Pour prouver P(n) vraie pour tout n≥n₀ :
Initialisation : vérifier P(n₀). Hérédité : supposer P(n) vraie, montrer P(n+1).
Prouver 1+2+...+n=n(n+1)/2. Init: P(1): 1=1 ✓. Hér: supposer vrai pour n, ajouter (n+1) des deux côtés.
Cₙ⁰=Cₙⁿ=1. Cₙ¹=n. Cₙᵖ=Cₙⁿ⁻ᵖ. Pascal : Cₙᵖ+Cₙᵖ⁺¹=Cₙ₊₁ᵖ⁺¹.
(a+b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ Cₙᵏ·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ
Corollaires : Σ Cₙᵏ=2ⁿ (a=b=1). Σ(-1)ᵏCₙᵏ=0 (a=1,b=-1). Σk·Cₙᵏ=n·2ⁿ⁻¹.
Triangle de Pascal : chaque Cₙᵖ = somme des deux au-dessus.
Prouver par récurrence que 1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6.
Init: P(1): 1=6/6=1 ✓. Hér: supposer P(n). Ajouter (n+1)²: n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)²=(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]/6=(n+1)(2n²+7n+6)/6=(n+1)(n+2)(2n+3)/6. C'est P(n+1). ✓
Montrer que ΣCₙᵏ·k=n·2ⁿ⁻¹. (Dériver (1+x)ⁿ puis poser x=1.)
(1+x)ⁿ=ΣCₙᵏxᵏ. Dériver: n(1+x)ⁿ⁻¹=ΣCₙᵏ·k·xᵏ⁻¹. x=1: n·2ⁿ⁻¹=ΣCₙᵏ·k. ✓
Un groupe de 10 personnes (6H, 4F). (1) Comités de 4. (2) Exactement 2F. (3) Au moins 1F.
On considère la suite (aₙ) définie par aₙ=ΣC_{2n}^k pour k de 0 à n.
10 questions
1+2+...+n=n(n+1)/2 se prouve par
C₁₀³=
Pascal: Cₙᵖ+Cₙᵖ⁺¹=
(1+x)ⁿ=
ΣCₙᵏ (k=0 à n)=
Aₙᵖ (arrangements de p parmi n)=
Terme en x³ dans (1+x)⁵=
Récurrence: hérédité = supposer P(n) et prouver
Cₙᵖ=Cₙⁿ⁻ᵖ est la propriété de
Nb de comités de 3 parmi 8=
Exercices supplémentaires tirés du CIAM Terminale SE (Collection Inter-Africaine de Mathématiques), section « Entraînement » du chapitre correspondant — énoncés fidèles au manuel, corrections rédigées pour ce site.
Une enquête comporte dix questions. À chacune d'elles, on peut répondre soit par oui, soit par non, soit s'abstenir. Quel est le nombre de fiches réponses différentes possibles ?
Pour chacune des 10 questions, il y a 3 choix indépendants possibles (oui / non / abstention). Par le principe multiplicatif, le nombre de fiches réponses est 3¹⁰=59 049.
Un touriste européen veut visiter trois villes de l'Ouest de la Côte d'Ivoire parmi les cinq suivantes : Danané, Man, Biankouma, Duékoué, Guiglo. Combien d'itinéraires peut-il concevoir ?
Un itinéraire est une liste ordonnée de 3 villes distinctes parmi 5 (l'ordre de visite compte) : il s'agit d'un arrangement. A₅³=5!/(5−3)!=5×4×3=60 itinéraires.
Une classe de 30 élèves (12 garçons internes, 12 garçons externes, 3 filles externes, 3 filles internes) décide de désigner un chef de classe, deux adjoints, deux responsables de l'entretien (ces cinq élèves forment un comité). De combien de façons différentes peut-on composer le comité si l'on veut que : a) le chef soit interne ? b) les adjoints soient de sexes différents ?
Il y a 15 internes (12 garçons+3 filles) et 15 externes, soit 24 garçons et 6 filles en tout.
a) Le chef doit être interne : 15 choix. Les 2 adjoints (paire non ordonnée) sont choisis parmi les 29 élèves restants : C₂₉²=406. Les 2 responsables sont choisis parmi les 27 élèves restants : C₂₇²=351. Total : 15×406×351=2 137 590 comités.
b) Le chef est choisi librement parmi 30, puis les 2 adjoints doivent être de sexes différents (1 garçon + 1 fille), puis les 2 responsables librement parmi les 27 restants (C₂₇²=351, indépendant du choix précédent). Si le chef est un garçon (24 choix), il reste 23 garçons et 6 filles : 23×6=138 paires mixtes. Si le chef est une fille (6 choix), il reste 24 garçons et 5 filles : 24×5=120 paires mixtes. Total des choix (chef, adjoints) : 24×138+6×120=3312+720=3312+720=4032. En incluant les responsables : 4032×351=1 415 232 comités.
On rappelle qu'en numération décimale, un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
1. Un nombre de deux chiffres s'écrit d₁d₂ avec d₁∈{1,...,9}, d₂∈{0,...,9}. Pour d₁+d₂=9 : d₁ parcourt 1 à 9 (d₂=9−d₁ reste dans {0,...,8}⊂{0,...,9}), soit 9 nombres (18,27,36,45,54,63,72,81,90). Pour d₁+d₂=12 : il faut d₂=12−d₁≤9 donc d₁≥3, et d₁≤9 ; d₁ parcourt {3,...,9}, soit 7 nombres (39,48,57,66,75,84,93).
2. On dénombre de même pour chaque somme s divisible par 3 (s=3,6,9,12,15,18) : s=3 → 3 nombres (12,21,30) ; s=6 → 6 nombres ; s=9 → 9 nombres ; s=12 → 7 nombres ; s=15 → 4 nombres (69,78,87,96) ; s=18 → 1 nombre (99). Total : 3+6+9+7+4+1=30 nombres.
3. Les multiples de 3 à deux chiffres vont de 12 à 99 : leur nombre est (99−12)/3+1=29+1=30. On retrouve exactement le même résultat qu'à la question 2, ce qui confirme le critère de divisibilité par 3 utilisé.
n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2, on considère la fonction f de ℝ vers ℝ définie par f(x)=(1+x)ⁿ.
1. D'après le binôme de Newton, f(x)=(1+x)ⁿ=Σ_{k=0}^{n} C_nᵏxᵏ. En dérivant terme à terme (le terme k=0 est constant, sa dérivée est nulle) : f'(x)=Σ_{k=1}^{n} k·C_nᵏ·xᵏ⁻¹=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+...+nC_nⁿxⁿ⁻¹. Or f'(x)=n(1+x)ⁿ⁻¹ en dérivant directement (1+x)ⁿ. Par unicité de la dérivée, on obtient l'égalité demandée : C_n¹+2C_n²x+...+nC_nⁿxⁿ⁻¹=n(1+x)ⁿ⁻¹.
2. En posant x=1 dans l'égalité précédente : C_n¹+2C_n²+...+nC_nⁿ=n(1+1)ⁿ⁻¹=n·2ⁿ⁻¹.
En posant x=−1 (n≥2, donc n−1≥1) : C_n¹+2C_n²(−1)+3C_n³(−1)²+...+nC_nⁿ(−1)ⁿ⁻¹=n(1−1)ⁿ⁻¹=n·0ⁿ⁻¹=0, soit C_n¹−2C_n²+3C_n³−...+(−1)ⁿ⁻¹nC_nⁿ=0.
Cinq exercices supplémentaires tirés du CIAM Terminale SE (Collection Inter-Africaine de Mathématiques), section « Analyse combinatoire » et « Probabilité d'un événement » du chapitre correspondant, niveau intermédiaire — énoncés fidèles au manuel, corrections rédigées pour ce site.
On désire répartir 6 journaux dans 11 casiers nominatifs. De combien de façons peut-on le faire dans chacun des cas suivants ?
Une enquête a été réalisée auprès d'un échantillon de 800 personnes sur leurs pratiques culturelles au cours du trimestre précédent. On note C l'ensemble des personnes allées au cinéma, T celui des personnes allées au théâtre, et M celui des personnes allées au concert. Les résultats obtenus sont : card(C)=400 ; card(T)=155 ; card(C∩M)=110 ; card(T∩M)=65 ; card(C∩T∩M)=20.
On utilisera un diagramme de Venn à trois ensembles et les opérations logiques sur les ensembles pour trouver et justifier les résultats obtenus.
Remarque : telles quelles, ces données ne suffisent pas à compléter entièrement le diagramme — il manque card(C∩T) (cinéma et théâtre) et card(M) (total des personnes allées au concert), aucune des deux n'étant donnée ni déductible des autres. Pour rendre l'exercice résoluble, on complète l'énoncé par l'hypothèse suivante, explicitement posée et cohérente avec les données fournies : card(C∩T)=50 et card(M)=200 (on vérifie bien 20≤50, 20≤110, 20≤65, et 50≤155, 110≤200, 65≤200).
Préalable sur les données manquantes : un diagramme de Venn à trois ensembles comporte 7 régions internes (les 3 « seul », les 3 intersections deux à deux hors triple, et la triple intersection) plus l'extérieur. Pour les déterminer toutes, il faut connaître card(C), card(T), card(M), card(C∩T), card(C∩M), card(T∩M) et card(C∩T∩M) : sept données. L'énoncé n'en fournit que cinq (card(M) et card(C∩T) manquent). On adopte donc l'hypothèse card(C∩T)=50 et card(M)=200 précisée ci-dessus pour pouvoir conclure.
Construction du diagramme (régions « exclusives ») :
• Cinéma et théâtre seulement (pas concert) : card(C∩T)−card(C∩T∩M)=50−20=30.
• Cinéma et concert seulement (pas théâtre) : card(C∩M)−card(C∩T∩M)=110−20=90.
• Théâtre et concert seulement (pas cinéma) : card(T∩M)−card(C∩T∩M)=65−20=45.
• Cinéma seulement : card(C)−[card(C∩T)+card(C∩M)−card(C∩T∩M)]=400−(50+110−20)=400−140=260.
• Théâtre seulement : card(T)−[card(C∩T)+card(T∩M)−card(C∩T∩M)]=155−(50+65−20)=155−95=60.
• Concert seulement : card(M)−[card(C∩M)+card(T∩M)−card(C∩T∩M)]=200−(110+65−20)=200−155=45.
• Les trois activités : 20.
1. Le nombre de personnes qui ne vont qu'au cinéma est la région « cinéma seulement » : 260 personnes.
2. card(C∪T∪M)=card(C)+card(T)+card(M)−card(C∩T)−card(C∩M)−card(T∩M)+card(C∩T∩M)=400+155+200−50−110−65+20=550 (on retrouve bien 550 en additionnant les 7 régions : 260+60+45+30+90+45+20=550). Le nombre de personnes sans aucune de ces trois activités est donc 800−550=250 personnes.
On considère un sac contenant trois boules blanches et trois boules noires. On tire au hasard et simultanément trois boules.
Le nombre total de tirages de 3 boules parmi les 6 est C₆³=20 (équiprobables).
Une machine à écrire comporte 42 touches parmi lesquelles se trouvent 8 chiffres, 26 lettres et 8 symboles divers.
Chaque touche a la même probabilité 1/42 d'être frappée.
Onze couples, dont le couple Koné, doivent tirer au sort quatre personnes pour présenter leur mutuelle de développement aux responsables de la commune. Les tirages sont supposés équiprobables.
Il y a 22 personnes (11 hommes, 11 femmes). Le nombre de tirages possibles de 4 personnes est C₂₂⁴=7 315.
Cinq problèmes de synthèse, plus longs et plus exigeants, tirés de la fin de la banque d'exercices (section « Problèmes ») du CIAM Terminale SE — pour aller plus loin et préparer les épreuves de type baccalauréat.
Deux boules de couleurs différentes, rouge et noire, sont réparties dans trois cases de couleurs différentes, rouge, noire et jaune.
Une urne contient 42 boules indiscernables au toucher. Il y a n boules blanches et n boules rouges (n est un entier naturel) ; toutes les autres boules sont vertes. Il y a au moins une boule de chaque couleur dans l'urne. On tire au hasard et simultanément 3 boules de l'urne.
On tire deux cartes dans un jeu de 52 cartes (dont 4 as).
Une urne contient quatre jetons marqués respectivement 1, 2, 3 et m (m∈ℝ*). On tire au hasard un jeton dans l'urne. On note P₁, P₂, P₃ et Pₘ les probabilités respectives de tirer le jeton marqué 1, 2, 3 et m. P₁, P₂, P₃ et Pₘ constituent dans cet ordre une suite arithmétique de raison 1/8.
Un père et son fils achètent un cadenas. Le vendeur du cadenas communique à l'acheteur une combinaison secrète à quatre chiffres permettant d'ouvrir le cadenas. Cette combinaison est un nombre compris entre 0000 et 9999.
