Ch. 22 Probabilités — lois et probabilités conditionnelles — Terminale C Maths

1. Probabilités conditionnelles et Bayes

Formules fondamentales

P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Prob. totales : P(A)=ΣP(A|Bᵢ)P(Bᵢ).

Bayes : P(Bᵢ|A)=P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)/P(A). Indépendance : P(A∩B)=P(A)·P(B).

2. Lois de probabilité

LoiP(X=k)EV Binomiale B(n,p)Cₙᵏpᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏnpnp(1−p) Géométrique G(p)(1−p)ᵏ⁻¹p1/p(1−p)/p² Poisson Po(λ)e^(−λ)λᵏ/k!λλ

3. Inégalités de concentration

Markov et Bienaymé-Tchebychev

Markov (X≥0) : P(X≥a)≤E(X)/a.

Bienaymé-Tchebychev : P(|X−μ|≥kσ)≤1/k².

Loi des grands nombres : x̄ₙ→μ en probabilité.

À retenir

P(A|B)=P(A∩B)/P(B) ; Bayes
Géométrique : E=1/p ; Poisson : E=V=λ
Bienaymé-Tcheb. : P(|X−μ|≥kσ)≤1/k²

Probabilités conditionnelles

● Facile

Dé à 6 faces. A={pair}, B={>3}. P(A|B). A,B indépendants ?

Correction

P(A|B)=2/3. P(A)=1/2. Non indépendants.

Probabilités totales et Bayes

● Moyen

3 urnes U₁(3R,2B), U₂(1R,4B), U₃(2R,2B). Urne au hasard puis une boule. P(rouge). P(U₁|rouge).

Correction

P(R)=13/30. P(U₁|R)=6/13.

Loi géométrique

● Moyen

X=rang 1er as dans un jeu (p=1/13). P(X=1), E(X), P(X≤5).

Correction

P(X=1)=1/13. E=13. P(X≤5)=1−(12/13)⁵≈32,5%.

Bienaymé-Tchebychev

● Moyen

X~B(100,0,5). Majorer P(|X−50|≥10).

Correction

k=2. P≤1/4=0,25. Valeur réelle≈0,03.

Loi de Poisson

● Difficile

X~Po(3). P(X=0), P(X=2). E(X). Mode.

Correction

P(0)=e⁻³≈0,05. P(2)=4,5e⁻³≈0,22. E=3. Mode=3.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Test médical. Prévalence M : 2%. P(T⁺|M)=0,95. P(T⁻|M̄)=0,90.

P(T⁺) par prob. totales.
P(M|T⁺) par Bayes.
P(M̄|T⁻).
Proportion faux positifs.
Recalculer P(M|T⁺) si prévalence=20%.
Test répété 2 fois indépendamment. P(M|T₁⁺∩T₂⁺).

Correction

P(T⁺)=0,95×0,02+0,10×0,98=0,117.
P(M|T⁺)=0,019/0,117≈16,2%.
P(T⁻)=0,883. P(M̄|T⁻)=0,90×0,98/0,883≈99,9%.
Faux positifs=83,8%.
P(T⁺)=0,27. P(M|T⁺)=0,19/0,27≈70,4%.
P(T₁⁺∩T₂⁺)=0,9025×0,02+0,01×0,98=0,02785. P(M|...)≈64,8%.

QCM

10 questions

0Score

0/10Repondues

Q1/10

P(A|B)=

Q2/10

Bayes: P(B|A)=

Q3/10

Binomiale B(n,p) : E(X)=

Q4/10

Bienaymé-Tcheb.: P(|X−μ|≥kσ)≤

Q5/10

Géométrique G(p) : E(X)=

Q6/10

Poisson Po(λ) : E=V=

Q7/10

P(A∪B)=

Q8/10

Loi des grands nombres : x̄ₙ→

Q9/10

Mode de Poisson(3)=

Q10/10

A,B indépendants ⟺