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Accueil/ 1ère/ Série D/ Mathématiques/ Ch. 02
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1. Radicaux d'ordre n

Définitions

Pour a ≥ 0 et n entier ≥ 2 : ⁿ√a est l'unique réel positif dont la puissance n-ième vaut a.

En particulier : ²√a = √a (racine carrée) et ³√a (racine cubique, définie sur ℝ).

Lien avec les puissances : ⁿ√a = a^(1/n) et ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)

Propriétés fondamentales (a, b ≥ 0)

• √(ab) = √a · √b et √(a/b) = √a / √b (b > 0)

• (√a)² = a et √(a²) = |a|

• √a · √b = √(ab) mais √(a+b) ≠ √a + √b en général !

2. Simplification des expressions avec radicaux

Règles de simplification

• Extraire les carrés parfaits : √(a²b) = a√b (a ≥ 0)

• Regrouper les termes semblables : p√a + q√a = (p+q)√a

• Factoriser avant de simplifier

Exemples de simplification

• √75 = √(25×3) = 5√3

• √48 − 2√12 = 4√3 − 4√3 = 0

• √(x²+2x+1) = √(x+1)² = |x+1|

• ³√54 = ³√(27×2) = 3·³√2

3. Rationalisation du dénominateur

Objectif et méthodes

Rationaliser = éliminer le radical au dénominateur en multipliant par l'expression conjuguée.

Cas 1 — Dénominateur √a

Multiplier numérateur et dénominateur par √a :

1/√a = √a / a

Exemple : 3/√5 = 3√5/5

Cas 2 — Dénominateur (√a + √b)

Multiplier par le conjugué (√a − √b) :

1/(√a + √b) = (√a − √b)/(a − b) (a ≠ b)

Exemple : 1/(√3+1) = (√3−1)/[(√3+1)(√3−1)] = (√3−1)/(3−1) = (√3−1)/2

Exemple complet

Rationaliser : (2+√3)/(√5−√2)

= (2+√3)(√5+√2)/[(√5−√2)(√5+√2)] = (2+√3)(√5+√2)/(5−2)

= (2+√3)(√5+√2)/3

= (2√5+2√2+√15+√6)/3

4. Puissances rationnelles et expressions mixtes

Règles de calcul

• a^(p/q) = ᵠ√(aᵖ) = (ᵠ√a)ᵖ

• a^(p/q) × a^(r/s) = a^(p/q + r/s)

• (ab)^(p/q) = a^(p/q) × b^(p/q)

Exemples

• 8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4

• 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8

• √a · ³√a = a^(1/2) · a^(1/3) = a^(1/2+1/3) = a^(5/6) = ⁶√(a⁵)

Application — Domaine de définition

Pour √(f(x)) ou f(x)^(1/2) : résoudre f(x) ≥ 0.

Pour ⁿ√(f(x)) avec n impair : défini sur tout ℝ (ou Df).

Exemple : √(2x−4) + 1/√(x+1). Conditions : 2x−4≥0 et x+1>0 → x≥2 et x>−1. D = [2;+∞[.

🧠 À retenir absolument

  • √(ab) = √a·√b ≥ 0 mais √(a+b) ≠ √a+√b
  • √(a²) = |a| (valeur absolue, pas a !)
  • Rationaliser (√a+√b) : multiplier par le conjugué (√a−√b)
  • a^(p/q) = (ᵠ√a)ᵖ ; puissances rationnelles : mêmes règles que puissances entières
  • p√a + q√a = (p+q)√a ; regrouper les termes de même radical
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Simplification de radicaux

● Facile

Simplifier chaque expression :

  1. √72
  2. √(50) − √(18) + 2√(8)
  3. ³√(−24)
  4. √(x²−4x+4) pour x ≥ 2
✅ Correction
  1. √72 = √(36×2) = 6√2
  2. 5√2 − 3√2 + 4√2 = 6√2
  3. ³√(−24) = −³√24 = −³√(8×3) = −2·³√3
  4. x²−4x+4=(x−2)². Pour x≥2 : √(x−2)² = x−2
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Rationalisation

● Moyen

Rationaliser le dénominateur de chaque expression :

  1. 4/√6
  2. 1/(√5−2)
  3. (√3+1)/(√3−1)
  4. 3/(2√2+√3)
✅ Correction
  1. 4/√6 = 4√6/6 = 2√6/3
  2. 1×(√5+2)/[(√5)²−4] = (√5+2)/(5−4) = √5+2
  3. (√3+1)²/(3−1) = (3+2√3+1)/2 = (4+2√3)/2 = 2+√3
  4. 3(2√2−√3)/[(2√2)²−(√3)²] = 3(2√2−√3)/(8−3) = 3(2√2−√3)/5
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Puissances rationnelles

● Moyen
  1. Calculer : 27^(2/3), 16^(3/4), (1/4)^(−3/2).
  2. Simplifier : a^(1/3) × a^(2/3) ; (x^(3/4))^(4/3) ; x^(1/2) / x^(1/3).
✅ Correction
  1. 27^(2/3)=(³√27)²=3²=9. 16^(3/4)=(⁴√16)³=2³=8. (1/4)^(−3/2)=4^(3/2)=(√4)³=2³=8.
  2. a^(1/3+2/3)=a. x^(3/4×4/3)=x. x^(1/2−1/3)=x^(1/6)=⁶√x.
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Domaine de définition

● Moyen

Déterminer le domaine de définition de chaque expression :

  1. f(x) = √(3x−6) + √(4−x)
  2. g(x) = 1/√(x²−1)
  3. h(x) = √((x−1)/(x+2))
✅ Correction
  1. 3x−6≥0 ⟺ x≥2 ET 4−x≥0 ⟺ x≤4. D=[2;4]
  2. x²−1>0 ⟺ (x−1)(x+1)>0 ⟺ x<−1 ou x>1. D=]−∞;−1[∪]1;+∞[
  3. (x−1)/(x+2)≥0 ET x≠−2. Tableau de signes : ≥0 si x≤−2 ou x≥1, mais x≠−2. D=]−∞;−2[∪[1;+∞[
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Problème — Preuve d'irrationnalité

● Difficile
  1. Montrer que √2 est irrationnel. (Utiliser un raisonnement par l'absurde : supposer √2 = p/q avec p, q entiers premiers entre eux.)
  2. Montrer que (1+√2)(1−√2) est rationnel.
  3. Calculer (√5+√3)²+(√5−√3)² et (√5+√3)(√5−√3). Que constate-t-on ?
✅ Correction
  1. Supposons √2=p/q irréductible. Alors 2=p²/q² → p²=2q². Donc p² est pair → p est pair → p=2k → 4k²=2q² → q²=2k² → q est pair. Contradiction (p et q seraient tous les deux pairs). √2 est irrationnel.
  2. (1+√2)(1−√2) = 1−(√2)² = 1−2 = −1, qui est un entier rationnel.
  3. (√5+√3)²+(√5−√3)² = 5+2√15+3+5−2√15+3 = 16. (√5+√3)(√5−√3)=5−3=2. Ces deux résultats sont rationnels malgré les √ dans les expressions de départ.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

√(a²) est égal à :

Q2/10

√75 simplifié est :

Q3/10

La rationalisation de 1/(√3+1) donne :

Q4/10

8^(2/3) est égal à :

Q5/10

√2 × √8 est égal à :

Q6/10

Le domaine de f(x)=√(4−x²) est :

Q7/10

a^(1/2) × a^(3/2) vaut :

Q8/10

3√2 + √18 simplifié donne :

Q9/10

(√5+√2)(√5−√2) vaut :

Q10/10

√(a/b) est égal à (pour a,b>0) :