Ch. 07 — Dérivation — 1ère D Mathématiques — Bibliothèque Numérique by Edutech Congo

1. Nombre dérivé et fonction dérivée

Définition

Le nombre dérivé de f en a est la limite (si elle existe) :

f'(a) = lim[h→0] [f(a+h) − f(a)] / h

C'est la pente de la tangente à la courbe de f au point (a, f(a)).

Équation de la tangente en x=a : y = f'(a)(x−a) + f(a)

Fonction dérivée

La fonction dérivée f' associe à chaque x le nombre dérivé f'(x) (là où il existe).

f est dérivable en a ⟹ f est continue en a (réciproque fausse).

2. Dérivées des fonctions usuelles

f(x)f'(x)Domaine constante k0ℝ x1ℝ xⁿ (n∈ℤ*)nxⁿ⁻¹ℝ (n≥1) ou ℝ* (n≤−1) √x1/(2√x)]0;+∞[ 1/x−1/x²ℝ* sin xcos xℝ cos x−sin xℝ tan x1/cos²x = 1+tan²xℝ\{π/2+kπ}

3. Règles de dérivation

Opérations sur les fonctions dérivables

• Linéarité : (αf + βg)' = αf' + βg'

• Produit : (f·g)' = f'·g + f·g'

• Quotient : (f/g)' = (f'·g − f·g') / g²

• Composée : (g∘f)'(x) = f'(x) · g'(f(x)) — règle de la chaîne

Exemples de la règle de la chaîne

• [sin(3x)]' = 3·cos(3x)

• [√(x²+1)]' = x/√(x²+1) (car u=x²+1, u'=2x, (√u)'=u'/(2√u))

• [(2x+1)⁵]' = 5·(2x+1)⁴·2 = 10(2x+1)⁴

• [cos²x]' = 2cos(x)·(−sin x) = −2sin(x)cos(x) = −sin(2x)

4. Dérivée et sens de variation

Lien dérivée-monotonie

Si f est dérivable sur I :

• f'(x) > 0 sur I ⟹ f est strictement croissante sur I

• f'(x) < 0 sur I ⟹ f est strictement décroissante sur I

• f'(a) = 0 et changement de signe de f' en a ⟹ f admet un extremum local en a

Extremums

• f'(a)=0 et f' change de + à − en a : maximum local en a.

• f'(a)=0 et f' change de − à + en a : minimum local en a.

• f'(a)=0 sans changement de signe : point d'inflexion (ni max ni min).

Exemple

f(x) = x³ − 3x. f'(x) = 3x²−3 = 3(x²−1) = 3(x−1)(x+1).

f'=0 en x=−1 et x=1. f'>0 sur ]−∞;−1[ et ]1;+∞[, f'<0 sur ]−1;1[.

Maximum local en x=−1 : f(−1)=2. Minimum local en x=1 : f(1)=−2.

🧠 À retenir absolument

f'(a) = lim[h→0] [f(a+h)−f(a)]/h ; tangente : y=f'(a)(x−a)+f(a)
(uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v−uv')/v² ; (g∘f)' = f'·(g'∘f)
(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ ; (sin x)'=cos x ; (cos x)'=−sin x ; (√x)'=1/(2√x)
f'>0 ⟹ croissante ; f'<0 ⟹ décroissante
Extremum local en a : f'(a)=0 ET changement de signe de f'

Dérivées de fonctions usuelles

● Facile

Calculer la dérivée de chaque fonction :

f(x) = 4x³ − 3x² + 7x − 2
g(x) = 2/x + 3√x
h(x) = sin x − 2cos x
k(x) = x⁴/4 − x²/2 + 1

✅ Correction

f'(x) = 12x² − 6x + 7
g'(x) = −2/x² + 3/(2√x)
h'(x) = cos x + 2sin x
k'(x) = x³ − x = x(x²−1)

Règles produit, quotient et chaîne

● Moyen

f(x) = x²·sin x
g(x) = (x−1)/(x+2)
h(x) = √(3x²+1)
k(x) = sin²(2x)

✅ Correction

(uv)': u=x², v=sin x. f'=2x·sin x + x²·cos x
(u/v)': u'=1, v'=1. g'=(x+2−(x−1))/(x+2)²=3/(x+2)²
u=3x²+1, u'=6x. (√u)'=u'/(2√u). h'=6x/(2√(3x²+1))=3x/√(3x²+1)
u=sin(2x), k=u². k'=2u·u'=2sin(2x)·2cos(2x)=2sin(4x)

Tangente à une courbe

● Moyen

Écrire l'équation de la tangente à f(x)=x²−2x+3 en x=2.
Écrire l'équation de la tangente à g(x)=sin x en x=π/6.
Trouver le(s) point(s) de la courbe de f(x)=x³ où la tangente est parallèle à la droite y=12x−5.

✅ Correction

f(2)=3, f'(x)=2x−2, f'(2)=2. Tangente : y=2(x−2)+3=2x−1
g(π/6)=1/2, g'(x)=cos x, g'(π/6)=√3/2. Tangente : y=(√3/2)(x−π/6)+1/2
f'(x)=3x²=12 → x²=4 → x=±2. Points : (2;8) et (−2;−8). Vérif : tangente en x=2 : y=12(x−2)+8=12x−16 (parallèle à y=12x−5 ✅).

Étude des variations par la dérivée

● Moyen

f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 5.

Calculer f'(x).
Trouver les zéros de f' et dresser le tableau de variations.
Déterminer les extremums locaux et leurs valeurs.

✅ Correction

f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x²−3x+2) = 6(x−1)(x−2)
f'=0 en x=1 et x=2. f'>0 sur ]−∞;1[, f'<0 sur ]1;2[, f'>0 sur ]2;+∞[.
Maximum local en x=1 : f(1)=2−9+12−5=0. Minimum local en x=2 : f(2)=16−36+24−5=−1.

Problème — Optimisation

● Difficile

On veut construire une boîte rectangulaire sans couvercle, de volume V = 500 cm³, avec une base carrée de côté x et une hauteur h.

Exprimer h en fonction de x et V.
Exprimer l'aire totale A(x) de la boîte (base + 4 faces latérales).
Calculer A'(x) et trouver le x minimisant A(x).
Calculer la hauteur optimale et l'aire minimale.

✅ Correction

V=x²h=500 → h=500/x²
A=x²+4xh=x²+4x·500/x²=x²+2000/x
A'(x)=2x−2000/x². A'(x)=0 : 2x=2000/x² → x³=1000 → x=10 cm. A''=2+4000/x³>0 → minimum ✅.
h=500/100=5 cm. A(10)=100+200=300 cm².

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

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0/10Répondues

Q1/10

La dérivée de f(x)=x⁵ est :

Q2/10

La dérivée de sin(x) est :

Q3/10

La dérivée de (x²+1)³ par la règle de la chaîne est :

Q4/10

(u/v)' est égal à :

Q5/10

Si f'(x)>0 sur ]a;b[, alors f est :

Q6/10

L'équation de la tangente à f(x)=x² en x=3 est :

Q7/10

f'(a)=0 est une condition :

Q8/10

(x²·sin x)' est égal à :

Q9/10

La dérivée de √x est :

Q10/10

f(x)=x³−3x a un maximum local en :