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Accueil/ Terminale/ Série C/ Mathématiques/ Ch. 21
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1. Récurrence forte

Principe

Supposer P(k) vraie pour tout k<n, en déduire P(n).

Utile pour suites d'ordre ≥2 et décomposition en facteurs premiers.

2. Arrangements et combinaisons

ObjetFormule Aₙᵖn!/(n−p)! Cₙᵖn!/(p!(n−p)!) Perm. répétitionn!/(n₁!...nₖ!)

3. Binôme de Newton

Identités clés

(a+b)ⁿ=ΣCₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ. ΣCₙᵏ=2ⁿ. ΣkCₙᵏ=n·2ⁿ⁻¹.

Vandermonde : Σ_{k=0}^r C_m^k·C_n^{r−k}=C_{m+n}^r.

Σ(Cₙᵏ)²=C_{2n}^n.

À retenir

  • Récurrence forte : hypothèse sur tout k<n
  • Newton : (a+b)ⁿ=ΣCₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ
  • Σ(Cₙᵏ)²=C_{2n}^n (Vandermonde)
1

Récurrence forte

● Moyen

Montrer que tout entier n≥2 est produit de facteurs premiers.

Correction

Init n=2 premier ✓. Hérédité: si n non premier, n=ab avec 2≤a,b<n. Par hyp. forte a et b sont produits de premiers → n aussi.

2

Permutations avec répétitions

● Moyen

Anagrammes de COCOA (C×2,O×2,A×1) et de MISSISSIPPI.

Correction

COCOA: 5!/(2!2!1!)=30. MISSISSIPPI: 11!/(1!4!4!2!)=34650.

3

Binôme de Newton

● Moyen

(1) Terme en x³ dans (2x−1)⁵. (2) Terme en x² dans (1+3x)⁸. (3) ΣC₁₀ᵏ.

Correction

(1) C₅³·8·1=80x³. (2) C₈²·9x²=252x². (3) 2¹⁰=1024.

4

Vandermonde

● Moyen

Vérifier Vandermonde pour m=n=2, r=2. Puis prouver Σ(Cₙᵏ)²=C_{2n}^n.

Correction

C₂⁰C₂²+C₂¹C₂¹+C₂²C₂⁰=1+4+1=6=C₄² ✓. Vandermonde avec m=n, r=n et symétrie Cₙᵏ=Cₙⁿ⁻ᵏ.

5

Dénombrement — comités

● Difficile

5H, 6F. (1) Comité de 4. (2) Au moins 2F. (3) Président F.

Correction

(1) C₁₁⁴=330. (2) 330−C₅⁴−C₆¹C₅³=265. (3) 6×C₁₀³=720.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On étudie les coefficients binomiaux et leurs propriétés.

  1. Prouver Pascal par les factorielles.
  2. Σ(Cₙᵏ)²=C_{2n}^n par Vandermonde.
  3. Application numérique n=4.
  4. k·Cₙᵏ=n·Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ : preuve et application pour ΣkCₙᵏ.
  5. DL de (1+x)^(1/2) à l'ordre 2.
  6. Triangle de Pascal mod 2 : triangle de Sierpiński.
Correction
  1. Cₙ₋₁ᵏ⁻¹+Cₙ₋₁ᵏ = n!/[k!(n−k)!]=Cₙᵏ ✓.
  2. Vandermonde avec m=n, r=n: Σ Cₙᵏ·Cₙⁿ⁻ᵏ=C_{2n}^n. Or Cₙⁿ⁻ᵏ=Cₙᵏ → Σ(Cₙᵏ)²=C_{2n}^n.
  3. n=4: 1+16+36+16+1=70=C₈⁴ ✓.
  4. k·Cₙᵏ=n·Cₙ₋₁ᵏ⁻¹. ΣkCₙᵏ=nΣCₙ₋₁ᵏ⁻¹=n·2ⁿ⁻¹.
  5. (1+x)^(1/2)≈1+x/2−x²/8+o(x²).
  6. Cₙᵏ mod 2 forme le triangle de Sierpiński (auto-similaire).

QCM

10 questions

0Score
0/10Repondues
Q1/10

Récurrence forte : on suppose P(k) pour

Q2/10

Perm. avec répétitions : n!/(n₁!...nₖ!) =

Q3/10

ΣCₙᵏ=

Q4/10

ΣkCₙᵏ=

Q5/10

Σ(Cₙᵏ)²=

Q6/10

Pascal: Cₙᵏ+Cₙᵏ⁺¹=

Q7/10

k·Cₙᵏ=

Q8/10

Vandermonde : Σ C_m^k·C_n^{r−k}=

Q9/10

Anagrammes de AABB=

Q10/10

Terme constant de (2x−1)⁴=