Ch. 12 — Trigonométrie dans le plan orienté — 1ère D Mathématiques

1. Plan orienté et mesure des angles

Plan orienté

Le plan est orienté par le choix d'un sens (sens trigonométrique = anti-horaire = sens positif).

L'angle orienté de la paire de vecteurs (→u, →v), noté (→u, →v), est la mesure algébrique de la rotation qui amène →u sur →v.

Un angle orienté est défini modulo 2π : (→u, →v) ≡ (→u, →v) + 2kπ pour tout k ∈ ℤ.

Cercle trigonométrique

Cercle de centre O, rayon 1 dans un repère orthonormé (O, →i, →j).

À tout réel θ correspond un point M(cos θ ; sin θ) sur ce cercle.

2. Lignes trigonométriques

Valeurs remarquables

θ	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2
cos θ	1	√3/2	√2/2	1/2	0	−1	0
sin θ	0	1/2	√2/2	√3/2	1	0	−1
tan θ	0	1/√3	1	√3	∄	0	∄

Relations fondamentales

• cos²θ + sin²θ = 1

• tan θ = sin θ / cos θ (cos θ ≠ 0)

• 1 + tan²θ = 1/cos²θ

Angles associés

• cos(−θ) = cos θ (cos est paire) • sin(−θ) = −sin θ (sin est impaire)

• cos(π−θ) = −cos θ • sin(π−θ) = sin θ

• cos(π+θ) = −cos θ • sin(π+θ) = −sin θ

• cos(π/2−θ) = sin θ • sin(π/2−θ) = cos θ

3. Formules d'addition

Formules fondamentales

• cos(a+b) = cos a · cos b − sin a · sin b

• cos(a−b) = cos a · cos b + sin a · sin b

• sin(a+b) = sin a · cos b + cos a · sin b

• sin(a−b) = sin a · cos b − cos a · sin b

• tan(a+b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a · tan b)

Formules de duplication

• cos(2a) = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a

• sin(2a) = 2sin a · cos a

• tan(2a) = 2tan a / (1 − tan²a)

Application — cos(π/12)

cos(π/12) = cos(π/3 − π/4) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4)

= (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = (√2+√6)/4

4. Formules de transformation

Somme → Produit

• cos p + cos q = 2cos((p+q)/2)·cos((p−q)/2)

• cos p − cos q = −2sin((p+q)/2)·sin((p−q)/2)

• sin p + sin q = 2sin((p+q)/2)·cos((p−q)/2)

• sin p − sin q = 2cos((p+q)/2)·sin((p−q)/2)

Produit → Somme

• 2cos a · cos b = cos(a+b) + cos(a−b)

• 2sin a · sin b = cos(a−b) − cos(a+b)

• 2sin a · cos b = sin(a+b) + sin(a−b)

Forme a·cos x + b·sin x

On peut écrire a cos x + b sin x = R·cos(x − φ) avec :

R = √(a²+b²) et tan φ = b/a

🧠 À retenir absolument

cos²θ+sin²θ=1 ; tan θ=sin θ/cos θ
cos(a±b)=cos a·cos b ∓ sin a·sin b
sin(a±b)=sin a·cos b ± cos a·sin b
cos 2a=2cos²a−1=1−2sin²a ; sin 2a=2sin a·cos a
Somme→Produit : sin p + sin q = 2sin((p+q)/2)·cos((p−q)/2)
a cos x + b sin x = R·cos(x−φ) avec R=√(a²+b²)

Calcul de valeurs trigonométriques exactes

● Facile

Calculer exactement cos(7π/6), sin(7π/6) et tan(5π/4).
Sachant que sin θ = 4/5 et θ ∈ ]π/2 ; π[, calculer cos θ et tan θ.

✅ Correction

7π/6 = π+π/6 (3ème quadrant). cos(7π/6)=−cos(π/6)=−√3/2. sin(7π/6)=−sin(π/6)=−1/2. 5π/4=π+π/4 : tan(5π/4)=tan(π/4)=1.
cos²θ=1−16/25=9/25. θ∈]π/2;π[ → cos θ<0 → cos θ=−3/5. tan θ=sin θ/cos θ=(4/5)/(−3/5)=−4/3.

Formules d'addition

● Moyen

Calculer exactement sin(π/12) = sin(π/3 − π/4).
Calculer cos(75°) en utilisant cos(75°)=cos(45°+30°).
Démontrer que cos(a+b)·cos(a−b) = cos²a − sin²b.

✅ Correction

sin(π/12)=sin(π/3)cos(π/4)−cos(π/3)sin(π/4)=(√3/2)(√2/2)−(1/2)(√2/2)=(√6−√2)/4. sin(π/12)=(√6−√2)/4
cos75°=cos45°cos30°−sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)−(√2/2)(1/2)=(√6−√2)/4
cos(a+b)cos(a−b)=(cos a cos b−sin a sin b)(cos a cos b+sin a sin b)=cos²a·cos²b−sin²a·sin²b=cos²a(1−sin²b)−sin²b(1−cos²a)=cos²a−cos²a·sin²b−sin²b+sin²b·cos²a=cos²a−sin²b ✅

Formules de duplication

● Moyen

Calculer sin(2θ) et cos(2θ) si sin θ=3/5 et θ∈]0;π/2[.
Simplifier cos(2x)−cos(2x)sin²x (exprimer en termes de cos(x) ou sin(x) uniquement).
Résoudre sin(2x)=sin x sur [0;2π].

✅ Correction

cos θ=4/5. sin2θ=2×(3/5)×(4/5)=24/25. cos2θ=cos²θ−sin²θ=16/25−9/25=7/25.
cos2x(1−sin²x)=cos2x·cos²x. Or cos2x=2cos²x−1. Donc (2cos²x−1)cos²x=2cos⁴x−cos²x.
2sin x cos x=sin x → sin x(2cos x−1)=0 → sin x=0 ou cos x=1/2. x∈{0;π;2π;π/3;5π/3}. Sur [0;2π] (exclu 2π selon convention) : S={0;π/3;π;5π/3}.

Transformations somme-produit

● Moyen

Transformer en produit : cos(3x)+cos(x).
Transformer en produit : sin(5x)−sin(3x).
En déduire les solutions de sin(5x)−sin(3x)=0.

✅ Correction

cos p+cos q=2cos((p+q)/2)cos((p−q)/2). cos(3x)+cos(x)=2cos(2x)cos(x)
sin p−sin q=2cos((p+q)/2)sin((p−q)/2). sin(5x)−sin(3x)=2cos(4x)sin(x)
2cos(4x)sin(x)=0 ⟺ cos(4x)=0 ou sin(x)=0. cos(4x)=0 → 4x=π/2+kπ → x=π/8+kπ/4. sin(x)=0 → x=kπ. S={kπ}∪{π/8+kπ/4}, k∈ℤ

Problème — Forme R·cos(x−φ)

● Difficile

Soit f(x) = √3·cos x + sin x.

Écrire f(x) sous la forme R·cos(x−φ) en déterminant R et φ.
En déduire le maximum et le minimum de f, et les valeurs de x qui les réalisent sur [0;2π].
Résoudre f(x) = 1 sur [0;2π].

✅ Correction

R=√(3+1)=2. tan φ=1/√3 → φ=π/6. f(x)=2cos(x−π/6).
cos∈[−1;1] donc f∈[−2;2]. Max=2 quand x−π/6=0 → x=π/6. Min=−2 quand x−π/6=π → x=7π/6.
2cos(x−π/6)=1 → cos(x−π/6)=1/2 → x−π/6=±π/3+2kπ. x=π/6+π/3=π/2 ou x=π/6−π/3=−π/6+2π=11π/6. S={π/2 ; 11π/6}.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Q1/10

cos(2π/3) vaut :

Q2/10

La formule sin(a+b) est :

Q3/10

sin(2a) est égal à :

Q4/10

cos(2a) peut s'écrire :

Q5/10

Si sin θ=1/2 et θ∈]π/2;π[, alors cos θ vaut :

Q6/10

sin p+sin q = :

Q7/10

a·cos x+b·sin x = R·cos(x−φ) avec R = :

Q8/10

cos(π/4+π/4) vaut :

Q9/10

tan(a+b)=(tan a+tan b)/(1−tan a·tan b). Pour a=b=π/4 :

Q10/10

cos(−θ) est égal à :