
3. (uₙ) est décroissante et minorée par 0, donc convergente vers une limite L≥0 vérifiant L=ln(1+L), c'est-à-dire g(L)=0. Or g(x)<0 pour tout x>0 et g(0)=0 : L=0 est l'unique solution. lim uₙ=0.

1. Cherchons P(n)=an²+bn+c tel que P(n+1)=3P(n)−n²+n. En développant P(n+1) et en identifiant les coefficients de n², n¹ et n⁰ des deux membres, on obtient le système a=3a−1, 2a+b=3b+1, a+b+c=3c, dont la solution est a=1/2, b=0, c=1/4. Donc aₙ=n²/2+1/4.
2. vₙ₊₁=uₙ₊₁−aₙ₊₁=(3uₙ−n²+n)−(3aₙ−n²+n)=3(uₙ−aₙ)=3vₙ. La suite (vₙ) est donc géométrique de raison 3 et de premier terme v₀=u₀−a₀=2−1/4=7/4.
3. vₙ=(7/4)×3ⁿ. Donc uₙ=vₙ+aₙ=(7×3ⁿ)/4+n²/2+1/4=(7×3ⁿ+2n²+1)/4.
4. (vₙ)=(7/4)3ⁿ tend vers +∞ (raison 3>1), et ce terme exponentiel domine le terme polynomial aₙ=n²/2+1/4. Donc uₙ=vₙ+aₙ→+∞ : les deux suites (vₙ) et (uₙ) divergent vers +∞.

1. u₀=1, u₁=3, u₂=7/3≈2,333, u₃=17/7≈2,4286, u₄=41/17≈2,4118, u₅=99/41≈2,4146. La suite semble converger vers 1+√2≈2,4142.
2. Posons g(x)=2+1/(2+1/x)=(5x+2)/(2x+1), qui exprime uₙ₊₂ en fonction de uₙ. On calcule g(x)−x=−2(x−(1+√2))(x−(1−√2))/(2x+1) ; pour x>0, le facteur (x−(1−√2)) est positif, donc g(x)−x est du signe de −2(x−(1+√2)) : g(x)>x si x<1+√2, et g(x)<x si x>1+√2. De plus g'(x)=1/(2x+1)²>0, donc g est croissante, et g(1+√2)=1+√2.
   a) Comme u₀=1<1+√2, et que g conserve l'inégalité « <1+√2 » (g croissante, point fixe 1+√2), on a par récurrence u₂ₚ<1+√2 pour tout p ; et puisque g(x)>x sur cet intervalle, u₂ₚ₊₂=g(u₂ₚ)>u₂ₚ : (u₂ₚ) est croissante, majorée par 1+√2.
   b) Comme u₁=3>1+√2, de même u₂ₚ₊₁>1+√2 pour tout p par récurrence, et g(x)<x sur cet intervalle donne u₂ₚ₊₃=g(u₂ₚ₊₁)<u₂ₚ₊₁ : (u₂ₚ₊₁) est décroissante, minorée par 1+√2.
3. (u₂ₚ) est croissante majorée donc convergente vers une limite L₁≤1+√2 ; (u₂ₚ₊₁) est décroissante minorée donc convergente vers une limite L₂≥1+√2. Ces limites vérifient L=g(L), équation équivalente à L²−2L−1=0, de racines 1+√2 et 1−√2 ; comme L₁ et L₂ sont positives et encadrent la valeur 1+√2, on a L₁=L₂=1+√2. Les suites extraites paire et impaire ayant la même limite, on conclut que (uₙ) converge et que lim uₙ=1+√2.

1. Après le partage du 1ᵉʳ frère, il reste 14/2=7 ha ; le 2ᵉ frère prend la moitié de ce reste, soit 14/4 ha, et il reste 14/4 ha ; de proche en proche, le n-ième frère reçoit pₙ=14/2ⁿ hectares : (pₙ) est géométrique de premier terme 7 et de raison 1/2.
2. La somme des n premières parts vaut Sₙ=14×(1/2)×(1−(1/2)ⁿ)/(1−1/2)=14(1−(1/2)ⁿ). Comme (1/2)ⁿ→0 quand n→+∞, on a Sₙ→14. Le terrain est donc, à la limite, entièrement partagé : la somme de toutes les parts vaut exactement les 14 hectares du terrain.

1. wₚ−vₚ=u₂ₚ₊₁−u₂ₚ est le (2p+1)-ième terme de la somme, de signe (−1)²ᵖ⁺²=+1 : wₚ−vₚ=1/(2p+1)>0, donc vₚ<wₚ.
2. v_{p+1}−vₚ=u₂ₚ₊₂−u₂ₚ=1/(2p+1)−1/(2p+2)>0 (deux termes consécutifs de la somme) : (vₚ) est croissante. w_{p+1}−wₚ=u₂ₚ₊₃−u₂ₚ₊₁=−1/(2p+2)+1/(2p+3)<0 : (wₚ) est décroissante. Comme vₚ<wₚ≤w₁ pour tout p, (vₚ) est majorée, donc convergente ; comme wₚ>vₚ≥v₁ pour tout p, (wₚ) est minorée, donc convergente.
3. wₚ−vₚ=1/(2p+1)→0 quand p→+∞. Les suites (vₚ) et (wₚ) étant convergentes et vérifiant wₚ−vₚ→0, elles sont adjacentes et ont la même limite ℓ. Comme (uₙ) coïncide avec (vₚ) aux rangs pairs et (wₚ) aux rangs impairs, (uₙ) converge également vers ℓ. On admet (résultat classique de cette série, dite série harmonique alternée) que ℓ=ln2≈0,693.

1. d₁=1 (un seul domino, posé verticalement). d₂=2 (deux dominos verticaux, ou deux dominos horizontaux empilés). d₃=3 (vérifiable par énumération directe, ou grâce à la relation de récurrence ci-dessous : d₃=d₂+d₁=2+1=3).
2. Examinons la colonne la plus à gauche du damier 2×n. Soit elle est entièrement recouverte par un unique domino vertical : il reste alors un damier 2×(n−1) à recouvrir, ce qui donne d_{n−1} possibilités. Soit ses deux cases sont recouvertes par les extrémités gauches de deux dominos horizontaux empilés, qui recouvrent alors tout le bloc 2×2 formé des deux premières colonnes : il reste un damier 2×(n−2), ce qui donne d_{n−2} possibilités. Ces deux cas sont exclusifs et recouvrent tous les cas possibles, d'où dₙ=d_{n−1}+d_{n−2} pour n≥3 (suite de Fibonacci décalée, avec d₁=1 et d₂=2). En itérant : d₄=5, d₅=8, d₆=13, d₇=21, d₈=34, d₉=55, d₁₀=89, d₁₁=144, d₁₂=233, d₁₃=377, d₁₄=610, d₁₅=987, d₁₆=1597, d₁₇=2584, d₁₈=4181, d₁₉=6765, et d₂₀=10946.

1. u₀=1>0, v₀=7>0. Si uₙ>0 et vₙ>0, alors uₙ₊₁=√(uₙvₙ)>0 et vₙ₊₁=(uₙ+vₙ)/2>0. Par récurrence, uₙ>0 et vₙ>0 pour tout n.
2. a) vₙ₊₁²−uₙ₊₁²=((uₙ+vₙ)/2)²−uₙvₙ=(uₙ²−2uₙvₙ+vₙ²)/4=(uₙ−vₙ)²/4≥0, donc vₙ₊₁≥uₙ₊₁ (les deux termes sont positifs). Cette inégalité étant valable à partir du rang 1, et u₀<v₀ par hypothèse, on obtient uₙ≤vₙ pour tout n∈ℕ.
   b) Comme vₙ≥uₙ≥0, on a uₙvₙ≥uₙ², donc uₙ₊₁=√(uₙvₙ)≥uₙ : (uₙ) est croissante. Et vₙ₊₁=(uₙ+vₙ)/2≤(vₙ+vₙ)/2=vₙ : (vₙ) est décroissante.
   c) Pour n=0, l'inégalité est une égalité. Supposons 0≤vₙ−uₙ≤(1/2)ⁿ(v₀−u₀). Comme uₙvₙ≥uₙ² (car vₙ≥uₙ), on a √(uₙvₙ)≥uₙ, d'où vₙ₊₁−uₙ₊₁=(uₙ+vₙ)/2−√(uₙvₙ)≤(uₙ+vₙ)/2−uₙ=(vₙ−uₙ)/2. Avec vₙ₊₁≥uₙ₊₁ déjà établi, on obtient 0≤vₙ₊₁−uₙ₊₁≤(vₙ−uₙ)/2≤(1/2)ⁿ⁺¹(v₀−u₀), ce qui achève la récurrence. Comme (1/2)ⁿ→0, on a vₙ−uₙ→0. Or (uₙ), croissante et majorée par v₀, converge vers une limite Lᵤ, et (vₙ), décroissante et minorée par u₀, converge vers une limite L_v ; comme vₙ−uₙ→0, Lᵤ=L_v. Les suites (uₙ) et (vₙ) sont dites adjacentes et convergent vers la même limite.
3. En itérant à partir de u₀=1, v₀=7 : u₁=√7≈2,64575, v₁=4 ; u₂≈3,25315, v₂≈3,32288 ; u₃≈3,28783, v₃≈3,28801 ; u₄≈3,28792, v₄≈3,28792. On en déduit l'encadrement 3,28791≤ℓ≤3,28793 (à 10⁻⁵ près), où ℓ désigne la moyenne arithmético-géométrique de 1 et 7.

1. p₀=1, q₀=1 ; p₁=3, q₁=2 ; p₂=7, q₂=5 ; p₃=17, q₃=12 ; p₄=41, q₄=29 ; p₅=99, q₅=70.
2. Pour n=0 : p₀²−2q₀²=1−2=−1=(−1)⁰⁺¹, l'égalité est vraie. Supposons pₙ²−2qₙ²=(−1)ⁿ⁺¹. Alors pₙ₊₁²−2qₙ₊₁²=(pₙ+2qₙ)²−2(pₙ+qₙ)²=(pₙ²+4pₙqₙ+4qₙ²)−2(pₙ²+2pₙqₙ+qₙ²)=−pₙ²+2qₙ²=−(pₙ²−2qₙ²)=(−1)ⁿ⁺². La récurrence est établie.
3. Les suites (pₙ) et (qₙ) sont strictement croissantes à valeurs entières positives (car pₙ,qₙ>0 pour tout n, immédiat par récurrence), donc qₙ→+∞. En divisant l'égalité pₙ²−2qₙ²=±1 par qₙ² : (pₙ/qₙ)²−2=±1/qₙ²→0, donc (pₙ/qₙ)²→2 ; comme pₙ/qₙ>0, on conclut uₙ=pₙ/qₙ→√2.
4. uₙ₊₁=pₙ₊₁/qₙ₊₁=(pₙ+2qₙ)/(pₙ+qₙ)=(uₙ+2)/(uₙ+1), en divisant numérateur et dénominateur par qₙ, avec u₀=1. Posons wₙ=(uₙ−√2)/(uₙ+√2). On vérifie que uₙ₊₁−√2=(1−√2)(uₙ−√2)/(uₙ+1) et uₙ₊₁+√2=(1+√2)(uₙ+√2)/(uₙ+1), d'où wₙ₊₁=[(1−√2)/(1+√2)]×wₙ=k×wₙ avec k=(1−√2)/(1+√2)=2√2−3, et |k|≈0,172<1. La suite (wₙ) est donc géométrique de raison k, avec |k|<1, donc wₙ→0. Comme uₙ+√2 ne s'annule jamais (uₙ>0), wₙ→0 entraîne uₙ→√2.