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1. Isométries du plan — Définition et propriétés

Isométrie

Une isométrie (ou mouvement) du plan est une transformation qui conserve les distances : d(f(A), f(B)) = d(A, B) pour tous points A, B.

Une isométrie conserve aussi les angles, les parallélismes et les aires.

La composée de deux isométries est une isométrie. La réciproque d'une isométrie est une isométrie.

Classification des isométries du plan

• Translation de vecteur →t

• Rotation de centre Ω et d'angle θ

• Symétrie orthogonale (axiale) d'axe Δ

• Symétrie centrale de centre O (= rotation d'angle π)

• Glissement = translation composée avec une symétrie axiale

2. Composées d'isométries

Composée de deux translations

T→u ∘ T→v = T(→u+→v) : la composée est une translation de vecteur →u + →v.

Composée de deux rotations de même centre

Rθ₁ ∘ Rθ₂ = Rθ₁+θ₂ (au même centre) : la composée est une rotation d'angle θ₁+θ₂.

En particulier : Rθ ∘ R₋θ = identité.

Composée de deux symétries centrales

• Même centre O : composée = identité

• Centres O et O' différents : composée = translation de vecteur 2·OO'→

Composée de deux symétries orthogonales

• Axes parallèles (distance d entre eux) : composée = translation de vecteur perpendiculaire aux axes de norme 2d

• Axes sécants (point d'intersection I, angle α entre eux) : composée = rotation de centre I et d'angle 2α

3. Applications ponctuelles de l'espace

Translation dans l'espace

La translation de vecteur →t = (a;b;c) : M(x;y;z) → M'(x+a ; y+b ; z+c).

Conserve les distances, les angles, les plans parallèles.

Homothétie de centre O et rapport k

H(O,k) : M → M' tel que OM'→ = k·OM→.

En coordonnées (centre O) : (x;y;z) → (kx;ky;kz).

• k=−1 : symétrie centrale de centre O

• |k|>1 : agrandissement ; |k|<1 : réduction

• Conserve l'alignement et le parallélisme (mais pas les distances si k≠±1)

Projections dans l'espace

• Projection orthogonale sur un plan (P) : H est le pied de la perpendiculaire abaissée de M sur (P).

• Projection parallèlement à une direction →d : on projette dans la direction →d.

4. Réciproque d'une isométrie

Isométries et leurs réciproques

• Réciproque d'une translation T→t : translation T₋→t

• Réciproque d'une rotation Rθ : rotation R₋θ (même centre)

• Réciproque d'une symétrie (axiale ou centrale) : elle-même (involutive)

🧠 À retenir absolument

  • Isométrie : conserve les distances, les angles, les parallélismes
  • Composée de 2 symétries centrales (centres O,O') = translation de vecteur 2·OO'→
  • Composée de 2 sym. orthogonales (axes sécants, angle α, centre I) = rotation(I, 2α)
  • Composée de 2 sym. orthogonales (axes parallèles, dist d) = translation de norme 2d
  • Homothétie (O,k) : OM'→=k·OM→ ; k=−1 ↔ symétrie centrale
1

Images par les isométries de base

● Facile

On donne A(2;3) et B(−1;5).

  1. Image de A et B par la translation de vecteur →t=(3;−2).
  2. Image de A par la rotation de centre O et d'angle π/2 (utiliser (x;y)→(−y;x)).
  3. Image de B par la symétrie centrale de centre I(1;1).
✅ Correction
  1. A'=(5;1), B'=(2;3).
  2. Rotation π/2 : (x;y)→(−y;x). A'=(−3;2).
  3. B'=(2×1−(−1);2×1−5)=(3;−3).
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Composée de deux symétries centrales

● Moyen

O=(0;0) et O'=(3;1). Soit S₁ la symétrie de centre O et S₂ celle de centre O'.

  1. Montrer que S₂∘S₁ est une translation et donner son vecteur.
  2. Calculer l'image de A(1;2) par S₂∘S₁.
  3. Vérifier directement : calculer S₁(A) puis S₂(S₁(A)).
✅ Correction
  1. Composée de 2 symétries centrales = translation de vecteur 2·OO'→. OO'→=(3;1). Vecteur de translation : 2(3;1)=(6;2).
  2. A'=(1+6;2+2)=(7;4).
  3. S₁(A)=(−1;−2). S₂(S₁(A))=(2×3−(−1);2×1−(−2))=(7;4) ✅.
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Composée de deux symétries axiales

● Moyen

Soit Δ₁ l'axe (Ox) et Δ₂ la droite d'équation y=1 (parallèles, distance 1).

  1. La composée S_{Δ₂}∘S_{Δ₁} est une translation. Donner son vecteur.
  2. Soit Δ₃ l'axe (Oy) (sécant à (Ox) en O, angle π/2). La composée S_{Δ₃}∘S_{Δ₁} est une rotation. De quel angle ?
✅ Correction
  1. Axes parallèles, distance d=1. Translation de norme 2d=2 dans la direction perpendiculaire aux axes (direction y). Vecteur de translation : (0;2).
  2. Axes sécants en O, angle entre eux = π/2. Composée = rotation de centre O et d'angle 2×π/2=π (symétrie centrale de centre O).
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Homothétie dans le plan et l'espace

● Moyen
  1. Homothétie H(O,3) dans le plan. Image de A(2;1) et B(−1;3).
  2. Homothétie H(A,−2) avec A(1;0). Image de M(3;2).
  3. Dans l'espace, H(O,2) : image de P(1;−1;3).
✅ Correction
  1. H(O,3) : A'=(6;3), B'=(−3;9).
  2. AM→=(2;2). AM'→=−2·AM→=(−4;−4). M'=A+AM'→=(1−4;0−4)=(−3;−4).
  3. H(O,2) dans ℝ³ : P'=(2;−2;6).
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Problème — Construction géométrique

● Difficile

Un triangle ABC avec A(0;0), B(4;0), C(2;3).

  1. On applique la rotation R(A, π/2) à B et C. Calculer B' et C'.
  2. On applique ensuite la translation →t=(−1;2) à B' et C'. Calculer B'' et C''.
  3. Vérifier que la composée (translation)∘(rotation) est une isométrie en vérifiant ||B''C''||=||BC||.
✅ Correction
  1. Rotation π/2 de centre A(0;0) : (x;y)→(−y;x). B(4;0)→B'(0;4). C(2;3)→C'(−3;2).
  2. Translation (−1;2) : B'(0;4)→B''(−1;6). C'(−3;2)→C''(−4;4).
  3. BC→=(−2;3), ||BC||=√13. B''C''→=(−3;−2), ||B''C''||=√13 ✅. La composée est bien une isométrie.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

Une isométrie conserve :

Q2/10

La composée de deux translations T→u et T→v est :

Q3/10

La symétrie centrale de centre O est une rotation d'angle :

Q4/10

Deux symétries centrales de centres O et O' différents composent en :

Q5/10

Deux symétries axiales d'axes sécants en I avec angle α composent en :

Q6/10

L'homothétie H(O,k) avec k=−1 est :

Q7/10

La réciproque d'une rotation R(O,θ) est :

Q8/10

H(O,3) : image de A(2;−1) :

Q9/10

La projection orthogonale d'un point sur un plan :

Q10/10

Deux symétries axiales d'axes parallèles (distance d) composent en :