P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Prob. totales : P(A)=ΣP(A|Bᵢ)P(Bᵢ).
Bayes : P(Bᵢ|A)=P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)/P(A). Indépendance : P(A∩B)=P(A)·P(B).
Markov (X≥0) : P(X≥a)≤E(X)/a.
Bienaymé-Tchebychev : P(|X−μ|≥kσ)≤1/k².
Loi des grands nombres : x̄ₙ→μ en probabilité.
Dé à 6 faces. A={pair}, B={>3}. P(A|B). A,B indépendants ?
P(A|B)=2/3. P(A)=1/2. Non indépendants.
3 urnes U₁(3R,2B), U₂(1R,4B), U₃(2R,2B). Urne au hasard puis une boule. P(rouge). P(U₁|rouge).
P(R)=13/30. P(U₁|R)=6/13.
X=rang 1er as dans un jeu (p=1/13). P(X=1), E(X), P(X≤5).
P(X=1)=1/13. E=13. P(X≤5)=1−(12/13)⁵≈32,5%.
X~B(100,0,5). Majorer P(|X−50|≥10).
k=2. P≤1/4=0,25. Valeur réelle≈0,03.
X~Po(3). P(X=0), P(X=2). E(X). Mode.
P(0)=e⁻³≈0,05. P(2)=4,5e⁻³≈0,22. E=3. Mode=3.
Test médical. Prévalence M : 2%. P(T⁺|M)=0,95. P(T⁻|M̄)=0,90.
10 questions
P(A|B)=
Bayes: P(B|A)=
Binomiale B(n,p) : E(X)=
Bienaymé-Tcheb.: P(|X−μ|≥kσ)≤
Géométrique G(p) : E(X)=
Poisson Po(λ) : E=V=
P(A∪B)=
Loi des grands nombres : x̄ₙ→
Mode de Poisson(3)=
A,B indépendants ⟺
On lance deux fois de suite un dé non pipé, dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On gagne lorsqu'on fait apparaître au moins un 6. Calculer la probabilité de gagner.
P(gagner) = 1 − P(aucun 6) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 0,306.
Dans une classe, on a noté que pendant le trimestre : 25% des élèves ont été absents au moins un jour ; 12% au moins deux jours ; 8% au moins trois jours ; 6% au moins quatre jours ; 5% au moins cinq jours. On choisit au hasard un élève. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants.
Une urne contient 36 boules indiscernables au toucher, dont une est blanche, une est rouge et les 34 autres sont vertes. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.
Une urne contient 10 boules, dont 3 sont rouges et les autres bleues.
Un atelier est constitué de trois machines A, B et C utilisées pour la même production. Le taux de panne de chacune, en jours d'arrêt sur 200 jours ouvrables, est : 5 pour A ; 3 pour B ; 10 pour C. Pour un jour ouvrable donné, calculer la probabilité de chacun des événements suivants.
On suppose les pannes des trois machines indépendantes.
Dans un jeu de 32 cartes, on tire simultanément et au hasard 4 cartes. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants.
Soient A et B deux événements indépendants.
Six couples, dont le couple Traoré, dînent ensemble. À la fin du repas, on tire au sort 4 personnes parmi les 12 pour faire la vaisselle. On considère les événements : A : « aucun homme n'est désigné » ; B : « Monsieur Traoré est désigné » ; C : « deux couples sont désignés ».
Dans une ville, il y a trois médecins. Quatre habitants de cette ville, malades le même jour, appellent au hasard (choix indépendants et équiprobables) l'un de ces trois médecins.
Un disque en bois porte n cercles concentriques C₁, C₂, ..., Cₙ de rayons respectifs 1, 2, ..., n. Entre Cₖ et Cₖ₊₁ se trouve une couronne Γₖ₊₁ ; on note Γ₁ le disque intérieur de rayon 1 : il y a donc n couronnes Γ₁, Γ₂, ..., Γₙ. On suppose que la probabilité d'atteindre Γₖ est proportionnelle à l'aire de Γₖ, et que la probabilité d'atteindre le bord des couronnes ou de sortir du disque est nulle.
Une population est constituée à 10% de gauchers et à 90% de droitiers.
Deux amis se sont donné rendez-vous entre 12h et 13h, mais ont décidé qu'ils ne s'attendraient pas plus de dix minutes. Quelle est la probabilité pour qu'ils se rencontrent ?
Soient X et Y les instants d'arrivée des deux amis (en minutes après 12h), chacun uniforme sur [0;60], indépendants. Ils se rencontrent si |X−Y|≤10. L'univers est le carré [0;60]×[0;60], d'aire 3600. La zone où ils ne se rencontrent pas (|X−Y|>10) est formée de deux triangles rectangles isocèles de côté 50 (=60−10), d'aire totale 2×(50²/2) = 2500. L'aire favorable vaut donc 3600−2500 = 1100. P = 1100/3600 = 11/36 ≈ 0,306 (30,6%).
On répète une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p (0<p<1). On définit la variable aléatoire X par le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir le succès pour la première fois.
