Ch. 01 — Polynômes et fractions rationnelles — 1ère D Mathématiques

1. Polynômes — Rappels et opérations

Définition

Un polynôme à une variable x est une expression de la forme :

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ⋯ + a₁x + a₀

où aₙ ≠ 0 est appelé coefficient dominant et n est le degré de P.

Opérations sur les polynômes

• Addition/soustraction : regrouper les termes de même degré.

• Multiplication : distribuer chaque terme de l'un dans chaque terme de l'autre.

• deg(P × Q) = deg(P) + deg(Q) ; deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q)

Exemple

P = 2x³ − 3x + 1, Q = x² + 2x − 4.

P + Q = 2x³ + x² − x − 3

P × Q = 2x⁵ + 4x⁴ − 8x³ − 3x³ − 6x² + 12x + x² + 2x − 4 = 2x⁵ + 4x⁴ − 11x³ − 5x² + 14x − 4

2. Division euclidienne de polynômes

Théorème

Pour tout polynôme A et tout polynôme diviseur B ≠ 0, il existe un unique couple (Q, R) tel que :

A = B × Q + R avec deg R < deg B (ou R = 0)

Q est le quotient et R le reste de la division.

Exemple — Division de A par B

A = 2x³ - x² + 3x - 5, B = x - 2 2x³ - x² + 3x - 5 | x - 2 2x³ - 4x² | 2x² + 3x + 9 3x² + 3x 3x² - 6x 9x - 5 9x - 18 13 \leftarrow reste R = 13 A = (x - 2)(2x² + 3x + 9) + 13

Théorème de Bézout (cas particulier)

(x − a) divise P(x) si et seulement si P(a) = 0.

a est alors appelé racine de P.

3. Factorisation des polynômes

Méthodes de factorisation

• Mise en facteur commun : P = a·Q si a divise tous les termes.

• Identités remarquables : a²−b²=(a+b)(a−b), a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²).

• Détection de racines évidentes : tester x∈{0,±1,±2,...} dans P(x)=0.

• Division euclidienne : si P(a)=0, diviser P par (x−a).

Exemple complet de factorisation

Factoriser P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6.

P(1) = 1−6+11−6 = 0. Donc (x−1) est un facteur.

Division : P = (x−1)(x²−5x+6). Discriminant de x²−5x+6 : Δ=25−24=1. Racines : 2 et 3.

P(x) = (x−1)(x−2)(x−3)

4. Fractions rationnelles

Définition

Une fraction rationnelle est un quotient F(x) = P(x)/Q(x) où P et Q sont des polynômes et Q ≠ 0. Son ensemble de définition exclut les racines de Q.

Opérations sur les fractions rationnelles

• Simplification : diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD.

• Addition : réduire au même dénominateur.

• Multiplication : multiplier numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux.

• Division : multiplier par l'inverse.

Exemples

Simplifier : (x²−4)/(x+2) = (x+2)(x−2)/(x+2) = x−2 (pour x≠−2).

Additionner : 1/(x−1) + 1/(x+1) = (x+1+x−1)/[(x−1)(x+1)] = 2x/(x²−1).

5. Décomposition en éléments simples

Principe

Décomposer F(x) = P(x)/Q(x) en une somme de fractions plus simples, en fonction de la factorisation de Q(x) :

• Pour chaque facteur (x−a)ⁿ de Q : termes A₁/(x−a) + A₂/(x−a)² + ... + Aₙ/(x−a)ⁿ

• Pour chaque facteur irréductible (x²+px+q)ⁿ : termes (Ax+B)/(x²+px+q) + ...

Exemple simple

Décomposer F(x) = (3x−1)/[(x−1)(x+2)].

F(x) = A/(x−1) + B/(x+2). En multipliant par (x−1)(x+2) :

3x−1 = A(x+2) + B(x−1)

x=1 : 2 = 3A → A=2/3. x=−2 : −7 = −3B → B=7/3.

F(x) = (2/3)/(x−1) + (7/3)/(x+2)

🧠 À retenir absolument

Division euclidienne : A = B·Q + R avec deg R < deg B
Bézout : (x−a) | P(x) ⟺ P(a) = 0
a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²) ; a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
Fraction rationnelle : exclure du domaine les racines du dénominateur
Décomposition en éléments simples : identifier la forme selon les facteurs de Q

Division euclidienne de polynômes

● Facile

Diviser A(x) = x³ + 2x² − 5x − 6 par B(x) = x − 2.
Vérifier que 2 est racine de A(x) et factoriser complètement A(x).

✅ Correction

Division : A = (x−2)(x²+4x+3) + 0. Reste = 0 ✅ (2 est bien racine).
x²+4x+3=0 : Δ=4, racines −1 et −3. A(x) = (x−2)(x+1)(x+3).

Factorisation complète

● Moyen

Factoriser P(x) = x³ − 3x² − 4x + 12.
Factoriser Q(x) = 2x³ + x² − 5x + 2.

✅ Correction

P(2)=8−12−8+12=0. P=(x−2)(x²−x−6)=(x−2)(x−3)(x+2). P(x)=(x−2)(x−3)(x+2)
Q(1/2)=2(1/8)+(1/4)−5/2+2=1/4+1/4−5/2+2=0. Q=(x−1/2)(2x²+2x−4)=(2x−1)(x²+x−2)=(2x−1)(x+2)(x−1). Q(x)=(2x−1)(x+2)(x−1)

Opérations sur les fractions rationnelles

● Moyen

Simplifier et/ou effectuer les opérations :

F(x) = (x²−9)/(x²+3x) ; simplifier et donner le domaine de définition.
G(x) = 2/(x−1) − 3/(x+2) ; réduire au même dénominateur.
H(x) = (x²−4)/[(x+2)(x−3)] × (x−3)/(x+1) ; simplifier.

✅ Correction

(x²−9)/(x²+3x) = (x−3)(x+3)/[x(x+3)] = (x−3)/x. D = ℝ\{0;−3}, F(x)=(x−3)/x.
2(x+2)−3(x−1) = 2x+4−3x+3 = −x+7. G(x) = (−x+7)/[(x−1)(x+2)]
= (x−2)(x+2)/[(x+2)(x−3)] × (x−3)/(x+1) = (x−2)/(x+1). H(x) = (x−2)/(x+1) (x≠−2, x≠3)

Décomposition en éléments simples

● Moyen

Décomposer F(x) = (2x+3)/[(x−1)(x+2)] en éléments simples.
Décomposer G(x) = (x²+1)/[(x−1)(x+1)] (commencer par la division euclidienne si deg num ≥ deg dén).

✅ Correction

2x+3 = A(x+2)+B(x−1). x=1: 5=3A → A=5/3. x=−2: −1=−3B → B=1/3. F(x)=(5/3)/(x−1)+(1/3)/(x+2)
Division : x²+1 = 1×(x²−1)+2 = 1×(x−1)(x+1)+2. Donc G(x) = 1 + 2/[(x−1)(x+1)]. Puis 2 = C(x+1)+D(x−1). x=1: 2=2C→C=1. x=−1: 2=−2D→D=−1. G(x) = 1 + 1/(x−1) − 1/(x+1)

Problème — Polynôme à paramètre

● Difficile

Soit P(x) = x³ + ax² − x + b où a et b sont des réels.

Sachant que P(1) = 0 et P(−2) = 0, trouver a et b.
Factoriser complètement P(x).
Résoudre P(x) ≥ 0.

✅ Correction

P(1)=1+a−1+b=a+b=0. P(−2)=−8+4a+2+b=4a+b−6=0. Système : a+b=0 et 4a+b=6. Soustraction : 3a=6 → a=2, b=−2.
P(x)=x³+2x²−x−2. P(1)=0 (vérifié), P(−1)=−1+2+1−2=0. Trois racines : 1, −1, −2. P(x)=(x−1)(x+1)(x+2).
Tableau de signes (racines −2, −1, 1) : P≥0 sur [−2;−1]∪[1;+∞[.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Q1/10

Le degré du produit P×Q avec deg(P)=3 et deg(Q)=4 est :

Q2/10

(x−2) divise P(x) si et seulement si :

Q3/10

x³−8 factorisé donne :

Q4/10

La division de P=2x²+5x+3 par B=x+1 donne :

Q5/10

L'ensemble de définition de F(x)=(x+1)/(x²−4) est :

Q6/10

Simplifier (x²−1)/(x+1) :

Q7/10

1/(x+1)+1/(x−1) simplifié donne :

Q8/10

Pour décomposer A/(x−1)+B/(x+3), quel système résoudre pour (3x−2)/[(x−1)(x+3)] ?

Q9/10

P(x)=x³−x. Les racines sont :

Q10/10

P(x)=x³+x²−4x−4. P(−1)=−1+1+4−4=0. Donc :