F est une primitive de f sur I si F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I.
Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sont de la forme F(x) + C (C constante).
| f(x) | F(x) (primitive) |
|---|---|
| xⁿ (n≠−1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| cos x | sin x + C |
| sin x | −cos x + C |
| 1/cos²x | tan x + C |
| 1/(2√x) | √x + C |
| eˣ | eˣ + C |
• Linéarité : primitive de αf+βg est αF+βG
• Règle de la chaîne inversée : Primitive de f'(u)·u'(x) est f(u(x))
• Primitive de u'·uⁿ est uⁿ⁺¹/(n+1) (n≠−1)
Si f est continue sur [a;b] et F est une primitive de f :
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)
L'intégrale représente l'aire algébrique entre la courbe de f et l'axe Ox sur [a;b].
• Linéarité : ∫(αf+βg) = α∫f + β∫g
• Relation de Chasles : ∫ₐᵇ f = ∫ₐᶜ f + ∫ᶜᵇ f
• ∫ₐᵃ f = 0 et ∫ₐᵇ f = −∫ᵦₐ f
• Si f ≥ 0 sur [a;b] : ∫ₐᵇ f ≥ 0 (et représente une aire positive)
∫₀² (x²+2x) dx = [x³/3 + x²]₀² = (8/3+4)−0 = 8/3+4 = 20/3
Si f change de signe sur [a;b], on découpe l'intervalle en sous-intervalles où f ne change pas de signe :
Aire = ∫ₐᵇ |f(x)| dx = somme des ∫|f| sur chaque partie
Aire entre f et g sur [a;b] (avec f ≥ g) :
Aire = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx
Intersections : x²=x → x=0 ou x=1. Sur [0;1] : x≥x² (car 0≤x≤1).
Aire = ∫₀¹(x−x²)dx = [x²/2−x³/3]₀¹ = 1/2−1/3 = 1/6
Trouver une primitive de chaque fonction :
Soit f(x) = x² − 1.
Calculer l'aire du domaine délimité par f(x) = x² et g(x) = 2x.
La valeur moyenne de f sur [a;b] est : m = 1/(b−a) × ∫ₐᵇ f(x) dx
10 questions · Correction immédiate
Une primitive de f(x)=4x³ est :
∫₀¹ x dx vaut :
Une primitive de cos x est :
∫ₐᵃ f(x) dx vaut :
La relation de Chasles dit que ∫ₐᶜ f = :
∫₀^π cos(x) dx vaut :
L'aire entre f(x)=x² et g(x)=x sur [0;1] est :
Une primitive de (2x+1)³ est :
∫₁² (3x²) dx vaut :
Si f(x)≥0 sur [a;b], alors ∫ₐᵇ f(x)dx représente :
