f a pour limite L en a (on note lim[x→a] f(x) = L) si f(x) se rapproche arbitrairement de L quand x se rapproche de a (sans nécessairement atteindre a).
Limites à gauche et à droite : lim[x→a⁻] f(x) et lim[x→a⁺] f(x).
La limite en a existe ⟺ les deux limites latérales existent et sont égales.
Si lim f(x)=L et lim g(x)=M (L, M ∈ ℝ) :
• lim[f+g] = L+M • lim[f·g] = L·M • lim[f/g] = L/M (si M≠0)
• lim[f∘g] : règle de composition (si g→a et f est continue en a)
Cas nécessitant un traitement particulier : 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0×∞
Techniques : factoriser, multiplier par conjugué, mise en facteur du terme dominant.
lim[x→2] (x²−4)/(x−2) = lim[x→2] (x+2)(x−2)/(x−2) = lim[x→2] (x+2) = 4
• Polynôme : la limite est déterminée par le terme de plus haut degré.
• Fraction rationnelle : diviser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de x au dénominateur.
lim[x→+∞] (3x²−2x+1) = lim 3x² = +∞
lim[x→+∞] (2x²+1)/(x²−3) = lim 2/1 = 2 (diviser par x²)
lim[x→+∞] (x+1)/x² = lim 1/x = 0
• lim[x→0] sin(x)/x = 1 (limite fondamentale)
• lim[x→0] (1−cos x)/x² = 1/2
• lim[x→+∞] xⁿ = +∞ (n>0) • lim[x→+∞] 1/xⁿ = 0 (n>0)
f est continue en a si : lim[x→a] f(x) = f(a)
f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.
Si f est continue sur [a;b] et si f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors il existe au moins un c ∈ ]a;b[ tel que f(c) = 0.
Si de plus f est strictement monotone, ce c est unique.
• Toute fonction polynôme est continue sur ℝ.
• Toute fraction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
• Somme, produit, quotient (dénominateur ≠ 0), composée de fonctions continues → continue.
f(x)=x³−x−1. f(1)=−1<0 et f(2)=5>0. f continue sur [1;2]. Par le TVI, ∃c∈]1;2[ tel que f(c)=0 : l'équation x³−x−1=0 a une solution dans ]1;2[.
• Horizontale : lim[x→±∞] f(x) = L → droite y = L asymptote horizontale.
• Verticale : lim[x→a] |f(x)| = +∞ → droite x = a asymptote verticale.
• Oblique : lim[x→±∞] [f(x)−(ax+b)] = 0 → droite y=ax+b asymptote oblique.
f(x) = (2x²+1)/(x−1). Division : f(x) = 2x+2+3/(x−1). Asymptote verticale : x=1. Asymptote oblique : y=2x+2.
Soit f définie par f(x) = (x²−1)/(x−1) si x≠1 et f(1) = k.
Pour f(x) = (x²+2x)/(x−1) :
10 questions · Correction immédiate
lim[x→2] (x²−4)/(x−2) vaut :
lim[x→+∞] (5x²+3)/(2x²−1) vaut :
f est continue en a si :
lim[x→0] sin(x)/x vaut :
Le TVI garantit qu'une équation f(x)=0 a une solution sur ]a;b[ si :
lim[x→+∞] 1/x² vaut :
L'asymptote verticale de f(x)=1/(x−3) est :
lim[x→+∞] (2x+1)/x vaut :
Si f(1)=−2 et f(3)=5, et f est continue sur [1;3], alors :
lim[x→3⁺] 1/(x−3) vaut :
