Dans un repère (O, →i, →j), tout vecteur →u = (a ; b) vérifie :
• ||→u|| = √(a²+b²) (norme)
• →u + →v = (a+c ; b+d) si →v = (c;d)
• k→u = (ka ; kb) (multiplication scalaire)
Tout vecteur →w du plan s'écrit de façon unique →w = α→u + β→v si (→u, →v) est une base (→u et →v non colinéaires).
Les coordonnées (α, β) sont les composantes de →w dans la base (→u, →v).
Un vecteur →n est normal à la droite (D) si →n est perpendiculaire à tout vecteur directeur →u de (D).
Droite d'équation ax + by + c = 0 : le vecteur →n = (a ; b) est normal à cette droite.
Un vecteur directeur associé est →u = (−b ; a).
L'ensemble des vecteurs du plan (ou de l'espace) muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire forme un espace vectoriel.
Propriétés : commutativité, associativité, distributivité, élément neutre →0, opposé −→u.
Un sous-espace vectoriel de E est une partie F de E non vide, stable par addition et multiplication scalaire.
• {→0} (trivial)
• Toute droite passant par l'origine (vecteurs colinéaires à →u fixé)
• ℝ² lui-même
Un droite ne passant pas par l'origine n'est pas un sous-espace vectoriel.
Un vecteur →u = (a ; b ; c) dans un repère (O, →i, →j, →k) orthonormé.
• ||→u|| = √(a²+b²+c²)
• →u + →v = (a+a' ; b+b' ; c+c')
• AB→ = (xB−xA ; yB−yA ; zB−zA)
→u et →v sont colinéaires ⟺ ∃k ∈ ℝ : →v = k→u (l'un est multiple de l'autre).
Test : (a ; b ; c) et (a' ; b' ; c') colinéaires ⟺ a/a' = b/b' = c/c' (si tous non nuls).
Trois points A, B, C sont alignés ⟺ AB→ et AC→ sont colinéaires.
Trois vecteurs →u, →v, →w sont coplanaires ⟺ →w est une combinaison linéaire de →u et →v ⟺ →w = α→u + β→v pour certains α, β ∈ ℝ.
Quatre points sont coplanaires ⟺ trois vecteurs construits à partir d'eux sont coplanaires.
Le produit scalaire de →u et →v :
• →u · →v = ||→u|| · ||→v|| · cos θ (θ = angle entre les vecteurs)
• En coordonnées : →u · →v = aa' + bb' + cc' (si →u=(a,b,c), →v=(a',b',c'))
• →u · →u = ||→u||² = a²+b²+c²
• →u ⊥ →v ⟺ →u · →v = 0
Un vecteur →n est normal au plan (P) si →n est perpendiculaire à tout vecteur contenu dans (P).
Plan d'équation ax + by + cz + d = 0 : le vecteur →n = (a ; b ; c) est normal à ce plan.
→u=(1;2;2) et →v=(2;1;−2). →u·→v=2+2−4=0. Donc →u ⊥ →v. ||→u||=3, ||→v||=3.
On donne A(1;2;−1), B(3;0;2), C(−1;4;1).
On donne A(0;0;0), B(1;0;1), C(0;1;1), D(2;1;3).
10 questions · Correction immédiate
→u=(2;−1;3). ||→u|| vaut :
→u=(1;2;3) et →v=(−2;−4;−6). Ces vecteurs sont :
→u·→v avec →u=(1;0;2) et →v=(3;−1;4) vaut :
→u⊥→v ⟺ :
Le vecteur normal au plan 3x−y+2z=5 est :
A(1;2;3), B(3;4;5), C(5;6;7). Ces points sont :
Un sous-espace vectoriel de ℝ² :
AB→=(3;−2;1) et AC→=(6;−4;2). Les points A,B,C sont :
→u=(1;1;0) et →v=(0;0;1). →u·→v vaut :
Combien de coordonnées a un vecteur de ℝ³ ?
