Ch. 19 Calcul intégral et équations différentielles — Terminale C Maths

1. Calcul intégral — méthodes avancées

Intégration par parties (IPP)

∫_a^b u'v=[uv]_a^b−∫_a^b uv'. Choisir v=polynôme, u'=eˣ/sin/cos.

∫ln x dx=x·ln x−x+C. ∫x·eˣ dx=(x−1)eˣ+C. ∫x²·sin x dx par deux IPP.

Changement de variable

u=g(x), adapter les bornes. ∫u'·f(u)dx=∫f(u)du.

F(x)=∫_a^x f(t)dt → F'(x)=f(x) (théorème fondamental).

2. Équations différentielles du 1er ordre

Types

y'=ay : y=Ce^(ax).

y'+ay=b : yₕ=Ce^(−ax), y*=b/a. Sol. gén: Ce^(−ax)+b/a.

y'+P(x)y=Q(x) (linéaire non const.) : facteur intégrant μ=e^(∫P dx).

3. Équations différentielles du 2ème ordre

Équation caractéristique r²+pr+q=0

Δ>0 : Ae^(r₁x)+Be^(r₂x). Δ=0 : (A+Bx)e^(r₀x). Δ<0, r=α±iβ : e^(αx)(A cosβx+B sinβx).

Équation complète : sol.gén.=homogène+particulière.

🧠 À retenir

IPP: ∫u'v=[uv]−∫uv' ; ∫ln x=x ln x−x+C
F'(x)=f(x) pour F=∫_a^x f
y'=ay→Ce^(ax) ; y'+ay=b→Ce^(−ax)+b/a
Ordre 2: équation car. r²+pr+q=0

IPP et changement de variable

● Moyen

(1) ∫x·e^(−x)dx. (2) ∫₀¹ x²·eˣdx. (3) ∫√(1−x²)dx (sub x=sinθ).

Correction

(1) −(x+1)e^(−x)+C. (2) [x²eˣ]₀¹−2∫₀¹xeˣdx=e−2[(x−1)eˣ]₀¹=e−2(0+1)=e−2. (3) x=sinθ, dx=cosθdθ, √(1−x²)=cosθ. ∫cos²θdθ=(θ+sin2θ/2)/2=(arcsin x+x√(1−x²))/2+C.

Équation différentielle du 1er ordre

● Moyen

(1) y'+2y=4eˣ, y(0)=1. (2) y'=xy, y(0)=1. (3) y'−y/x=x (linéaire).

Correction

(1) yₕ=Ce^(−2x). y*=ke^x → ke^x+2keˣ=4eˣ → k=4/3. y=(4/3)eˣ+Ce^(−2x). y(0)=4/3+C=1 → C=−1/3. (2) dy/y=x dx → ln|y|=x²/2 → y=e^(x²/2). (3) Facteur μ=e^(−∫dx/x)=1/x. Multiplier: y'/x−y/x²=(y/x)'=1 → y/x=x+C → y=x²+Cx.

Équation différentielle du 2ème ordre

● Moyen

(1) y''−y=2eˣ. (2) y''+4y=cos(2x). (3) y''−2y'+y=eˣ.

Correction

(1) r²−1=0 → r=±1. yₕ=Aeˣ+Be^(−x). eˣ est racine → y*=Cxeˣ → 2Ceˣ=2eˣ → C=1. Sol: Aeˣ+Be^(−x)+xeˣ. (2) r²+4=0 → r=±2i. yₕ=Acos2x+Bsin2x. Second membre fréq=2 = racine! y*=x(Ccos2x+Dsin2x) → D=1/4, C=0. (3) r²−2r+1=(r−1)²=0. r=1 double. yₕ=(A+Bx)eˣ. eˣ racine double → y*=Cx²eˣ → 2Ceˣ=eˣ → C=1/2.

Fonction définie par une intégrale

● Moyen

F(x)=∫₀ˣ te^(−t²)dt. (1) F'(x). (2) F(0). (3) Calculer F(x) explicitement. (4) lim[x→+∞] F(x).

Correction

(1) F'(x)=xe^(−x²). (2) F(0)=0. (3) Subst u=t²: F(x)=(1/2)∫₀^(x²) e^(−u)du=(1/2)(1−e^(−x²)). (4) F(+∞)=1/2.

Application physique — oscillateur amorti

● Difficile

y''+2y'+5y=0 (oscillateur amorti). (1) Éq. car. et racines. (2) Sol. générale. (3) Si y(0)=1, y'(0)=−1. (4) Décrire le comportement asymptotique.

Correction

(1) r²+2r+5=0. Δ=4−20=−16. r=−1±2i. (2) y=e^(−x)(Acos2x+Bsin2x). (3) y(0)=A=1. y'=e^(−x)(−A+2B)cos2x+e^(−x)(−B−2A)sin2x... y'(0)=−A+2B=−1 → 2B=0 → B=0. y=e^(−x)cos2x. (4) |y|≤e^(−x)→0. Oscillations amorties → 0.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On étudie l'équation différentielle (E) : xy'+y=ln x (x>0).

Réécriture : Mettre sous forme standard y'+y/x=ln(x)/x.
Facteur intégrant : Calculer μ=e^(∫(1/x)dx)=x. Multiplier (E) par x.
Résolution : Reconnaître (xy)'=ln x. Intégrer : xy=∫ln x dx. En déduire y.
Solution générale : y=(x·ln x−x+C)/x=ln x−1+C/x.
Condition initiale : Trouver C tel que y(1)=0.
Comportement : lim[x→0⁺] y(x) et lim[x→+∞] y(x)/ln x. Interpréter.

Correction du problème de synthèse

xy'+y=ln x → y'+(1/x)y=(ln x)/x. ✓
μ=e^(∫dx/x)=e^(ln x)=x. Multiplier: xy'·x+... → (xy)'=... Multiplier xy'+y=ln x par 1: laisser tel quel. (xy)'=xy'+y=ln x ✓.
(xy)'=ln x. Intégrer: xy=∫ln x dx=x·ln x−x+C. Donc y=ln x−1+C/x.
y=ln x−1+C/x. Solution générale avec C∈ℝ.
y(1)=ln1−1+C=0+(-1)+C=C−1=0 → C=1. Solution particulière: y=ln x−1+1/x.
lim[x→0⁺]: ln x→−∞, 1/x→+∞. y∼1/x→+∞. lim[x→+∞]: y/ln x=(ln x−1+1/x)/ln x→1. Donc y∼ln x en +∞.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Q1/10

IPP: ∫u'v=[uv]−

Q2/10

∫ln x dx=

Q3/10

F(x)=∫_a^x f(t)dt → F'(x)=

Q4/10

y'=ay → solution générale=

Q5/10

y'+ay=b → sol. part. constante y*=

Q6/10

Ordre 2 Δ<0, r=α±iβ → sol.=

Q7/10

∫₀¹ xeˣdx=

Q8/10

y''+4y=0. Sol. générale=

Q9/10

Facteur intégrant pour y'+P(x)y=Q(x) :

Q10/10

∫₀^∞ te^(−t)dt=