Ch. 05 — Généralités sur les fonctions — 1ère D Mathématiques

1. Applications — Injection, surjection, bijection

Définitions

Soit f : E → F une fonction de E vers F.

• Injective : f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂ (deux éléments distincts ont des images distinctes)

• Surjective : ∀ y ∈ F, ∃ x ∈ E tel que f(x) = y (tout élément de F a au moins un antécédent)

• Bijective : injective ET surjective (tout élément de F a exactement un antécédent)

Tests pratiques

• Injection : f(x₁)=f(x₂) → résoudre et vérifier que la seule solution est x₁=x₂.

• Surjection : f(x)=y → résoudre en x et vérifier que la solution existe toujours dans E.

• Graphiquement : injection ↔ toute droite horizontale coupe la courbe au plus une fois. Surjection ↔ toute droite horizontale coupe la courbe au moins une fois.

TypeConditionAntécédents Injectivef(a)=f(b) ⟹ a=bAu plus 1 par élément de F Surjective∀y∈F, ∃x∈E: f(x)=yAu moins 1 par élément de F BijectiveInjective + SurjectiveExactement 1 par élément de F

2. Réciproque d'une bijection

Définition

Si f : E → F est une bijection, sa réciproque (ou inverse) f⁻¹ : F → E est définie par :

f⁻¹(y) = x ⟺ f(x) = y

f⁻¹ est également une bijection, et f⁻¹ ∘ f = idE, f ∘ f⁻¹ = idF.

Construction graphique

La courbe de f⁻¹ est le symétrique de la courbe de f par rapport à la droite y = x.

Exemples

• f : ℝ→ℝ, f(x)=2x+3 est une bijection. f⁻¹(y)=(y−3)/2, soit f⁻¹(x)=(x−3)/2.

• f : [0;+∞[→[0;+∞[, f(x)=x² est une bijection. f⁻¹(x)=√x.

• f : ℝ→ℝ, f(x)=x³ est une bijection. f⁻¹(x)=³√x.

3. Restriction et prolongement d'une fonction

Définitions

• Restriction : Si f : D→F et I ⊂ D, la restriction f|ᵢ est f définie seulement sur I.

• Prolongement : Si f : D→F et D ⊂ D', un prolongement de f est une fonction g : D'→F telle que g|D = f.

Exemple

f(x)=x² sur ℝ n'est pas injective. Mais sa restriction à [0;+∞[ l'est : f|[0;+∞[ est une bijection de [0;+∞[ vers [0;+∞[.

4. Propriétés des fonctions

Parité, périodicité, monotonie

• Paire : Df symétrique, f(−x)=f(x). Courbe symétrique par rapport à Oy.

• Impaire : Df symétrique, f(−x)=−f(x). Courbe symétrique par rapport à O.

• Périodique de période T>0 : f(x+T)=f(x) pour tout x. La courbe se répète tous les T.

• Strictement croissante sur I : x₁<x₂ ⟹ f(x₁)<f(x₂).

• Une fonction strictement monotone sur I est injective sur I.

Composition de fonctions

Si f : E→F et g : F→G, la composée g∘f : E→G est définie par (g∘f)(x) = g(f(x)).

• g∘f ≠ f∘g en général (non-commutativité).

• (h∘g)∘f = h∘(g∘f) (associativité).

• Si f et g sont injectives (resp. surjectives, bijectives), alors g∘f l'est aussi.

🧠 À retenir absolument

Bijection = injection + surjection = exactement 1 antécédent par élément de F
f⁻¹ existe ⟺ f est bijective ; graphe de f⁻¹ = symétrique de celui de f par rapport à y=x
Restriction d'une fonction non injective : réduire D pour la rendre injective
Monotone stricte sur I ⟹ injective sur I
Composition : (g∘f)(x)=g(f(x)) ; attention à l'ordre !

Injection, surjection, bijection

● Facile

Pour chaque fonction f : ℝ → ℝ, dire si elle est injective, surjective, bijective :

f(x) = 3x − 5
f(x) = x²
f(x) = x³
f(x) = eˣ (définie sur ℝ vers ℝ)

✅ Correction

f(x₁)=f(x₂)→3x₁=3x₂→x₁=x₂ : injective. Tout y=3x−5 a l'antécédent x=(y+5)/3 : surjective. → bijective.
f(2)=f(−2)=4 : non injective. −1 n'a pas d'antécédent : non surjective.
f strictement croissante sur ℝ : injective. Tout y∈ℝ a l'antécédent ³√y : surjective. → bijective.
eˣ>0 pour tout x, donc les y≤0 n'ont pas d'antécédent : non surjective. eˣ¹=eˣ² → x₁=x₂ : injective.

Calcul de la réciproque

● Moyen

Pour chaque bijection, calculer f⁻¹(x) :

f(x) = 5x − 2 (sur ℝ)
f(x) = x³ + 1 (sur ℝ)
f : [−1;+∞[ → [0;+∞[, f(x) = √(x+1)

✅ Correction

y=5x−2 → x=(y+2)/5. f⁻¹(x)=(x+2)/5
y=x³+1 → x=³√(y−1). f⁻¹(x)=³√(x−1)
y=√(x+1) → y²=x+1 → x=y²−1. Mais y∈[0;+∞[. f⁻¹(x)=x²−1 (sur [0;+∞[)

Composition de fonctions

● Moyen

f(x) = 2x+1 et g(x) = x²−3.

Calculer (g∘f)(x) et (f∘g)(x). Sont-ils égaux ?
Calculer (g∘f)(2) et (f∘g)(2).
Trouver x tel que (g∘f)(x) = 0.

✅ Correction

(g∘f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)²−3=4x²+4x−2. (f∘g)(x)=f(x²−3)=2(x²−3)+1=2x²−5. Ils ne sont pas égaux.
(g∘f)(2)=4×4+8−2=22. (f∘g)(2)=2×4−5=3.
(g∘f)(x)=0 : 4x²+4x−2=0 → 2x²+2x−1=0. Δ=4+8=12. x=(−2±2√3)/4=(−1±√3)/2. x=(−1+√3)/2 ou x=(−1−√3)/2

Parité et périodicité

● Moyen

Étudier la parité de f(x)=x⁴−2x², g(x)=x⁵−x³, h(x)=x²+x+1.
Montrer que f(x)=sin(πx) est périodique et donner sa période minimale.
Une fonction à la fois paire et impaire sur ℝ est nécessairement nulle. Démontrer.

✅ Correction

f(−x)=x⁴−2x²=f(x) : paire. g(−x)=−x⁵+x³=−g(x) : impaire. h(−x)=x²−x+1≠h(x) et ≠−h(x) : ni paire ni impaire.
f(x+2)=sin(π(x+2))=sin(πx+2π)=sin(πx)=f(x). Période T=2. Minimale car sin a une période minimale de 2π, donc sin(πx) de 2π/π=2. Période minimale T=2.
Si f est paire et impaire : f(−x)=f(x) et f(−x)=−f(x). Donc f(x)=−f(x) → 2f(x)=0 → f(x)=0 pour tout x.

Problème — Restriction et bijection

● Difficile

Soit f : ℝ → ℝ définie par f(x) = x² − 4x + 3.

Montrer que f n'est pas injective sur ℝ.
Écrire f sous la forme f(x) = (x−a)² + b (forme canonique). En déduire une restriction de f qui est bijective de [a;+∞[ vers [b;+∞[.
Calculer la réciproque de cette restriction.
Vérifier que f∘f⁻¹ = id sur [b;+∞[.

✅ Correction

f(1)=1−4+3=0 et f(3)=9−12+3=0. Deux éléments distincts ont la même image. f non injective sur ℝ.
f(x)=(x−2)²−1. a=2, b=−1. Sur [2;+∞[, f est strictement croissante (parabole vers le haut, à droite du sommet) → injective. Image = [−1;+∞[ → surjective. Restriction f|[2;+∞[ : [2;+∞[ → [−1;+∞[ est bijective.
y=(x−2)²−1 → (x−2)²=y+1 → x−2=√(y+1) (car x≥2) → x=2+√(y+1). f⁻¹(x)=2+√(x+1) sur [−1;+∞[.
(f∘f⁻¹)(x)=f(2+√(x+1))=(2+√(x+1)−2)²−1=(√(x+1))²−1=x+1−1=x ✅

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Q1/10

f : ℝ→ℝ, f(x)=2x+1 est :

Q2/10

f : ℝ→ℝ, f(x)=x² est :

Q3/10

La réciproque de f(x)=x³+2 est :

Q4/10

Le graphe de f⁻¹ s'obtient à partir de celui de f en :

Q5/10

(g∘f)(x) signifie :

Q6/10

f(x)=cos(x) est :

Q7/10

Une fonction strictement monotone sur I est nécessairement :

Q8/10

Si f est bijective de E vers F, alors f⁻¹∘f est :

Q9/10

f est paire si :

Q10/10

La restriction de f(x)=x² à [0;+∞[ est bijective vers :