Ch. 03 — Équations et inéquations de degré ≥ 2 — 1ère D Mathématiques

1. Équations du 2nd degré — Rappel et approfondissement

Résolution dans ℝ

Équation : ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Discriminant : Δ = b² − 4ac

• Δ > 0 : deux racines x₁,₂ = (−b ± √Δ)/(2a)

• Δ = 0 : racine double x₀ = −b/(2a)

• Δ < 0 : pas de racine réelle

Formules de Viète : x₁+x₂ = −b/a x₁·x₂ = c/a

Forme factorisée (si Δ≥0) : ax²+bx+c = a(x−x₁)(x−x₂)

2. Signe du trinôme du 2nd degré

Règle fondamentale

Pour f(x) = ax²+bx+c (a>0, Δ>0, x₁<x₂) :

x	]−∞;x₁[	x₁	]x₁;x₂[	x₂	]x₂;+∞[
f(x)	+ (signe de a)	0	−	0	+ (signe de a)

Si a<0 : les signes sont inversés.

Si Δ=0 : f(x) = a(x−x₀)² ≥ 0 pour tout x (si a>0), s'annule en x₀.

Si Δ<0 : f(x) a le signe de a pour tout x réel (ne s'annule jamais).

3. Équations de degré supérieur à 2

Méthode générale

Ramener l'équation à une forme P(x) = 0, puis factoriser P en produit de polynômes de degré 1 et/ou 2.

Techniques courantes

• Mise en facteur commun : xⁿ·Q(x) = 0 → x=0 ou Q(x)=0

• Changement de variable : poser X = xⁿ pour les équations bicarrées (en x⁴, x²...)

• Racine évidente puis division : si P(a)=0, diviser par (x−a)

• Groupement de termes : identifier des facteurs

Équation bicarrée : x⁴ − 5x² + 4 = 0

Poser X = x². Équation en X : X² − 5X + 4 = 0. Δ=9. X₁=1, X₂=4.

X=1 → x=±1 ; X=4 → x=±2. S = {−2 ; −1 ; 1 ; 2}

Exemple — Degré 4 par factorisation

x⁴ − 1 = 0 ⟺ (x²−1)(x²+1) = 0 ⟺ (x−1)(x+1)(x²+1) = 0

x²+1 > 0 pour tout x réel. S = {−1 ; 1}

4. Inéquations de degré supérieur à 2

Méthode du tableau de signes

1. Ramener l'inéquation sous la forme P(x) ≥ 0 (ou ≤, >, <).

2. Factoriser P(x) en produit de facteurs simples.

3. Établir le tableau de signes de chaque facteur.

4. Déduire le signe du produit (règle des signes : même → +, contraires → −).

5. Conclure.

Exemple

Résoudre x³ − x > 0 ⟺ x(x−1)(x+1) > 0.

Racines : −1, 0, 1. Tableau de signes :

x | -\infty -1 0 1 +\infty x | - - + + x-1 | - - - + x+1 | - + + + P | - 0 + 0- 0 +

P > 0 sur ]−1 ; 0[ ∪ ]1 ; +∞[

5. Inéquations avec valeur absolue

Propriétés clés

• |f(x)| < a ⟺ −a < f(x) < a (a > 0)

• |f(x)| > a ⟺ f(x) < −a ou f(x) > a (a > 0)

• |f(x)| ≤ |g(x)| ⟺ f²(x) ≤ g²(x)

Exemple

|2x−3| < 5 ⟺ −5 < 2x−3 < 5 ⟺ −2 < 2x < 8 ⟺ −1 < x < 4

🧠 À retenir absolument

Viète : x₁+x₂ = −b/a et x₁·x₂ = c/a
Trinôme a>0 : négatif entre ses racines (si Δ>0)
Équation bicarrée : poser X=x², résoudre en X, puis revenir à x
Inéquation de degré n : factoriser, tableau de signes, conclure
|f(x)| < a ⟺ −a < f(x) < a

Équations du 2nd degré

● Facile

x² − 7x + 10 = 0
3x² − 4x + 2 = 0
x² − 6x + 9 = 0

✅ Correction

Δ=49−40=9. x=(7±3)/2. x₁=2, x₂=5
Δ=16−24=−8<0. Pas de solution réelle.
Δ=36−36=0. x₀=6/2=3 (racine double).

Équations de degré supérieur

● Moyen

Résoudre x⁴ − 13x² + 36 = 0 (équation bicarrée).
Résoudre x³ − 7x + 6 = 0 (chercher une racine entière, puis factoriser).

✅ Correction

X=x². X²−13X+36=0. Δ=169−144=25. X₁=(13−5)/2=4, X₂=(13+5)/2=9. x²=4→x=±2 ; x²=9→x=±3. S={−3;−2;2;3}
P(1)=1−7+6=0. P=(x−1)(x²+x−6)=(x−1)(x+3)(x−2). S={−3;1;2}

Inéquations du 2nd degré

● Moyen

x² − 4x − 5 ≤ 0
2x² + 3x − 2 > 0
−x² + 5x − 4 ≥ 0

✅ Correction

Racines : x=−1 et x=5. a=1>0 : négatif entre les racines. ]−∞ : [−1;5]
Racines : Δ=9+16=25. x=(−3±5)/4 : x₁=−2, x₂=1/2. a=2>0 : positif à l'extérieur. ]−∞;−2[∪]1/2;+∞[
Racines de x²−5x+4=0 : x=1, x=4. Inéquation : −(x−1)(x−4)≥0. a=−1<0 : ≥0 entre les racines. [1;4]

Tableau de signes — Degré 3

● Moyen

Résoudre (x−1)²(x+3) < 0.

Identifier les racines et leur multiplicité.
Dresser le tableau de signes.
Conclure.

✅ Correction

Racines : x=1 (double, ne change pas de signe) et x=−3 (simple).
(x−1)²≥0 toujours (carré). Signe de P = signe de (x+3) × (x−1)² : même signe que (x+3) sauf en x=1 où P=0.
P<0 quand (x+3)<0 et (x−1)²>0 : x<−3 et x≠1 (trivial). S = ]−∞;−3[

Problème — Inéquation et intervalle

● Difficile

Résoudre |x² − 5| < 4.
Résoudre x⁴ − 5x² + 4 ≤ 0.
Comparer les deux ensembles solutions. Que constate-t-on ?

✅ Correction

|x²−5|<4 ⟺ −4<x²−5<4 ⟺ 1<x²<9 ⟺ (1<x²) ET (x²<9). x²>1 ⟺ x<−1 ou x>1. x²<9 ⟺ −3<x<3. S₁=]−3;−1[∪]1;3[
x⁴−5x²+4=(x²−1)(x²−4)=(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)≤0. Racines : −2,−1,1,2. Tableau de signes : ≤0 sur [−2;−1]∪[1;2]. S₂=[−2;−1]∪[1;2]
S₂⊂S₁ mais S₁≠S₂. Par exemple x=1,5∈S₁ (|2,25−5|=2,75<4 ✅) mais x=1,5∉S₂ (car 1,5∉[1;2])... En réalité 1,5∈[1;2] donc 1,5∈S₂. Les ensembles sont différents : S₁ est ouvert et plus large.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Q1/10

Le discriminant de 2x²−4x+3 vaut :

Q2/10

Pour a>0 et Δ>0, le trinôme ax²+bx+c est négatif :

Q3/10

Pour résoudre x⁴−7x²+12=0, on pose X= :

Q4/10

Résoudre x³−8=0 :

Q5/10

L'inéquation |x−3|<2 est équivalente à :

Q6/10

x²−4>0 a pour solution :

Q7/10

La somme des racines de 3x²−6x+1=0 vaut :

Q8/10

(x−1)²(x+2)>0 est vérifié pour :

Q9/10

L'équation bicarrée x⁴−13x²+36=0 a :

Q10/10

x²−6x+9>0 a pour solution :