Une équation irrationnelle contient la variable sous un signe radical. La méthode standard :
1. Déterminer le domaine de définition (radicande ≥ 0).
2. Isoler le radical d'un côté.
3. Élever les deux membres à la puissance n pour éliminer ⁿ√.
4. Vérifier les solutions dans l'équation originale (l'élévation peut introduire des solutions étrangères).
Résoudre √(x+3) = x−1.
Condition : x+3≥0 (x≥−3) et x−1≥0 (x≥1, car √ ≥ 0). Domaine : [1;+∞[.
Carré des deux membres : x+3 = (x−1)² = x²−2x+1 → x²−3x−2=0... Erreur: x²−2x+1−x−3=0 → x²−3x−2=0. Δ=9+8=17. Racines : (3±√17)/2. Vérifier si elles appartiennent à [1;+∞[.
(3+√17)/2 ≈ 3,56 ∈ [1;+∞[ ✅ et (3−√17)/2 ≈ −0,56 ∉ [1;+∞[ ✗. Solution : x = (3+√17)/2
Élever à une puissance paire peut créer des solutions parasites. Toujours vérifier la solution dans l'équation originale.
1. Déterminer le domaine (dénominateurs ≠ 0).
2. Multiplier tous les membres par le PPCM des dénominateurs.
3. Résoudre l'équation polynomiale résultante.
4. Vérifier que les solutions appartiennent au domaine.
Résoudre 1/(x−1) + 1/(x+2) = 3/[(x−1)(x+2)].
D = ℝ\{1;−2}. Multiplier par (x−1)(x+2) :
(x+2) + (x−1) = 3 → 2x+1 = 3 → x=1.
Mais x=1 ∉ D ! Aucune solution.
• cos x = a (|a| ≤ 1) : solutions x = ±arccos(a) + 2kπ (k∈ℤ)
• sin x = a (|a| ≤ 1) : solutions x = arcsin(a) + 2kπ ou x = π−arcsin(a) + 2kπ
• tan x = a : solutions x = arctan(a) + kπ
| a | arcsin(a) | arccos(a) | arctan(a) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | π/2 | 0 |
| 1/2 | π/6 | π/3 | — |
| √2/2 | π/4 | π/4 | — |
| √3/2 | π/3 | π/6 | — |
| 1 | π/2 | 0 | π/4 |
Résoudre sin x = 1/2 dans [0;2π] :
x = π/6 ou x = π − π/6 = 5π/6. S = {π/6 ; 5π/6}
Résoudre cos(2x) = √3/2 :
2x = ±π/6 + 2kπ → x = ±π/12 + kπ. S = {π/12+kπ ; −π/12+kπ, k∈ℤ}
On réduit le système par opérations élémentaires sur les lignes :
• Permuter deux lignes.
• Multiplier une ligne par un scalaire non nul.
• Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne.
Objectif : obtenir une forme triangulaire, puis remonter pour trouver les inconnues.
{ x + y + z = 6 (L1)
{ 2x − y + z = 3 (L2)
{ x + 2y − z = 2 (L3)
L2 ← L2 − 2L1 : −3y − z = −9 (L2')
L3 ← L3 − L1 : y − 2z = −4 (L3')
L2' ← L2'/3 : y + z/3 = 3
L3' est : y − 2z = −4
L3'' ← L3' − L2' : −2z − z/3 = −7 → −7z/3 = −7 → z = 3
y = 3 − z/3 = 2. x = 6 − y − z = 1.
Solution : (x;y;z) = (1;2;3)Résoudre dans [0 ; 2π] :
{ 2x + y − z = 4
{ x − y + 2z = 1
{ 3x + 2y + z = 9L2←2L2−L1 : 2x−2y+4z−2x−y+z = 2−4 → −3y+5z=−2 (L2')
L3←2L3−3L1 : 6x+4y+2z−6x−3y+3z = 18−12 → y+5z=6 (L3')
L2''←L2'+3L3' : (−3y+5z)+3(y+5z)=−2+18 → 20z=16 → z=4/5
y=6−5z=6−4=2. x=(4−y+z)/2=(4−2+4/5)/2=(2+4/5)/2=14/10=7/5.
Solution : (x;y;z) = (7/5 ; 2 ; 4/5)
Vérif L1 : 14/5+2−4/5=10/5+2=2+2=4 ✅
On cherche les réels x et y vérifiant :
{ √(x+y) = 3
{ x² + y² = 5
10 questions · Correction immédiate
Pour résoudre √(2x+1)=x−1, la première condition est :
Après avoir résolu √(x+3)=x−1 par élévation au carré, on trouve x=−1 et x=3. On garde :
Pour résoudre 2/(x−1)=3/(x+2), la valeur de x est :
Les solutions de sin x = √2/2 dans [0;2π] sont :
Les solutions de cos x = −1/2 dans [0;2π] sont :
La méthode de Gauss consiste à :
tan x = −1 dans [0;2π] donne :
√(x²−4)=x est valide pour :
Le système { x+y=5 ; y+z=8 ; x+z=7 a pour solution :
Une équation irrationnelle peut avoir des solutions parasites car :