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1. Généralités sur les suites

Définitions

Une suite numérique est une fonction f : ℕ → ℝ. On note uₙ = f(n) le terme général.

• Explicite : uₙ = f(n), formule directe (ex : uₙ = 2n+1)

• Par récurrence : uₙ₊₁ = g(uₙ) avec u₀ ou u₁ donné

Monotonie d'une suite

• Croissante : uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n (ou uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0)

• Décroissante : uₙ₊₁ ≤ uₙ pour tout n (ou uₙ₊₁ − uₙ ≤ 0)

• Alternativement : étudier le signe de uₙ₊₁/uₙ−1 (si termes positifs)

2. Suites arithmétiques

Définition et terme général

uₙ₊₁ = uₙ + r (r = raison, constante)

uₙ = u₀ + n·r ou uₙ = u₁ + (n−1)·r

• Croissante si r > 0 ; décroissante si r < 0 ; constante si r = 0

Somme des termes consécutifs

u₁ + u₂ + ⋯ + uₙ = n(u₁ + uₙ)/2

En particulier : 1 + 2 + ⋯ + n = n(n+1)/2

3. Suites géométriques

Définition et terme général

uₙ₊₁ = q · uₙ (q = raison, ≠ 0)

uₙ = u₀ · qⁿ ou uₙ = u₁ · qⁿ⁻¹

Somme des n premiers termes (q ≠ 1)

u₁ + u₂ + ⋯ + uₙ = u₁ · (1 − qⁿ)/(1 − q)

Ou de u₀ à uₙ₋₁ : S = u₀(1−qⁿ)/(1−q)

Intérêts composés — Application

Capital C₀ placé à un taux t% annuel (intérêts composés). Après n années :

Cₙ = C₀ × (1 + t/100)ⁿ (suite géométrique de raison q = 1 + t/100)

4. Convergence d'une suite

Définition

Une suite (uₙ) converge vers ℓ ∈ ℝ si uₙ se rapproche arbitrairement de ℓ quand n → +∞ :

lim[n→+∞] uₙ = ℓ

Si ℓ n'existe pas ou est ±∞, la suite diverge.

Convergence des suites géométriques

Pour uₙ = qⁿ :

• |q| < 1 : qⁿ → 0 (convergente vers 0)

• q = 1 : qⁿ = 1 (convergente vers 1)

• |q| > 1 : |qⁿ| → +∞ (divergente)

• q = −1 : oscille entre −1 et 1 (divergente)

Théorème des suites monotones bornées

Toute suite monotone et bornée est convergente.

• Croissante et majorée → converge vers sa borne supérieure.

• Décroissante et minorée → converge vers sa borne inférieure.

Détermination d'une limite par récurrence

Soit uₙ₊₁ = (uₙ+3)/2, u₀=1. Si (uₙ) converge vers ℓ, alors ℓ=(ℓ+3)/2 → 2ℓ=ℓ+3 → ℓ=3.

🧠 À retenir absolument

  • Suite arithmétique : uₙ=u₁+(n−1)r ; somme=n(u₁+uₙ)/2
  • Suite géométrique : uₙ=u₁·qⁿ⁻¹ ; somme=u₁(1−qⁿ)/(1−q)
  • |q|<1 → qⁿ→0 ; |q|>1 → diverge ; q=1 → constant
  • Monotone + bornée → convergente
  • Limite par récurrence : si ℓ existe, résoudre ℓ=f(ℓ)
1

Identification et terme général

● Facile

Pour chaque suite, dire si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre. Donner le terme général.

  1. 3, 7, 11, 15, ...
  2. 2, 6, 18, 54, ...
  3. 1, 3, 7, 13, 21, ...
  4. u₀=5, uₙ₊₁=uₙ−3
✅ Correction
  1. Différences constantes : 4. Arithmétique, r=4. uₙ=3+4n.
  2. Quotients constants : 3. Géométrique, q=3. uₙ=2×3ⁿ.
  3. Différences : 2,4,6,8 (non constantes). Quotients non constants. Ni l'une ni l'autre.
  4. Différences constantes : −3. Arithmétique, r=−3, u₀=5. uₙ=5−3n.
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Calcul de termes et sommes

● Moyen
  1. Suite arithmétique u₁=4, r=3. Calculer u₁₀ et S=u₁+u₂+⋯+u₁₀.
  2. Suite géométrique u₁=2, q=1/2. Calculer u₅ et S=u₁+u₂+⋯+u₅.
  3. Calculer 2+4+6+⋯+100 (somme des 50 premiers entiers pairs).
✅ Correction
  1. u₁₀=4+9×3=31. S=10×(4+31)/2=10×17,5=175.
  2. u₅=2×(1/2)⁴=2/16=1/8. S=2×(1−(1/2)⁵)/(1−1/2)=2×(31/32)/(1/2)=4×31/32=31/8.
  3. 2k pour k=1 à 50. S=2(1+2+⋯+50)=2×50×51/2=2550.
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Convergence de suites géométriques

● Moyen

Pour chaque suite géométrique, étudier la convergence :

  1. uₙ = (0,9)ⁿ
  2. uₙ = 3×(1,05)ⁿ
  3. uₙ = (−1)ⁿ/2ⁿ
  4. uₙ = 2×(−1)ⁿ
✅ Correction
  1. q=0,9, |q|=0,9<1. Convergente vers 0.
  2. q=1,05, |q|>1. Diverge vers +∞.
  3. |(−1/2)ⁿ|=(1/2)ⁿ→0. Convergente vers 0.
  4. q=−1. Oscille entre 2 et −2. Divergente.
4

Suite définie par récurrence

● Moyen

Soit la suite définie par u₀=0 et uₙ₊₁=uₙ/2+1.

  1. Calculer u₁, u₂, u₃, u₄.
  2. Conjecturer la limite.
  3. Vérifier en résolvant ℓ=ℓ/2+1.
  4. Montrer que vₙ=uₙ−2 est géométrique et en déduire la limite de (uₙ).
✅ Correction
  1. u₁=1, u₂=3/2, u₃=7/4, u₄=15/8.
  2. Semble converger vers 2.
  3. ℓ=ℓ/2+1 → ℓ/2=1 → ℓ=2 ✅.
  4. vₙ=uₙ−2. vₙ₊₁=uₙ₊₁−2=uₙ/2+1−2=uₙ/2−1=(uₙ−2)/2=vₙ/2. Suite géométrique de raison q=1/2 et v₀=u₀−2=−2. vₙ=−2×(1/2)ⁿ→0. Donc uₙ=vₙ+2→2.
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Problème — Placement financier

● Difficile

Mme Diallo place 200 000 F à la banque à un taux annuel de 4% (intérêts composés). Elle ajoute 10 000 F chaque année en fin d'année.

  1. Montrer que le capital Cₙ après n années vérifie Cₙ₊₁=1,04·Cₙ+10000, avec C₀=200000.
  2. En posant vₙ=Cₙ+a, trouver a tel que (vₙ) soit géométrique.
  3. Exprimer Cₙ en fonction de n et calculer C₅.
✅ Correction
  1. Chaque année : multiplier par 1,04 (intérêts), puis ajouter 10000. Cₙ₊₁=1,04Cₙ+10000 ✅
  2. vₙ₊₁=Cₙ₊₁+a=1,04Cₙ+10000+a=1,04(vₙ−a)+10000+a=1,04vₙ+10000−0,04a. Pour que vₙ soit géométrique : 10000−0,04a=0 → a=250000. vₙ₊₁=1,04vₙ.
  3. vₙ géométrique, raison 1,04, v₀=C₀+a=450000. vₙ=450000×1,04ⁿ. Cₙ=vₙ−250000=450000×1,04ⁿ−250000. C₅=450000×1,04⁵−250000≈450000×1,2167−250000≈547514−250000≈297 514 F.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

Une suite arithmétique vérifie :

Q2/10

La suite géométrique u₁=3, q=2 a pour terme général :

Q3/10

La somme S=1+2+3+⋯+n vaut :

Q4/10

Si |q|<1, la suite géométrique qⁿ :

Q5/10

Pour trouver la limite ℓ d'une suite récurrente uₙ₊₁=f(uₙ), on résout :

Q6/10

Suite arithmétique u₁=10, r=−2. u₅ vaut :

Q7/10

La suite uₙ=2×(0,5)ⁿ :

Q8/10

La somme u₁+u₂+⋯+u₁₀ d'une suite arithmétique u₁=1, r=2 vaut :

Q9/10

Un théorème dit que toute suite monotone bornée est :

Q10/10

Suite géométrique u₀=1, q=−1. La suite :